Lei de Hooke - cesbengenharia

FACULDADE DE ENGENHARIA E INOVAÇÃO TÉCNICO PROFISSIONAL FEITEP
Propriedades mecânicas dos materiais – diagrama tensão deformação
Com o objetivo de relacionar os carregamentos atuantes nas estruturas de
engenharia com as deformações devidas às cargas, realizam-se ensaios para
determinar o comportamento carga versus deformação nos materiais (aço, concreto,
madeira ou alumínio) usados na fabricação das estruturas. Várias propriedades
mecânicas são obtidas a partir de ensaios de tração ou compressão, em que a
resistência de um material depende de sua capacidade de suportar um carregamento
sem apresentar deformação excessiva ou ruptura.
Para realizar o ensaio de tração ou compressão, é confeccionado, a partir de
uma amostra da matéria, um corpo de prova, com dimensões padronizadas pelas
normas específi cas para cada material.
A Figura mostra um corpo de prova típico para metais, como ferro fundido, no
qual são feitas marcas separadas de uma distância L o (comprimento de referência).
Mede-se, também, o diâmetro d o para determinar a área da seção transversal A.
Corpo de prova metálico para ensaio de tração.
Utiliza- se uma máquina de ensaios, como mostrada nas Figuras , em que uma
carga axial P é aplicada gradualmente.
Máquina de ensaios de materiais.
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Máquina de ensaios de materiais computadorizada.
O valor de P é aumentado a uma taxa lenta e constante até atingir a ruptura.
Os valores de carga são registrados, bem como alongamento  = L - Lo, entre as
marcas, em cada incremento de tensão de carga.
corpo de prova sendo submetido à tração;
corpo de prova em concreto.
Para cada conjunto de valores de P e , registrados no ensaio, calcula- se a
tensão normal s, dividindo-se P (carga aplicada) pela área de seção transversal inicial
Ao.
σ = P / Ao
Da mesma forma, a deformação específica e é encontrada pela leitura direta
em um extensômetro elétrico de resistência, ou dividindo- se o alongamento  pelo
comprimento inicial Lo.
ε=  / Lo
Colocando- se os valores de ε como abscissa e σ como ordenada em um gráfi
co, a curva resultante é chamada de diagrama tensão versus deformação
convencional de engenharia.
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Este diagrama varia de material para material e para um mesmo material,
dependendo da temperatura, da taxa de incremento de carga, imperfeições ou
composições químicas.
Na Figura abaixo é mostrado o diagrama tensão versus deformação, para o
aço estrutural, no qual se identificam quatro etapas distintas de comportamento do
material, dependendo da deformação nele provocada, ou seja, a região elástica,
escoamento, endurecimento por deformação e estricção.
Diagramas tensão – deformação convencional e real para material dúctil (aço). Sem escala.
A região elástica (comportamento elástico), começando na origem dos eixos e
estendendo- se até o limite de proporcionalidade (σ LP ), compreende uma relação
linear entre a tensão e a deformação. O gráfico é representado por uma reta, no qual a
tensão é proporcional à deformação. O material é linearmente elástico, ou seja, se a
carga for removida, o corpo volta à sua forma original. Se a tensão for aumentada
acima de σ LP, o material pode, ainda, apresentar o comportamento elástico, que
continua até alcançar o limite de elasticidade que para o aço, é muito próximo ao limite
de proporcionalidade. Aumentando a tensão acima do limite de elasticidade, tem-se o
escoamento, causado pelo deslizamento relativo entre camadas do material em
superfícies oblíquas, associado a tensões de cisalhamento. A tensão que provoca este
fenômeno é chamada de limite de escoamento (σ E ).
O corpo se deforma permanentemente e continuará a alongar-se sem qualquer
aumento de carga, num trecho chamado de patamar de escoamento.
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Após o escoamento, o material refaz as ligações entre as camadas e um
carregamento adicional pode ser aplicado. O diagrama assume a forma de uma curva,
alcançando a tensão máxima chamada de limite de resistência (σr ) ou tensão de
última (σu ). Este aumento na curva é chamado de endurecimento por deformação.
Durante o ensaio de tração, enquanto o corpo apresenta um alongamento, a
área da seção transversal decresce de maneira uniforme ao longo de seu
comprimento. Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal diminui
uma região localizada. Esse fenômeno é chamado de estricção e, como a área é
menor, a carga é decrescente e o diagrama curva- se para baixo, até que ocorra a
ruptura numa tensão chamada de tensão de ruptura ( σup ).
Corpo de prova submetido à tração, apresentando a estricção (a) e ruptura (b).
Com o conhecimento sobre o comportamento tensão-deformação dos
materiais, destacamos algumas propriedades mais significativas destes para o
engenheiro projetar ou analisar um equipamento ou estrutura, que são resistência,
rigidez e ductilidade.

Resistência: medida por meio de três valores retirados do diagrama tensãodeformação: O limite de escoamento, que é a maior tensão que o material
pode suportar, sem sofrer deformação permanente; o limite de resistência ou
limite último, que é o máximo valor de tensão que o material pode suportar; e, fi
nalmente, o limite de ruptura, que é o valor da tensão no instante da ruptura.

Rigidez: medida por meio da relação entre a tensão e a deformação,
principalmente na região linear elástica.

Ductilidade: quando um material, na temperatura ambiente, pode apresentar
grande deformação antes de atingir a ruptura, é classificado como material
dúctil. Já aquele que fratura sob pequena deformação, é chamado de material
frágil.
Portanto, os materiais são classificados como dúcteis ou frágeis, dependendo das
características do diagrama tensãodeformação. O aço estrutural, por exemplo, é um
material dúctil à temperatura ambiente. Isto permite que seja conformado ou dobrado
para fabricar perfis ou vergalhões. Este material é capaz de absorver choques e
energia e, quando sobrecarregado, exibe grande deformação antes de falhar,
prevenindo, deste modo, que falhas repentinas e catastróficas ocorram. O alumínio,
latão, cobre e o níquel, entre outros, podem ser classificados como dúcteis.
A ductilidade é medida por meio do alongamento percentual dado pela
equação:
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em que Lf e Lo são, respectivamente, os comprimentos final e inicial do corpo de
prova.
Outra medida de ductilidade é dada pela redução percentual de área, expressa por:
onde Ao e Af são respectivamente, a área da seção transversal original e a área final
da seção onde ocorre a fratura.
Os materiais frágeis, como ferro fundido, vidro, pedra e concreto entre outros,
caracterizam-se por uma ruptura que ocorre sem nenhuma alteração significativa no
modo de deformação. Não existe diferença entre o valor da tensão última e a tensão
de ruptura e a deformação é muito menor do que nos materiais dúcteis e não ocorre a
estricção.
Diagrama tensãodeformação para material frágil e dúctil.
Lei de Hooke e módulo de Elasticidade
A maior parte das estruturas e equipamentos é projetada de modo que as
tensões e deformações permaneçam na região elástica inicial do diagramas versus e.
Nesta parte, a maioria dos materiais exibe um comportamento linear, onde a tensão
normal s é diretamente proporcional à deformação específica .Desse modo:
σ = E×ε
Esta equação é denominada Lei de Hooke. O coeficiente E é chamado de módulo de
elasticidade do material, ou módulo de Young, expresso geralmente em GPa ou MPa.
A Lei de Hooke é válida até o limite de proporcionalidade.
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Exercícios
01. Duas marcas são feitas distantes 300 mm, em uma barra sólida com diâmetro de
22 mm. Quando uma carga axial de tração de 70 kN foi aplicada, a distância medida
entre as marcas é de 300,6175 mm. Determine o módulo de elasticidade do material.
02. Um tubo com material com módulo de elasticidade de 180 GPa é submetido a uma
força axial de tração de 115 kN. Sabendo que o diâmetro externo do tubo é de 46 mm
e a espessura da parede é de 7mm, determine a deformação específica.
03.Uma barra de comprimento 5 m e seção transversal retangular 25 x 50 mm é
confeccionada com um material com módulo de elasticidade de 70 GPa (70000 MPa).
Determine a carga máxima P que pode ser aplicada, sabendo-se que a tensão normal
não pode exceder 150 MPa e que o alongamento não pode ser maior que 10 mm.
04. A montagem mostrada na Figura é composta de dois segmentos com seção
circular maciça, com os diâmetros indicados na fi gura. O segmento (1) é feito em
latão com módulo de elasticidade de 120 GPa e o segmento (2) em alumínio, com E =
70 GPa. Determine a deformação total da montagem, se uma força de 60 kN é
aplicada na extremidade.
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05. Determine a deformação total da montagem mostrada na Figura, composta de
barras de seção circular maciça, conforme os diâmetros indicados. Os trechos (1) e (3)
são feitos em bronze com E = 120 GPa e o trecho (2) em alumínio com E = 70 GPa.
06. A montagem mostrada na Figura 27 é composta de três hastes e uma barra rígida
ACB. Se uma força de 80 kN é aplicada na extremidade D, determine o deslocamento
vertical dos pontos A,B, C e D.
07. Considerando a montagem da fi gura, onde a barra rígida ABD suporta uma carga
de 80 kN, determine as tensões normais atuantes nas hastes (1) e (2) e o
deslocamento horizontal do ponto C
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08. A barra composta de aço A-36 (E=29.106lbf/pol2) mostrada na figura abaixo está
composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas da seção transversal AAB=1 pol2 e
ABD=2 pol2. Determinar o deslocamento vertical da extremidade A.
09. O eixo de bronze C86100 está submetido às cargas axiais mostradas. Determinar
o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de
cada segmento são dAB = 0,75 pol, dBC = 2 pol e dCD = 0,5 pol.
Dado:módulo de elasticidade do bronze = 15×106 psi e as unidades libra-força e
polegada
10. A junta é feita de três chapas de aço A-36 ligadas pelas suas costuras. Determinar
o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a junta é
submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm.
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11. Os arames de aço AB e AC suportam a massa de 200 kg. Supondo que a tensão
normal admissível para eles seja σadm = 130 MPa, determinar o diâmetro requerido
para cada arame. Além disso, qual será o novo comprimento do arame AB depois que
a carga for aplicada? Supor o comprimento sem deformação de AB como sendo 750
mm. Eaço = 200 GPa.
12. A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e está
submetida a uma carga axial de 10KN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação
do material é mostrada na figura (b), determinar o alongamento aproximado da haste
quando a carga á aplicada. Se a carga for removida, qual será o alongamento
permanente da haste? Suponha que EAl = 70 Gpa.
13. Um corpo-de-prova com comprimentp original de 1 pé tem diâmetro de 0,5pol e
está submetido a uma força de 500lb. Quando a força é aumentada de 500lb para
1800lb, o corpo-de-prova alonga-se 0,009 pol. Determinar o módulo de elasticidade do
material se este permanecer com comprimento linear-elástico.