Condutividade Elétrica e Efeito Hall em Semicondutores

Universidade de São Paulo
Instituto de Física de São Carlos
Laboratório Avançado de Física
Condutividade Elétrica e Efeito Hall em Semicondutores
– em função da temperatura até TNL
Introdução
Do ponto de vista prático, um semicondutor é um material cuja resistividade elétrica, à
temperatura ambiente, possui um valor dentro da faixa de 10-2 - 109 -cm. As propriedades de
um semicondutor são definidas pelo comportamento dos portadores de carga: elétrons (portadores
de carga negativa)e buracos (portadores de carga positiva). Se o semicondutor é um cristal puro,
o número de elétrons n é igual ao número de buracos p, pois para cada elétron que passa para a
banda de condução, é criado um buraco na banda de valência. Estes são denominados de
portadores de carga intrínsecos.
Para uso prático de um semicondutor, este é impurificado de tal forma que seja capaz de
doar elétrons para banda de condução (fazendo com que seja um cristal tipo n) ou de aceitar
elétrons da banda de valência, criando buracos (fazendo com que seja um cristal tipo p). As
impurezas que produzem este efeito são denominadas de portadores carga extrínsecos; em tais
cristais a concentração de portadores é diferente (n  p).
A estrutura de bandas de energia de um semicondutor sem impurezas seria aquela
mostrada na figura 1, onde do lado esquerdo temos a distribuição de Fermi f(E) para um gás de
elétrons livres e do lado direito temos a densidade de estados D(E).
A posição do nível de Fermi é medida a partir da banda de condução e definida por
N 
EF  
Eg
EF
NÍVEL DE
FERMI
DE ESTADOS
BANDA DE
CONDUÇÃO
f (E)
ENERGIA
DENSIDADE
BANDA
NORMAL MENTE
PREENCHIDA
OUTRAS BANDAS
PREENCHIDAS
m
 kTn
2
m
Eg

h

e




3
4
(1)
Como o nível de Fermi fica debaixo da banda de
condução, EF é um valor negativo, Eg é a energia da
banda proibida e m h e m e são as massas efetivas dos
buracos e elétrons respectivamente k a constante de
Boltzmann e T a temperatura absoluta. Sejam C e F a
posição da banda de condução e do nível de Fermi,
respectivamente, acima da energia de ponto zero,
então:
 F   C  EF
D (E)
Fig. 1 - Estrutura de bandas de energia num
semicondutor sem impurezas.
1
(2)
Para encontrar o número de elétrons na banda de condução (ou de buracos na
banda de valência) basta integrar a densidade de estados vezes a distribuição sobre o intervalo de
 = C a .
1
    
8 
N
(

)
d


2m 3 exp  F
  1 d
3 
C
h C
  kT  

(3)
porém quando o expoente
 ( F   ) ~
Eg
2
 E  kT
(4)
a distribuição de Fermi degenera para uma distribuição de Boltzmann (onde E é a energia dos
elétrons assim medida do fundo da banda de condução).
Com esta superposição a integração dá como resultado
 2 me kT 

n  
2

 h

3/ 2
e
 EF / kT
 2 me kT 

~ 
2

 h

3/ 2
e
 E g / 2 kT
(5)
da mesma maneira
 2 me kT 

p  
2

h


3/ 2
e
( E g  E F ) / kT
 2 me kT 

~ 
2

h


3/ 2
e
 E g / 2 kT
(6)
É interessante notar que o produto np independe da posição do nível de Fermi
especialmente se tomamos me  m h :
ni2  np  2.31  0 31T 3 e
 E g / kT
(7)
À medida que a temperatura aumenta, os portadores de carga intrínseca do
semicondutor aumentarão numa proporção exponencial caracterizado por Eg/2kT. Esta
temperatura é geralmente muito alta, por exemplo para o Germânio Ge, Eg = 0,7 eV que
corresponde T = 8.000 K.
Uma das características do semicondutor fica determinada pelas impurezas do cristal,
especialmente a baixas temperaturas, onde poucos portadores de carga intrínsecos estão
populando a banda de condução. Estas impurezas, quando estão no seu estado fundamental,
ficam geralmente concentradas num nível de energia simples muito próximo da banda de
condução (se são impurezas doadoras) ou muito próximo da banda de valência (se são impurezas
aceptoras) como representamos esquematicamente na figura 2.
Fazendo a aproximação para baixas temperaturas, teremos que o número de elétrons na
banda de condução está dado por
 2 mkT 
n  Nd 

2
 h

3/ 2
e  Ed / 2 kT
(8)
onde Nd é o número de doadores e Ed a separação entre o nível de doadores e a banda de
condução. Devemos tomar em consideração essa aproximação, pois é válida só para baixas
temperaturas, note-se por exemplo para o Ge:
2
E g  0,7eV
e para
kT  0,7eV  T  8.000 K
ELÉTRONS
NÍVEL
AC EITADORES
NÍVE L
DOAD ORES
BURACOS
(a)
(b)
Figura 2 - Estrutura de bandas de energia quando o semicondutor é impurificado com (a) doadores,
ficando o nível de impurezas ligeiramente abaixo da banda de condução e (b) aceptores,
ficando o nível ligeiramente acima da banda de valência.
entretanto para
E d  0,01ev
e para
kT  0,01eV  T  120  K
Assim para temperaturas T > 120K a maioria das impurezas doadoras estarão na banda
de condução e no lugar da equação (8) teremos n ~ Nd; o número de portadores de carga impuros
fica saturado. Uma vez neste estado de saturação os portadores de carga impuros na banda de
condução se comportaram como se fossem elétrons livres de um metal.
Na experiência que iremos realizar, chegaremos a uma temperatura nominal de 77K;
para o Ge esta temperatura ainda corresponde a quase uma saturação completa de portadores de
carga impuros. Estudaremos isto em função da temperatura observando o comportamento dos
portadores de carga intrínsecos do Ge.
Condutividade
Para estudar a condutividade elétrica usaremos a seguinte notação:

J = densidade de corrente

I = corrente

A = seção transversal por onde a corrente flue
 
1
 = condutividade, tal que  E  J ;   = resistividade

e = carga do elétron
n = densidade de portadores negativo (elétrons)
p = densidade de portadores positivo (buracos)

v = velocidade de deslocamento
3

E = campo elétrico aplicado
 
 = mobilidade; tal que  E  v
m* = massa efetiva; me , mh para elétron e buraco, respectivamente
 = livre caminho médio entre colisões
É fácil derivar que a densidade de corrente está dada por:

 I


J   e nVe  pVh
A


(9)
Considerando as colisões térmicas e sendo s e t a distância e o tempo, respectivamente,
entre colisões consecutivas teremos que

e
E
1
1
(10)
s   t2 
t2

2
2m
e

e
E
s 1
(11)
v 

t 2mt
que em termos de livre caminho médio t  v , onde v é a velocidade térmica, teremos
mv 2 3
 kT
2
2
assim
v

e E
2 3kRm 
Caso tenhamos um só tipo de portadores de carga:



J  env  en E
(12)
(13)
(14)
e
  en 
ne 2 
2 3kTm
(15)
Assim, se o número de portadores é constante e o livre caminho médio permanece
constante, então a condutividade deverá diminuir com T -½. A primeira destas condições é válida
na região extrínseca após todos os portadores de carga extrínsecos ficarem na banda de condução;
porém a segunda condição do livre caminho médio não é verdadeira pois à temperatura altas
aumentam as vibrações reticulares do cristal que afeta o espalhamento dos portadores. Um
cálculo simples sugere uma dependência de kT1 para , de tal maneira que
ne 2  32
  ne  C  T
m
(16)
onde C é uma constante. Neste ponto cabe advertir que esta dependência não é sempre observada
experimentalmente.
4
Efeito Hall
Realmente a experiência de condutividade não revela o tipo de portador de carga que está
presente no semicondutor. Esta informação pode ser obtida através de medidas do efeito Hall
que é uma ferramenta básica para a determinação de mobilidades. Este efeito foi descoberto por
E.H. Hall em 1879.
Para explicar o efeito Hall consideraremos o cristal da figura 3, o qual está submetido a
uma voltagem Vx e um campo magnético H na direção z.
Quando aplicamos a voltagem Vx entre os pontos 1 e 2 fluirá uma corrente I através do
cristal na direção x, aparecendo uma voltagem induzida entre os pontos 3 e 4 devido ao efeito do
campo magnético que polariza os portadores de carga, esta voltagem é denominada de voltagem
de Hall (Vy).
H
W
4
x
y

1
z
2
3
I
Vx
Figura 3 - Esquema do efeito Hall.
Podemos calcular a voltagem de Hall para o caso em que os portadores de carga sejam de
um tipo único.
A força magnética sobre os portadores de carga é

 
(17)
Fm  e(V  H )  evHyˆ
que é compensado pelo campo de Hall


FH  eE H  eE y yˆ
desta forma
vH  Ey
(18)
mas v   E x , então E y  H E x . O coeficiente de Hall RH está definido como
RH
Ey
JxH

 Ex
Jx

 1

 ne
(19)
Portanto para um campo magnético e corrente fixos, a voltagem de Hall é proporcional a
1/n. Como conseqüência a mobilidade vem a ser
 H  RH 
RH é expressada em [m3 C-1] e  em [ 1 m 1 ] , assim  está dado em | m 2V 1 s 1 ] .
5
(20)
À medida que a voltagem aplicada for constante, define-se o ângulo de Hall como a razão
das voltagens aplicada e medida.

Vy
Vx

Eyt
Ex
(21)
onde  é o comprimento e t a largura da amostra.
O ângulo de Hall é proporcional à mobilidade e
t
1
 1
 ne
 Vy   H 
(22)
onde novamente é proporcional a 1/n e portanto a [RH].
Procedimento
A figura 4 mostra o esquema de montagem básico do criostato, suporte de amostra e
sistema de vácuo para as medidas de transporte.
1. Calibração do campo magnético - Antes de proceder a medida dos parâmetros para obtenção
da condutividade e voltagem de Hall é necessário levantar uma curva de calibração do
eletroimã, isto é, obter uma curva de campo magnético B contra corrente alimentada no
eletroimã. Para realizar essa calibração basta recorrer a uma sonda de Hall disponível no
Laboratório Avançado, cujas instruções de ligação se encontram na própria sonda, consulte o
manual.
RESERVATÓRIO DE N2 LÍQUIDO
CONECTOR PASSANTE PARA
LIGAÇÕES ELÉTRICAS COM A AMOSTRA
SENSOR DE VÁCUO TC
VÁLVULA
PEÇA
POLAR
ELETROÍMÃ
BOMBA
MECÂNICA
AMOSTRA
Figura 4 - Esquema do criostato com sistema de vácuo.
6
2. Condutividade - a condutividade  ou resistividade   1 pode ser obtida por um sistema de
medidas de quatro pontos. O método de van der Paw considera uma amostra fina com forma
geométrica não regular, muito usado na caracterização de filmes semicondutores, como
mostra a figura 5.
B
C
d
A
D
Figura 5 – Contatos usados no método de Van der Paw.
Fornecendo uma corrente IAB entre os contatos A e B e medindo a ddp VCD entre os
contatos opostos, determina-se uma resistência RAB, CD, isto é:
R AB,CD 
VCD
I AB
(23)
Trocando os contatos, determina-se analogamente
RBc, DA 
VDA
I BC
(24)
Van der Paw demonstrou que
  dRBC , DA 
 π dR AB,CD 
  1
  exp  
exp  





(25)
de onde se obtém a resistividade 

d
2 n 2
R
 RBC , DA  f
AB,CD
onde o fator de Van der Paw f depende da razão
R AB ,CD
RBC , DA
(26)
.
Faça várias medidas para determinar  em função da temperatura (77 < T < 300 K).
3. Efeito Hall - Com a mesma amostra podemos medir o efeito Hall. Para isso, aplicamos uma
corrente entre os contatos A e C, enquanto a voltagem BD é medida. Com o campo
magnético aplicado perpendicularmente à amostra, observa-se uma mudança na resistência
RAC,BD, esta muda por um valor  RAC,BD. O coeficiente de Hall estará dado por
7
RH 
dR AC , BD

B
(27)
O sinal de RH dependerá do tipo de condutividade, i.e
RH > 0 condução de buracos
RH < 0 condução de elétrons
Faça várias medidas para determinar RH em função da temperatura 77 < T < 300 K.
A partir da dependência com a temperatura do efeito Hall e da condutividade elétrica,
pode-se determinar a concentração de portadores e a mobilidade. Determine esses parâmetros
para temperatura ambiente e próximo a nitrogênio líquido.
Em experiências de efeito Hall, escolhe-se normalmente campos pequenos, de maneira
que o campo magnético escolhido não distorça a condutividade. Porém, para campos magnéticos
internos, a resistividade  aumenta significativamente,

~ B
2
(28)
Este efeito é denominado magneto-resistência, o qual é importante para determinar a
estrutura de bandas.
Veja se para os valores de campo magnético atingíveis com nosso sistema é possível
observar este último efeito de magneto resistência.
Referências
-
A. Melissinos, “Experiments in Modern Physics”, Ed. Acad. Press (1966). Biblioteca
IFQSC/USP, 539, M523e.
-
Adler, Smith, Longini, “Introduction to Semiconductor Physics”, 530.41, M478s.
Versão 2000/MSL
apehallm.doc
09/2000
S.A.S
8