leqcia 10

20/06/2017
kalkulusi biologebisTvis
leqcia 10
5.2. kerZo warmoebulebi. divergencia. gradienti
aqamde Cven vixilavdiT erTi cvladis (argumentis) funqciebs, magram funqcia SeiZleba sibrtyis
an sivrcis wertilTa raime simravlis yovel wertils (Sesabamisad ricxvTa wyvils da sameuls)
uTanadebdes calsaxad gansazRvrul raime ricxvs. amis Sesabamisad miviRebT ori da sami cvladis
(argumentis) funqciebs. mag.,
z  f ( x , y ) da u  f ( x , y , z) .
Tu erTis, mag., x-is, garda danarCen argumentebs davafiqsirebT, miviRebT erTi x cvladis funqcias,
romlisTvisac warmoebuli ganmartebuli gvaqvs. am ukanasknels x-is mimarT kerZo warmoebuli
ewodeba. analogiurad ganimarteba kerZo warmoebulebi sxva cvladebis mimarT. saxeldobr,
 u( x , y , z)
u( x  x , y , z )  u( x , y , z)
:  lim
,
x  0
x
x
 u( x , y , z)
u( x , y  y , z )  u( x , y , z)
:  lim
.

y

0
y
y
 u( x , y , z)
u( x , y , z  z )  u( x , y , z )
:  lim
.
z  0
z
z
gamoyenebiTi TvalsazrisiT mniSvnelovania Semdegi diferencialuri operatorebi:

1. v :  v x , v y , v z veqtoris divergencia


  vx  v y  vz
;
div v 


x y z
2. u skalaris gradienti:
grad u 
u  u  u 
i
j
k,
x
y
z
  
sadac i , j , k , Sesabamisad, x, y, z RerZebis ortebia. divergencia skalaruli, xolo gradienti
veqtoruli sididea.


ori v da w veqtoris skalaruli namravli maTi sigrZeebisa da maT Soris mdebare kuTxis
kosinusis namravlis tolia.
 
 
v , w  v  w cos .
es ganmarteba adre Semotanili ganmartebis
 
 v , w  v x w x  v y w y  v z w z
ekvivalenturia.
5.3. funqciis eqstremumi
gansazRvra 5.3.1. amboben, rom x 0 wertilis midamoSi gansazRvrul funqcias am wertilSi aqvs
lokaluri maqsimumi (minimumi), Tu
f ( x )  f  x 0   f ( x)  f  x0 
yvela x-isTvis x 0 -is maxloblobaSi (ix. nax. 5.3.1).
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
y
f '( x0 )  0
f ' ( x)  0
f ' ( x)  0
f ' ( x)  0
f ' ( x)  0
f '( x0 )  0
x0
f ( x)  f ( x0 )
O
x0
f ( x)  f ( x0 )
x
nax. 5.3.1
lokaluri maqsimumi da minimumi mkacri lokaluri maqsimumi da minimumia, Tu, Sesabamisad,
f ( x )  f  x 0  da f ( x )  f  x 0  .
Teorema 5.3.2. samarTliania Semdegi mtkicebebi
Tu
maSin, roca x  x 0 da x
xolo, roca x  x 0 da x
axlosaa x 0 -Tan
axlosaa x 0 -Tan
f '  x0   0
f '  x0   0
f ( x)  f  x0 
f ( x)  f  x0 
f  x0   f ( x)
f  x0   f ( x)
damtkiceba gamomdinareobs warmoebulis ganmartebidan.
Teorema 5.3.3. Tu raime intervalze funqciis warmoebuli dadebiTia (uaryofiTia), iq funqcia
zrdadia (klebadia).
Teorema 5.3.2-dan cxadia, rom, Tu
f '  x 0   0 an f '  x 0   0 ,
maSin x 0 wertilSi funqcias ar SeiZleba hqondes arc lokaluri maqsimumi da arc lokaluri minimumi
(erTi sityviT, lokaluri eqstremumi). amdenad, Tu funqcias x 0 wertilSi warmoebuli aqvs da iq
eqstremums aRwevs, aucileblad
f '  x0   0
da funqciis grafikisadmi eqstremumis Sesabamis wertilSi gavlebuli mxebi horizontaluria (ix. nax.
5.3.1).
amdenad, WeSmaritia
Teorema 5.3.4. Tu x 0 wertili f (x) funqciis eqstremumis wertilia (e. i., iseTi wertili, romelSic
funqcia lokalur minimums an maqsimums aRwevs) da am wertilSi arsebobs warmoebuli, maSin es
warmoebuli 0-is tolia:
f ' x0   0 .
analogiurad, mravali cvladis funqciis SemTxvevaSi eqstremumis wertilSi funqciis pirveli rigis
yvela kerZo warmoebuli aucileblad nulis tolia maTi arsebobis pirobebSi.
2
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
Teorema 5.3.5. Tu y  f (x) funqcias x 0 wertilSi gaaCnia meore rigamde warmoebuli da
sruldeba
f '  x 0   0 , f "  x0   0 ,
pirobebi, maSin x 0 wertili funqciis maqsimumis wertilia.
Teorema 5.3.6. Tu y  f (x) funqcias x 0 wertilSi gaaCnia meore rigamde warmoebuli da
sruldeba
f '  x 0   0 , f "  x0   0
pirobebi, maSin x 0 wertili funqciis minimumis wertilia.
gansazRvra 5.3.7. funqcias ewodeba Cazneqili (amozneqili) raime intervalze, Tu am intervalSi
aRebuli nebismieri wertilis Sesabamis wiris (grafikis) wertilSi gavlebuli mxebi funqciis grafikis
qvemoT (zemoT) aris moTavsebuli (ix. nax. 5.3.2).
y
y
x
O
O
x
nax. 5.3.2
Teorema 5.3.8. Tu mocemul intervalze f funqcias gaaCnia meore rigis warmoebuli da es
warmoebuli dadebiTia (uaryofiTia) am intervalze, maSin funqcia Cazneqilia (amozneqilia).
gansazRvra 5.3.9. funqciis gadaRunvis wertili ewodeba wertils, romelic funqciis amozneqilobisa
da Cazneqilobis Sualedebs ganacalkevebs (ix. nax. 5.3.3) an, rac igivea, gadaRunvis wertili
y
O
nax. 5.3.3
ewodeba wertils, romelSic gavlebuli mxebis am wertilis cal mxares mdebare nawili grafikis zemoT,
xolo meore nawili grafikis qvemoTaa moTavsebuli.
3
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
Teorema 5.3.10. Tu f funqcias gaaCnia meore rigis warmoebuli x 0 wertilis maxloblobaSi,
amasTan
f "  x0   0
da f " -s x 0 wertilis marcxena da marjvena midamoSi sxvadasxva niSani aqvs, maSin x0 , f x0 
wertili funqciis grafikis gadaRunvis wertilia.
gansazRvra 5.3.11. raime wiris grafikis asimptota ewodeba iseT wrfes, romelic am wirs
usasrulod uaxlovdeba, magram ar kveTs.
asimptota SeiZleba iyos horizontaluri, vertikaluri da daxrili (ix. nax. 5.3.4).
y
y
x
O
O
x
y
x
O
nax. 5.3.4
gansazRvra 5.3.12. Tu
lim f ( x)   an lim f ( x)   ,
x a 
x a 
maSin x  a wrfes y  f (x) funqciis vertikaluri asimptota ewodeba.
gansazRvra 5.3.13. y  kx  b wrfes ewodeba y  f (x) funqciis daxrili asimptota (Tu k  0 , is
horizontaluri asimptotaa), Tu y  f (x) funqcia   -is an   -is, Sesabamisad, marcxena an marjvena raime midamoSi SeiZleba warmovadginoT
f ( x)  kx  b   ( x)
saxiT, sadac
lim  ( x)  0 .
x  
daxrili asimptotis mosaZebnad unda vipovoT ori zRvari:
f ( x)
 k , 2) lim  f ( x)  kx  b .
1) lim
x  
x  
x
4
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
Teorema 5.3.14. Tu arsebobs sasruli k da b , maSin arsebobs y  kx  b asimptota.
gansazRvra 5.3.15. y  f (x) funqcias ewodeba usasrulod mcire funqcia (sidide), roca x  a (a
SeiZleba iyos usasrulod daSorebuli wertili), Tu
lim f ( x)  0 .
xa
y  f (x) funqcias ewodeba usasrulod didi funqcia (sidide), roca x  a , Tu
lim f ( x)   .
xa
*)
Teorema 5.3.16 (lopitalis wesi). ori usasrulod mcire funqciis Sefardebis zRvari tolia am
funqciebis warmoebulebis Sefardebis zRvris, Tu es ukanaskneli arsebobs, e. i.,
f ( x)
f ' ( x)
, roca lim f ( x)  0 da lim g ( x)  0 .
lim
 lim
xa
xa
x a g ( x)
x a g ' ( x)
SeniSvna 5.3.17. miuxedavad imisa, lim f ( x ) sasrulia Tu usasrulo, lopitalis wesi samarTliania
x a
maSinac, roca
lim g ( x)   an lim g ( x)   .
xa
xa
xSirad lopitalis wesis gamoyeneba moxerxebulia    , 0 0 , 1 ,  0 saxis ganuzRvrelobebis
gasaxsnelad.
$ 5.4. funqciis grafikis ageba
funqciis grafikis agebis diferencialuri meTodi Sedgeba Semdegi 9 nabijisgan:
1. funqciis gansazRvris aris povna; luw-kentovanobis da periodulobis dadgena;
2. wyvetis wertilebis povna; wyvetis wertilebSi calmxrivi zRvrebis gamoTvla;
3. sakoordinato RerZebTan TanakveTis wertilebis povna;
4. usasrulobaSi funqciis yofaqcevis Seswavla;
5. zrdadobisa da klebadobis intervalebis povna;
6. funqciis gamokvleva eqstremumze;
7. funqciis amozneqilobis, Cazneqilobis Sualedebis dadgena; gadaRunvis wertilebis povna;
8. funqciis asimptotebis povna;
9. pirveli rva punqtis gamoyenebiT grafikis ageba.
meTodis ilustrireba movaxdinoT Semdegi oTxi martivi funqciis magaliTze:
a) y  x ;
1
b) y  ;
x
g) y  x 2 ;
d) y  sin x .
(5.4.1)
(5.4.2)
(5.4.3)
(5.4.4)
1. movZebnoT (5.4.1), (5.4.2), (5.4.3), (5.4.4) funqciebis gansazRvris areebi.
a) y  x funqciis gansazRvris area x ]  ;[ , an, rac igivea, x  R 1 .
*)
g. f. a. lopitali (1661-1704) _ frangi maTematikosi
5
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
1
funqcia
x
x ]  ;0[]0;[ .
b)
y
gansazRvrulia
nebismieri
wertilSi
R 1 -dan,
garda
0-sa,
e.i.,
g) y  x 2 funqciis gansazRvris area x ]  ;[ .
d) y  sin x funqciis gansazRvris area x ]  ;[ .
gavarkvioT TiToeuli funqciis luw-kentovanoba.
a) f ( x)  x . ganvixiloT f ( x) .
f ( x)   x   f ( x) , e.i., funqcia kentia.
1
b) f ( x)  . ganvixiloT
x
1
1
f ( x) 
    f ( x) , e.i., funqcia kentia.
x
x
2
g) f ( x)  x . ganvixiloT
f ( x)  ( x) 2  x 2  f ( x) , e.i., funqcia luwia.
d) f ( x)  sin x . ganvixiloT
f ( x)  sin(  x) .
(5.4.5)
nax. 5.4.1-ze mocemulia r radiusiani wre. I meoTxedSi gadavzomoT  radianis toli kuTxe.
sin  -s ganmartebis Tanaxmad (ix. gansazRvra 5.1.5)
y
sin   .
r
cxadia,
y
y
y
sin(  ) 
    sin  .
r
r
bolo tolobis ZaliT, (5.4.5) toloba
Semdegi saxiT gadaiwereba
( x, y)
f ( x)  sin(  x)   sin x   f ( x) ,
e. i., y  sin x funqcia kentia.
SeniSvna 5.4.1. y  sin x funqcia

I da II meoTxedebSi dadebiT
x
O
mniSvnelobebs iRebs, xolo III da IV
meoTxedebSi _ uaryofiTs.
( x,  y)
nax. 5.4.1
perioduloba.
a) f ( x)  x
f ( x  l )  x  l  x maSin da
mxolod maSin, roca l  0 , rac imas
niSnavs, rom (5.4.1) funqcia
araperiodulia.
1
b) f ( x) 
x
6
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
1
1
 maSin da mxolod maSin, roca l  0 , rac imas niSnavs, rom (5.4.2) funqciac
xl x
araperiodulia.
g) analogiurad mtkicdeba, rom (5.4.3) funqciac araperiodulia.
d) (5.4.4) funqcia periodulia da misi umciresi dadebiTi periodia 2 . marTlac, radgan
sin( 2  x)  sin 2 cos x  cos 2 sin x  sin x ,
amitom 2 warmoadgens erT-erT periods. vaCvenoT, rom is umciresi dadebiTi periodia. Tu
davuSvebT, rom 0  l  2 periodia, maSin
sin( x  l )  sin x
nebismieri x-sTvis, maT Soris x  0 -sTvisac, rac imas niSnavs, rom
sin l  sin 0  0 ,
rac marTebulia 2 -ze naklebi mxolod erTi l   mniSvnelobisTvis. magram  ar warmoadgens



sin x -is periods, radgan sin  1 , sin      1 .
2
2

f (x  l) 
2. gavarkvioT funqciis wyvetis wertilebis sakiTxi.
a) y  x funqcias wyvetis wertilebi ar gaaCnia.
1
b) y 
funqciis wyvetis wertilia x  0 . vipovoT (5.4.2) funqciis calmxrivi zRvrebi wyvetis
x
wertilSi
1
1
lim   , lim   .
x 0  x
x 0  x
(5.4.3) da (5.4.4) funqciebs wyvetis wertilebi ar gaaCniaT.
3. funqciis grafikis x da y RerZebTan TanakveTis wertilebis mosaZebnad Sesabamisad y da x
cvladebi unda gavutoloT nuls.
a) y  x funqcia gadis koordinatTa saTaveze, e. i., (0,0) wertilze.
1
b) y  funqciis grafiki ar kveTs sakoordinato RerZebs.
x
g) y  x 2 funqciis grafiki gadis (0,0) wertilze.
d) y  sin x funqciis grafiki x RerZs kveTs, roca sin x  0 -s, e.i., x  k , k  0,  1,  2,...
wertilebSi, y RerZs ki (0,0) wertilSi, radgan y  sin 0  0 .
4. funqciis yofaqceva usasrulobaSi.
a) lim x   .
x  
1
 0.
x
g) lim x 2   .
b) lim
x  
x 
d) lim (sin x) ar arsebobs.
x  
5. zrdadoba-klebadobis sakiTxis dadgena.
a) f ( x)  x .
7
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
f ' ( x)  1  0 , e. i. funqcia zrdadia gansazRvris mTel areze.
1
b) f ( x)  .
x

1
f ' ( x)  x 1  (1) x  2   2  0 nebismieri x  0 -sTvis. funqcia klebadia Tavis gansazRx
vris areze.
g) f ( x)  x 2 .
 
roca
   2x 00,, roca
f ' ( x)  x 2
d) f ( x)  sin x .

x  0, e.i. zrdadia, roca x  [0;[,
x  0, e.i. klebadia, roca x ]  ;0].
i zrdadia,
 0, I da IV meoTxedebS
f ' ( x)  cos x
i klebadia.
 0, II da III meoTxedebS
6. funqciis eqstremumis wertilebis moZebna.
a) f ( x)  x .
f ' ( x)  1  0 , e.i., y  x funqcias eqstremumis wertilebi ar aqvs.
1
b) f ( x)  .
x
1
1
f ' ( x)   2  0 , e.i., y  funqcias eqstremumis wertilebi ar aqvs.
x
x
2
g) f ( x)  x .
f ' ( x)  2 x  0 , roca x  0 .
x  0 eqstremumis wertilia. imis gasarkvevad, es wertili maqsimumis wertilia, Tu minimumis,
saWiroa, vipovoT f " ( x ) :
f " ( x)  2  0 ,
e.i., x  0 minimumis wertilia.
d) f ( x)  sin x .

f ' ( x)  cos x  0 , roca x   k , k  0;  1;  2; .
2
ganvixiloT f " ( x ) :
 0, roca k  2 j,




j  0;  1;  2; ....
f " ( x)   sin x  f "   k    sin   k    cos k 

0
,
roca
k

2
j

1
,
2
2





8
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
miviReT, rom x 
wertilebia, xolo


2
x
 2j ,

2
 
 
j  0,  1,  2,... funqciis maqsimumis sin   2j   1
 
 2
  (2 j  1) *), e.i.,
x

2
 2j *),
j  0,  1,  2,... _ funqciis

 

 2j   1 wertilebia.
 2


minimumis sin 

7. funqciis amozneqiloba, Cazneqiloba; gadaRunvis wertilebis povna.
a) f ( x)  x .
f " ( x)  0 , e.i., y  x funqcia ar aris arc amozneqili da arc Cazneqili.
b) f ( x) 
1
.
x
'
'
2  0, roca x  0,
 1
f " ( x)       x 2   3 
x  0, roca x  0,
 x
1
e.i., y  funqciis grafiki x ]0;[ SualedSi Cazneqilia, xolo x ]  ;0[ SualedSi _ amozneqili.
y
g) f ( x)  x 2 .
f "  2  0 , e.i., funqciis grafiki Cazneqilia.
d) f ( x)  sin x .
i,
 0, III da IV meoTxedebS
f " ( x)   sin x
i,
 0, I da II meoTxedebS
x ]    2k ,2k[ , amozneqilia, roca
e.i., funqciis grafiki Cazneqilia, roca
x ]2k ,  (1  2k )[ , k  0;  1;  2; .... cxadia, rom
f " (k )   sin( k )  0 ,
rac imas niSnavs, rom x  k gadaRunvis wertilebia.
8. asimptotebis povna.
a) (5.4.1) funqciis grafiks asimptotebi ar aqvs.
b) (5.4.2) funqciis grafikis horizontaluri asimptotaa y  0 , vertikaluri asimptota ki x  0 ; daxrili
asimptotebi ar gaaCnia.
g) (5.4.3) funqciis grafiks asimptotebi ar aqvs.
d) (5.4.4) funqciis grafiks asimptotebi ar aqvs.
9. grafikis ageba (ix. nax 5.42 _ 5.4.5).
*)
wertilTa es simravleebi rom erTidaigivea, advilad davrwmundebiT j  j   1, j, j   0,1,2, ...,
CasmiT.
9
leqcia 10
kalkulusi biologebisTvis
yx
y
nax. 5.4.2
1
x
nax. 5.4.3
y  x2
y  sin x
nax. 5.4.4
nax. 5.4.5
10