Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMATÁTICA IV 01) Tenho quatro números primos positivos distintos. Um deles é um número par. O segundo é um divisor de 100 e é ímpar. O terceiro e o quarto são fatores de 1870. A soma e o produto desses quatro números primos, são, respectivamente: a) 35 e 1870 c) 43 e 3230 e) 32 e 2145 b) 35 e 1326 d) 44 e 1870 Alternativa A 1o é par, portanto é 2 2o é divisor de 100, portanto é 5 3o e 4o são fatores de 1870 1870 = 2 . 5 . 11 . 17 . Portanto são 11 e 17 Soma = 2 + 5 + 11 + 17 = 35 Produto = 2 . 5 . 11 . 17 = 1870 02) Dado o número complexo z = cos - i sen , IR é verdade que 1 z é igual a a) sen + i cos b) sen - i cos c) cos - i sen d) cos + i sen 1 1 e) -i cos sen Alternativa D 1 z 1 z 1 z = = 1 . (cos + i sen ) (cos - i sen ) (cos + i sen ) cos + i sen 2 2 cos + sen = cos + i sen Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br 03) Sabendo-se que o número complexo x - y x 2 + y2 + 1 . + 1 x + y 2 xy a) 4 + 7i d) -4 - 7i b) 5 + 7i e) -5 - 7i x y = 4 + 7i, então a expressão é: c) -4 + 7i Alternativa B x - y x 2 + y 2 = . + 1 + 1 x + y 2 xy x - y + x + y x 2 + y 2 + 2xy = . = x+ y 2xy = 2x x + y . (x + y) 2 = 2 xy x + y y = x y + 1 = = 4 + 7i + 1 = 5 + 7i 04) Seja dada a função A( x ) , B( x ) na qual A(x) e B(x) são polinômios inteiros em x de graus m e n, respectivamente, tais que m n 1 e B(x) 0. Se o polinômio A(x) dividido por B(x) dá resto R(x) (de grau inferior a B(x)) e quociente Q(x), então a) A(x) = B(x) + Q(x) R(x) b) B(x) = A(x) + Q(x) R(x) A( x ) Q(x) = + R(x) c) d) e) B( x ) A( x ) B( x ) A( x ) B( x ) B(x) = B(x) Q(x) + R(x) = Q(x) + R( x ) B( x ) Alternativa E A(x) R(x) B(x) A(x) = B(x) . Q(x) + R(x) Q(x) Sendo B(x) 0, temos A( x ) B( x ) = Q(x) + R( x ) B( x ) Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br 05) Sejam S a soma das raízes da equação x 4 - (a2 + b2)x2 + a2b2 = 0 e P o seu produto. Sabendo-se que a e b são dois números reais não nulos, é verdade que, a) b) c) d) e) S=0 S=0 S = a2 + b2 e S = a2 + b2 e S = -(a2 + b2) e P = a2b2 e P = -a2b2 P=0 P = a2b2 e P = a2b2 Alternativa A x4 - (a2 + b2)x2 + a2b2 = 0 Pela relação de GIRARD, temos S = 0 e P = a2b2 06) Se At é a matriz transposta da matriz A = 0 k k 0 , para todo k IR, então o determinante da matriz A - At é igual a a) 0 b) k2 c) 6k2 d) -4k2 e) 4k2 Alternativa E A - At = 0k k 0 0 - -k 0 k 0 = 2k -2k 0 det(A - At) = 4k2 07) Uma das retas que é tangente à circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0 e que passa pela origem tem equação: a) y = x d) y = b) y = -x 2 x 2 e) y = 2x Alternativa C x2 + y2 - 4x + 3 = 0 C (2, 0) e R = 1 c) y = 3 x 3 Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br r 30º 1 R=1 2 3 s mr = tg 30o mr = 3 3 3 y - yo = m (x - xo) y = ms = tg 330o ms = - x 3 3 3 y - yo = m (x - xo) y = - 3 3 x 08) Precisamos alugar um carro por um único dia. Consultadas duas agências, a primeira cobra R$62,00 pela diária e R$1,40 por quilômetro rodado. A segunda cobra diária de R$80,00 e mais R$1,20 por quilômetro rodado. Nessas condições, a) b) c) d) e) a primeira agência oferece o melhor negócio, qualquer que seja a quilometragem rodada. a segunda agência é melhor somente acima de 100 km rodados. a primeira agência cobra menos somente até 80 km rodados. a segunda agência é melhor, se rodados no máximo 120 km. existe uma quilometragem inferior a 100, na qual as duas agências cobram o mesmo valor. Alternativa E As funções ficam definidas: 1o) y = 62 + 1,4x 2o) y = 80 + 1,2x Onde y é o valor total do alugel e x , a quilometragem rodada. 62 + 1,4x = 80 + 1,2x x = 90 km Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br 09) Seja a função logarítmica, real, definida por f(x) = logx (6x2 - 5x + 1). Seu campo de definição é: a) x > 1 3 1 3 1 3 1 3 b) 0 < x < c) 0 < x d) 0 < x < e) IR ou x > ou x = 1 2 ou 1 2 1 3 ou x > 1 2 < x < 1 ou x > 1 Alternativa D f(x) = logx (6x2 - 5x + 1) Da definição de logaritmo vem que: 6x2 - 5x + 1 > 0 e x > 0 e x 1 As raízes da equação: 6x2 - 5x + 1 = 0 são 10) 1 3 c) e) 1 2 Para todo número inteiro k., o conjunto solução de sen2 x - cos2 x = - 6 6 6 + k b) + 2k d) + 3 3 k 2 + k + 2k Alternativa A sen2 x - cos2 x = sen2 3 ou x = 1 1 2 números reais x iguais a a) 1 wwwww wwwww wwwwwww 0 x= x-1+ sen2 x = 1 4 sen2 1 2 , como cos2 x = 1 - sen2 x x=- 1 2 2 sen2 x = sen x = 1 2 x= 6 1 2 + k 1 2 é o conjunto dos Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br 11) Os dois ponteiros de um relógio estão, um exatamente no número 2 e o outro exatamente no número 7. O ângulo formado pelos dois ponteiros é: a) 120o b) 135o c) 150o d) 90o e) 75o Alternativa C Cada divisão tem 30o, pois 11 12 360 12 o = 30o. Graficamente temos: 1 10 2 9 3 150º 8 4 7 6 5 12) Tem-se uma chapa de aço retangular de 10m de comprimento por 4m de largura. Com esta chapa forma-se uma cuba, como mostra a figura abaixo. O valor de , em radianos para que o volume da cuba seja o maior possível é a) 4 b) 2 c) 2 3 d) 3 4 e) 5 6 Alternativa B V = AB.h AB = a . b .sen h = 10m 2 Como a altura é constante (h = 10m), o volume será máximo, quando a área da base for máxima. E a área da base será máxima quando sen = 1 = 2 Fonte:uni-técnico