Equações do 2º grau

Equações do 2º grau
Professora: Mariane Krull
Turma: 9º ano
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Definição de equações
É toda igualdade que contém letras que representam números
desconhecidos chamados de variáveis e incógnitas.
Veja alguns tipos de equações abaixo:
a.
b.
c.
d.
2
2x – 3 = 15  equação de variável x;
x² + y = 8  equação de variável x e y;
2 a+ 9 = 3  equação de variável a;
90 - b = 18  equação de variável b;
Grau de uma equação com uma incógnita
 O grau de uma equação é o valor do maior expoente da variável na
equação. Veja:
a)
b)
c)
3
2x + 7 = 15  equação do 1º grau, pois o maior expoente da variável é
igual a 1.
x² + 2x + 2 = 0  equação do 2º grau, pois o maior expoente da variável
é igual a 2;
x³ + x² - 3x + 5 = 0  equação do 3º grau, pois o maior expoente da
variável é igual a 3;
Equações do 2º grau
Definição: É toda equação com uma incógnita que pode ser escrita na
forma ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a≠ 0.
Condição: Para que uma equação na forma ax² + bx + c=0 possa ser do 2º
grau, obrigatoriamente, a ≠ 0;
Exemplos:
a) x² - x – 870 = 0 ( equação do 2º grau com incógnita x);
b)
y² - 3y + 7 = 0 ( equação do 2º grau com incógnita y);
c)
a² + 5 a + 10 = 0 ( equação do 2º grau com incógnita a);
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Equações do 2º grau
 Mas quem são a, b e c em uma equação do 2º grau?
Exemplo 1: 3x² + x + 15 = 0
a= 3  sempre vai ser o coeficiente de x²
b= 1  sempre vai ser o coeficiente de x;
c=15  é o termo independente;
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Equações do 2º grau
Exemplo 2: Identifique os coeficientes a,b e c da equação -x² - 2x + 30 = 0
Resolução:
a= -1
b= -2
c=30
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Equações do 2º grau completas e incompletas
a) Equações do 2º grau completas:
São equações que possuem o valor de a, b e c.
b) Equações do 2º grau incompletas:
São equações que possuem pelo menos um dos coeficientes a, b , c
nulos.
Exemplos:
a) 4x² + x – 9 = 0  equação completa, pois:
a= 4;
b= 1;
c= -9;
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Equações do 2º grau completas e incompletas
Exemplos:
b) 4x² + x – 9 = 0  equação completa, pois:
a= 4; b= 1; c= -9;
c) -x² – 8 = 0  equação incompleta, pois:
a= -1; b = 0; c = -8
d) 5x² + 7x = 0 equação incompleta, pois:
a= 5; b=7; c=0
e) -2x² - 8x + 3=0  equação completa, pois;
a= -2; b= -8; c= 3
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“Arrumando” equações do 2º grau
 Vimos que uma equação do 2º grau é apresentada na forma :
ax² + bx + c = 0 , onde a ≠ 0.
 Quando uma equação do 2º grau não aparece dessa forma, é
importante “arrumarmos” a equação para facilitar a determinação
dos coeficientes a,b e c.
Veja como:
( Exemplo 1 ) Determine os coeficientes a, b e c da equação do 2º grau (y + 5) (y –
5) = 4y – 8
Resolução:
É necessário arrumar a equação?Vamos responder no caderno e efetuar os
procedimentos necessários.
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“Arrumando” equações do 2º grau
( Exemplo 2 ) Determine os coeficientes a, b e c da equação do 2º grau :
𝑥
5
-
𝑥(𝑥 −2)
=
3
2
Resolução:
É necessário arrumar a equação?Vamos responder no caderno e efetuar os
procedimentos necessários.
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Exercícios
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Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau
Notas importantes:
1) Quando resolvíamos equações do 1º grau,
encontrávamos uma solução, pois a equação era do 1º
grau;
2) Para as equações do 2º grau, encontraremos 2 soluções,
que também chamamos de raízes da equação;
3) Se fossemos resolver uma equação do 3º grau
encontraríamos 3 soluções e assim por diante. O grau da
equação define o números de soluções da mesma;
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Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau
a) Encontrando as raízes de uma equação do 2º grau
completa: Inicialmente iremos aprender a resolver
equações do 2º grau completas.
1º Passo: Determinar os valores dos coeficientes a, b e c.  Já
aprendemos.
2º Passo: Determinar o valor de ∆ ou discriminante;
3º Passo: Utilizar a fórmula de Bháskara para finalmente
encontrarmos os valores das raízes da equação;
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IMPORTANTE:
Determine os valores de a,b e c
corretamente, pois todo o restante dos
cálculos dependerá exclusivamente
destes coeficientes.
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Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau
2º Passo: Determinar o valor de ∆ ou discriminante;
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Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau
3º Passo: Determinar o valor de Bháskara:
O ± indica que temos dois resultados possíveis para ser a
solução da equação;
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Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau
Vamos praticar?
( Exemplo) Calcule as raízes da equação x² - 4x – 32=0
Resolução no caderno
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Analisando o discriminante ou delta( ∆ )
 Saber analisar o valor de ∆ encontrado em uma equação do 2º grau é
muito importante, pois é o valor de ∆ que determina quantas raízes
a equação tem.
 São três os casos possíveis e analisados para ∆:
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Analisando o discriminante ou delta( ∆ )
1º caso : Quando ∆ >0
Neste caso, quando ∆ é positivo, a equação do 2º grau terá duas raízes
reais e distintas (diferentes)
Exemplo: Verifique através do valor de ∆ encontrado, quantas raízes a
equação abaixo terá:
y² - 7y +6 = 0
Resolução: no caderno
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Analisando o discriminante ou delta( ∆ )
2º caso : Quando ∆ = 0
Neste caso, quando ∆ é exatamente igual a zero, a equação do 2º grau
terá duas raízes reais e iguais.
Exemplo: Verifique através do valor de ∆ encontrado, quantas raízes a
equação abaixo terá:
x² + 2x +1= 0
Resolução: no caderno
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Analisando o discriminante ou delta( ∆ )
3º caso : Quando ∆ < 0
Neste caso, quando ∆ é um número negativo, a equação do 2º grau
não terá raízes reais, pois não temos raiz quadrada de números
negativos dentro dos reais.
Exemplo: Verifique através do valor de ∆ encontrado, quantas raízes a
equação abaixo terá:
12x² - 9x +7= 0
Resolução: no caderno
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Exercícios
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FIM !
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