Exercícios 1

1ª Lista de exercícios
1.1 Responder se é certo ou errado: Todo procedimento recursivo deve incorporar
terminações sem chamadas recursivas, caso contrário ele seria executado um número
infinito de vezes.
1.2 Responder se é certa ou errada cada afirmativa abaixo:
(i)
(ii)
O algoritmo que calcula o fatorial de forma recursiva requer apenas uma
quantidade constante de memória.
O algoritmo abaixo requer o armazenamento do vetor fat, com n+1
elementos.
fat[0] = 1
for(j = 1; j <= n; j = j+1)
fat[j] = j * fat[j-1];
1.3 Desenvolver um algoritmo não recursivo para o cálculo do fatorial de inteiro n ≥ 0,
de tal forma que prescinda do armazenamento de qualquer vetor.
1.4 Mostrar que o algoritmo para o problema das Torres de Hanói, requer exatamente
2n-1 movimentos de disco para terminar.
1.5 Reescrever o algoritmo do problema das Torres de Hanói, de forma que a
recursividade pare no nível correspondente a n = 1, e não a n = 0, como no algoritmo do
texto. Há alguma vantagem em realizar essa modificação? Qual?
1.6 Elaborar um algoritmo não recursivo para o problema das Torres de Hanói.
1.7 Considere a seguinte generalização do problema das Torres de Hanói: O problema,
agora, consiste em n discos de tamanhos distintos e quatro pinos, respectivamente, o de
origem, o de destino e dois pinos de trabalho. De resto, o problema é como no caso de
três pinos. Isto é, de início, os discos se encontram todos no pino-origem, em ordem
decrescente de tamanho, de baixo para cima. O objetivo é empilhar todos os discos no
pino-destino, satisfazendo às mesmas condições do caso dos três pinos. Elaborar um
algoritmo para resolver essa generalização. Determinar o número de movimentos de
disco efetuados.
1.8 Escrever as seguintes funções em notação O:
n3 - 1
n2 + 2 log n
3nn + 5.2n
(n - l)n + nn-1
302
1.9 A seqüência de Fibonacci é uma seqüência de elementos f1,···, fn, definida do
seguinte modo:
f1 = 0,
f2 = 1,
fj = fj-1 + fj-2, j > 2.
Elaborar um algoritmo, não recursivo, para determinar o elemento fn da seqüência, cuja
complexidade seja linear em n.
1.10 Determinar a quantidade de chamadas recursivas do seguinte algoritmo para
determinar o elemento fn da seqüência de Fibonacci.
int f (int n)
{
if (n == 1) return 0;
else if (n ==2) return 1;
else return (f(n - 1) + f(n - 2));
}
1.11 Considere a seguinte seqüência de elementos gl, ... , gn para um dado valor de k.
gj = j - 1, 1 ≤ j ≤ k;
gj = gj-l + gj-2, j > k.
Elaborar um algoritmo para determinar o elemento gn da seqüência, cuja complexidade
seja O(n).
1.12 Determine a complexidade dos algoritmos abaixo, justificando sua resposta:
a)
int MAIOR (int N, int A[])
{
int i, max = A[0];
for (i=1; i<N, i++)
if (max < A[i])
max = A[i];
return max;
}
b)
void ORDENA (int N, int A[])
{
int i;
for(i=0; i<N-1; i++)
for(j=0; j<N-1-i; j++)
if (A[j] > A[j+1])
{
x = A[j];
A[j] = A[j+1];
A[j+1] = x;
}
}
c)
n = 0;
while (n < 10)
{
k = 1;
while ( k < 10 )
{
...
k = k + 1;
}
n = n + 1;
}
1.13) Dois algoritmos A e B possuem complexidade n5 e 2n, respectivamente. Você
utilizaria o algoritmo B ao invés do A. Em qual caso? Exemplifique.
1.14) Uma métrica utilizada para avaliar algoritmos é a Métrica Empírica. Essa consiste
em escolher uma métrica (tempo, número de instruções executadas etc.), propor
entradas diferenciadas (geralmente com alguma característica predefinida), ou seja,
amostras. Finalmente executar o algoritmo com as entradas e analisar os resultados. Esta
medida pode ser utilizada para comparar dois algoritmos. Critique a métrica.
1.15) Podemos dizer que um algoritmo com complexidade f(n) = O(f(n/2))? Justifique.
1.16) Considere o problema de encontrar um elemento em um conjunto ordenado de
dados: a1 < a2 < a3 < ....< an. Elabore um algoritmo eficiente para este problema. Em que
situações o algoritmo é ótimo? Em que situações o algoritmo apresenta o pior
desempenho? Apresente um limite superior para este problema em função de n e
exemplifique.