Apresentação do PowerPoint
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Interacção Radiação-Matéria João Seabra Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 1 Revisões Mecânica Analítica • Equação de Lagrange 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − =0 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘 • Considera-se um Lagrangeano 𝑳 ≡ 𝑳 𝒒𝒌, 𝒒𝒌 : 𝑑𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑑 𝑞𝑘 = 𝑘( 𝑞𝑘 + ) 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘 𝑑𝑡 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 2 Revisões • Constante do movimento: 𝜕𝐿 𝐿 − 𝑘 𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘 • Momento conjugado: 𝜕𝐿 𝑝𝑘 = 𝜕𝑞𝑘 • O Hamiltoniano ℋ é então definido por: ℋ= 𝑞𝑘 𝑝 𝑘 − 𝐿 𝑘 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 3 Revisões Electrodinâmica Clássica • Relação entre os campos e os potenciais electromagnéticos 𝑩= 𝛻×𝑨 𝜕𝑨 𝑬 = −𝛻𝑉 − 𝜕𝑡 • Força de Lorentz 𝑭 = 𝑞(𝑬 + 𝒗 × 𝑩 ) Usando as relações anteriores: 𝜕𝑨 𝑭 = 𝑞(−𝛻𝑉 − + 𝒗× 𝛻×𝑨 ) 𝜕𝑡 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 4 Revisões • Potencial electromagnético 𝑈𝑒𝑚 = 𝑞(𝑉 − 𝒗. 𝑨 ) • 𝑭 = −𝛻𝑈𝑒𝑚 + 𝑑 𝑑𝑡 𝛻𝒗𝑈𝑒𝑚 • Lagrangeano electromagnético: 1 𝐿 = 𝑇 − 𝑈0 − 𝑈𝑒𝑚 = 𝑚𝑣 2 − 𝑈0 − 𝑞𝑉 + 𝑞 𝒗. 𝑨 2 • 𝒑= 𝜕𝐿 𝜕𝒗 = 𝑚𝒗 + 𝑞𝑨 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 5 Revisões • ℋ = 𝒗. 𝒑 − 𝐿 = m𝑣 2 + 𝑞 𝒗. 𝑨 − 𝐿 1 = 𝑚𝑣 2 + 𝑈0 + 𝑞𝑉 2 (𝑝−𝑞𝐴)2 = 2𝑚 + 𝑈0 + 𝑞𝑉 • Regra da substituição mínima: Na presença de um campo electromagnético, devem ser feitas as seguintes substituições: 𝒑 → 𝒑 − 𝑞𝑨 ℋ → ℋ + 𝑞𝑉 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 6 Eq. de Schrodinger: electrão num campo e.m. • Equação de Schrodinger: 𝜕𝜓 𝑖ℏ 𝜕𝑡 = ℋ𝜓 = (−𝑖ℏ𝛻+𝑒𝑨)2 2𝑚 − 𝑒𝑉 𝜓 • Considerando o campo magnético constante, pretende-se resolver a equação: ℏ2 2 𝑖𝑒ℏ 𝑒2 2 − 𝛻 𝜓− 𝑨. 𝛻𝜓 + 𝑨 𝜓 − 𝑒𝑉𝜓 = 𝐸𝜓 2𝑚 𝑚 2𝑚 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 7 Eq. de Schrodinger: electrão num campo e.m. • 𝑨= 1 − 2 𝒓×𝑩 • O campo magnético é alinhado na direcção de z ℏ2 2 𝑒 𝑒 2 𝐵2 2 − 𝛻 𝜓− 𝐵ℏ𝑚𝜓 + 𝑥 + 𝑦 2 𝜓 − 𝑒𝑉𝜓 = 𝐸𝜓 2𝑚𝑒 2𝑚𝑒 8𝑚𝑒 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 8 Eq. de Schrodinger: electrão num campo e.m. • Resolve-se o problema em coordenadas cilíndricas, com: 𝑥 = 𝜌 cos 𝜙 ; y = ρsin(𝜙) • • 𝜓 𝒓 = 𝑢(𝜌)𝑒 𝑖𝑚𝜙 𝑒 𝑖𝑘𝑧 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 9 Eq. de Schrodinger: electrão num campo e.m. • Mudança de variável: 𝑥 = • 𝑢 𝑥 =𝑥𝑚𝑒 𝑥2 −2 𝑒𝐵 𝜌 2ℏ 𝐺(𝑥) Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 10 Eq. de Schrodinger: electrão num campo e.m. • Mudança de variável: 𝑦 = 𝑥 2 • 𝐺 𝑥 = 𝑗 𝑐 𝑦 𝑗 𝑗 Hands on Quantum Mechanics 2014/2015 11
