F(x 1 )

ALGORITMOS NA ENGENHARIA DE PROCESSOS (EQE 489)
MÉTODO DA BISSEÇÃO
x
f
BISS
f(x)
ALGORITMO
f (x)
Estabelecer xi, xs,  (tolerância)
Calcular fi em xi
Calcular fs em xs
REPETIR
x = (xi + xs)/2
xi
fs
x
xs
f
Calcular f em x
x
fi
Se Sinal (f) = Sinal (fi):
Então atualizar : xi = x : fi = f
Senão atualizar : xs = x : fs = f
ATÉ xs - xi  
SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi
SENÃO Solução = xs
f(x)
fs
f
xi
fi
x
xs
x
Estabelecer xi, xs,  (tolerância)
Calcular fi em xi
Calcular fs em xs
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
f = x1 x2* + ln x1
REPETIR
x = (xi + xs)/2
Calcular f em x
Se Sinal (f) = Sinal (fi):
Então atualizar : xi = x : fi = f
Senão atualizar : xs = x : fs = f
x2* = 2 : xi = 0 : xs = 1:  = 0,1
ATÉ xs - xi  
x
f
xs
fs

0,00005 -11,51
0,5
0,307
1
2
1
0,00005 -11,51
0,25
0,5
0,307
0,5
-0,231 0,5
0,307
0,25
0,048
0,307
0,125
xi
fi
0,25
-0,88
0,375
0,375
-0,231 0,4375
0,375
-0,231
-0,88
0,5
0,4375 0,048
0,0625
Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
EFICIÊNCIA DO MÉTODO
Nm : número de cálculos da função, no meio do intervalo,
necessário para alcançar o intervalo 
Nt : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo 
Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites
inferior e superior, então:
Nt = Nm + 2
 = 0,5Nm
ln  = Nm ln 0,5
Nt = 2 + ln  / ln 0,5
Nt = 2 – 1,4 ln 
10% :  = 0,1 N = 5,3  Nt = 6
1% :  = 0,01 N = 8,6  Nt = 9
x
f
xs
fs

0,00005 -11,51
0,5
0,307
1
2
1
0,00005 -11,51
0,25
0,5
0,307
0,5
-0,231 0,5
0,307
0,25
0,048
0,307
0,125
xi
fi
0,25
-0,88
0,375
0,375
-0,231 0,4375
0,375
-0,231
-0,88
0,5
0,4375 0,048
0,0625
Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA
Um método típico
Método da Substituição Direta
Se a incógnita aparecer em mais de termo da
equação, ela é explicitada parcialmente:
f(xi ) = 0  xi = F(xi)
Exemplo
F(x1)
x1 = - (1/ x2*) ln x1
f(x1)
x1 x2* + ln x1 = 0
F(x1)
x1 = e - x1 x2*
f(xi ) = 0  xi = F(xi)
A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .
F(x)
0,2
0,2
x
F(x1) = e - x1 x2*
(x2* = 2 : x1 inicial = 0,5)
x
0,5
0,367
0,479
0,383
0,464
F
0,367
0,479
0,383
0,464
0,395

0,264
0,302
0,199
0,210
0,149
F(x)
x
2
x
3
x
1
x
Solução: x = 0,4263
ALGORITMO
Estabelecer xinicial,  (tolerância)
F = xinicial
REPETIR
x=F
Calcular a Função F em x
ATÉ Convergir
xsolução = F
Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo)
Como dar a partida ?
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.
(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de
Cálculo.
(c) remover a variável (X na vertical).
Enquanto houver equações
Enquanto houver variáveis de frequência unitária
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.
(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de
Cálculo.
(c) remover a equação (X na horizontal).
Se ainda houver equações (ciclo!)
(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de
freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).
(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de
Cálculo.
(c ) remover equação (X na horizontal).
SIMULAÇÃO DE PROCESSOS COMPLEXOS
Processos Complexos
Corrente 1: única
conhecida
7
4
1*
Abrir C3
1
REPETIR
Simular E3 (C4,C5)
Simular E1 (C2)
Abrir C8
REPETIR
Simular E6 (C10,C11)
Simular E4 (C6,C7 )
Simular E7 (C9, C12)
Simular E5 (C8)
ATÉ Convergir C8
Simular E8 (C13, C14)
Simular E2 (C3)
ATÉ Convergir C3
9
3
2
2
5
3
8
6
4
5
10
13
12
6
7
11
14
8
ALGORITMO DA SEÇÃO ÁUREA
Algoritmo da Seção Áurea
ÁUREA
Iniciar
Repetir
Eliminar Região
Atualizar Delta
Se Convergiu Então Finalizar
Colocar Novo Ponto
Convergiu
Delta  Tolerância
ALGORITMO DE HOOKE & JEEVES
ALGORITMO
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do
ótimo)
Se houve Sucesso em alguma
direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um
Insucesso
Senão (proximidade do ótimo):
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Senão: reduzir os
incrementos
MÉTODO HEURÍSTICO PARA SÍNTESE DE REDES DE
TROCADORES DE CALOR
CRITÉRIO RPS PARA A SELAÇÃO DAS CORRENTES
ALGORITMO
Enquanto houver trocas viáveis, ou seja: To(Q) > To(F)
Selecionar um par de correntes (QMTO x FMTO ou QmTO x FmTO)
Fixar TEQ* = To(Q) e TEF* = To(F);
Metas provisórias (temperaturas de destino) :
TSQ = Td(Q) e TSF = Td(F)
TEQ* = ToQ
TEF*=ToF
TSF = TdF ?
TSQ = TdQ?
Se TEQ* - TSF < Tmin então limitar TSF = TEQ* - Tmin
Se TSQ - TEF* < Tmin então limitar TSQ = TEF* + Tmin
TEQ*
TEF*
TSF = TEQ* - 10
TSQ?
TEQ*
TEF*
TSF
TSQ = TEF* + 10
Com as metas ajustadas
TEQ*
TEF*
TEQ*
TSF = TEQ* - 10
TEF*
TSQ?
TSF
TSQ = TEF* + 10
Calcular Oferta e Demanda
Adotar a troca máxima: Q = Min (Oferta, Demanda).
Se Q = Oferta então confirmar TSQ e calcular TSF.
Se Q = Demanda, então confirmar TSF e calcular TSQ.
TEQ*
TEQ*
TEF*
TEF*
TSF
TSF calcular
TSQ calcular
TSQ
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