aula 9 - logica predicados - UFMT

Lógica de predicados
Seja a sentença:
“Se Sócrates é um ser humano então Sócrates é mortal;
Sócrates é um ser humano;
Portanto, Sócrates é mortal.”
Se p então q;
p;
Modus Ponens
Logo, q.
Todos seres humanos são mortais.
Sócrates é um ser humano.
Logo, Sócrates é mortal.
??????
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Lógica de predicados
Lógica de predicados
A linguagem da lógica de predicados é mais rica do que a lógica
proposicional, pois além de conter os objetos da lógica
proposicional, a lógica de predicados contem quantificadores,
símbolos funcionais e de predicados.
Vocábulos que denotam quantidades (TODOS, ALGUNS,
QUALQUER) têm uma função especial na análise.
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Lógica de predicados
Existem, por exemplo, vários tipos de inferências que não
possuem representação na lógica proposicional, mas podem ser
representados na lógica de predicados. Exemplo:
Todo aluno de ciência da computação é inteligente. Luciano é
aluno de ciência da computação. Logo, Luciano é inteligente.
A soma de dois números ímpares quaisquer é um número par.
A dificuldade em representar tais inferências na lógica
proposicional se deve as quantificações indicadas pelas
palavras “todo” e “qualquer”.
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Cálculo predicados
A análise de proposições compostas, isto é, proposições simples ligadas por
conectivos : ¬, ^, v , →, ↔, não é suficiente para determinar a validade
da maioria das situações matemáticas e do dia-a-dia.
Todos seres humanos são mortais.
Sócrates é um ser humano.
Logo, Sócrates é mortal.
Analisando os fatos:
- intuitivamente, vemos que este argumento é válido.
- sua formalização em lógica proposicional resulta em {p,q} → r;
- não há como mostrar que {p,q} → r é válido usando os métodos já vistos;
- a validade deste argumento depende do significado da palavra “todo”;
- a validade é determinada separando as proposições em partes;
- para tratar este tipo de argumento precisamos da lógica de predicados;
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Cálculo predicados
Cálculo de proposições ou cálculo proposicional: área que trata da análise de
proposições compostas.
Cálculo de predicados: área que trata da análise simbólica de predicados e
proposições quantificadas.
A linguagem formal da lógica de predicados é mais expressiva do que a da
lógica proposicional.
Esta maior expressividade é decorrente dos elementos básicos que compõem
as fórmulas da lógica de predicados:
objetos; conectivos; variáveis; predicados; quantificadores.
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Cálculo predicados
Objetos – é qualquer coisa a respeito da qual precisamos dizer algo
Na lógica de predicados, a notação de objeto é usada num sentido bastante
amplo. Objetos podem ser:
• concretos: a lua, a bola, o tênis, ...
• abstratos: a paz, o desejo, o conjunto vazio, ...
• fictícios: unicórnio, duendes, ...
• atômicos ou compostos: um teclado é composto de teclas, ...
Há, também, as constantes que representam objetos identificados do
Universo ("João", "o ponto A", etc. );
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Cálculo predicados
Conectivos – elementos para formação de proposições compostas a partir
de proposições atômicas. (mesmo da lógica proposicional)
Ex.:
 João é estudioso e Maria é dinâmica;
 Não é verdade que Paulo é diretor;
 Paulo é cuiabano ou Paulo é carioca;
 O livro está sobre a mesa e a mesa está sobre o chão. Equivale dizer:
Sobre (livro, mesa) Λ sobre (mesa,chão):
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Cálculo predicados
Variável – permite estabelecer fatos sobre objetos, sem nomeá-los
explicitamente. As variáveis representam objetos que não estão
identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.);
 bloco(X): X é um bloco
 mesa (y): Y é uma mesa;
 sobre(X,Y): X está sobre Y
Observar que proposições atômicas são sentenças que podem ter um valor
verdadeiro ou falso.
Não podemos dizer “bloco(X)” é verdadeiro ou falso até que a variável X
tenha sido substituída ou quantificada.
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Cálculo predicados
Predicado – denota uma relação entre objetos num determinado contexto.
Exemplo:
"Maria é inteligente" : I(m); onde "m" está identificando Maria e "I" a
propriedade de "ser inteligente".
"Alguém gosta de Maria”: G(x,m); onde G representa a relação "gostar de“, "x"
representa "alguém“ e “m” representa Maria
“O livro de IA está sobre a mesa”: sobre(livro, mesa); onde sobre representa a
relação entre os objetos livro e mesa.
“O número 2 pertence aos Inteiros”: pertence(número 2, conjunto Z); onde
pertence é a relação entre os objetos 2 e conj. Inteiros.
Em geral
P(x) : significa que x tem a propriedade P .
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Cálculo predicados
Predicado, na gramática, é a parte da sentença que fornece
informação sobre o sujeito.
Predicado, na lógica, pode ser obtido removendo substantivos de
uma proposição.
Ex.: Sejam os seguintes predicados:
– P: “.... é um estudante na UFMT”
– Q: “é um estudante no(a) ....”
P e Q são símbolos de predicados que podem ser reescritos com
variáveis:
– P(x): “x é um estudante na UFMT”
– Q(x; y): “x é um estudante no(a) y”
x e y são variáveis dos predicados.
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Cálculo predicados
Predicados e proposições quantificadas
Definição: Se P(x) é um predicado e x tem domínio D, o conjunto
verdade de P(x) é o conjunto de todos elementos de D que fazem
P(x) verdadeiro quando substituído por x.
O conjunto verdade de P(x) é denotado por: {x ϵ D | P(x)}
Exemplo 1:
– P(x): “x é um fator de 8” e o domínio de x é o conjunto de todos os
inteiros positivos.
O conjunto verdade de P(x) é {1, 2,4,8}.
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Cálculo predicados
Predicados e proposições quantificadas
Notação: Sejam P(x) e Q(x) predicados e suponha que o domínio
comum de x é D.
A notação P(x) → Q(x): significa que cada elemento no conjunto
verdade de P(x) está no conjunto verdade de Q(x).
A notação P(x) ↔ Q(x), significa que P(x) e Q(x) têm conjuntos
verdade idênticos.
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Cálculo predicados
Predicados e proposições quantificadas
Exemplo 2:
P(x): x é um fator de 8;
Q(x): x é um fator de 4;
R(x): x < 5 e x ≠ 3, e
o domínio de x é Z+ (inteiros positivos).
Que relações podem ser expressas entre os três predicados?
– O conjunto verdade de P(x) é {1,2,4,8};
– O conjunto verdade de Q(x) é {1,2,4};
– O conjunto verdade de R(x) é {1,2,4};
Logo, Q(x) → P(x);
Logo, R(x) → P(x);
Logo, Q(x) ↔ R(x);
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Cálculo predicados
Predicados e proposições quantificadas
Definição: Um predicado é uma sentença que contém um
número finito de variáveis e se torna uma proposição quando
as variáveis são substituídas por valores específicos.
Os valores das variáveis de predicados são definidos por conjuntos
chamados domínios. Por exemplo, R, Z, Q.
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Cálculo predicados
Quantificadores:
, universal e existencial
Definição: Quantificadores são palavras/expressões que referem a
quantidades tais como “todos”, “alguns”, “qualquer” e indicam para
quantos elementos do domínio um dado predicado é verdadeiro.
Quantificadores – permite estabelecer fatos sobre os objetos, sem
enumerá-los explicitamente.
Como transformar predicados em proposições?
– Atribuir valores específicos para todas variáveis.
– Usar quantificadores.
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Cálculo predicados
Há dois tipos de quantificadores
- Universal:
estabelece que todo objeto X é um bloco.
(x)P(x): significa que a propriedade P vale para todo x, ou ainda, que todos
os objetos do Universo considerado tem a propriedade P.
- Existencial:
, estabelece que algum objeto Y é mesa.
(∃ x)P(x): significa que algum x tem a propriedade P, ou ainda, que existe no
mínimo um objeto do Universo considerado que tem a propriedade P.
Estes quantificadores podem ser combinados numa mesma formula:
Todo bloco está sobre alguma coisa que é um bloco ou uma mesa.
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Cálculo predicados
Há dois tipos de quantificadores
: denota “para todos” e é chamado de quantificador universal.
– Exemplo :
 seres humanos x, x é mortal.
 x ϵ S, x é mortal
onde S é o conjunto de todos seres humanos.
∃ : denota “existe” e é chamado de quantificador existencial.
– Exemplo:
∃ uma pessoa t | t é um estudante de IA.
∃ t ϵ S | t é um estudante de IA.
onde S é o conjunto de todas as pessoas.
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Cálculo predicados
Definição: Seja Q(x) um predicado e D o domínio de x.
Uma proposição universal é uma proposição da forma:
“x ϵ D; Q(x).”
– A proposição universal é verdadeira se somente se Q(x) é verdadeiro
para todo x em D.
– A proposição universal é falsa se somente se Q(x) é falso para pelo
menos um x em D.
O valor de x para o qual Q(x) é falso é chamado de contra-exemplo
para a proposição universal.
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Cálculo predicados
Verifique se a proposição universal é verdadeira ou falsa:
(a) Seja D = {1; 2; 3; 4; 5} e a proposição  x ϵ D; x2 ≥ x.
12 ≥ 1; 22 ≥ 2; 32≥ 3; 42 ≥ 4; 52 ≥ 5
Logo, a proposição x ϵ D; x2 ≥ x é verdadeira.
Método da exaustão.
(b) x ϵ R; x2 ≥ x.
Logo, a proposição é falsa.
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Cálculo predicados
Definição: Seja Q(x) um predicado e D o domínio de x.
Uma proposição existencial é uma proposição da forma :
“∃ x ϵ D | Q(x).”
– A proposição existencial é verdadeira se somente se Q(x) é verdadeiro para pelo menos
um x em D.
– A proposição existencial é falsa se somente se Q(x) é falso para todo x em D.
Verifique se a proposição existencial é verdadeira ou falsa:
(a) ∃ m ϵ Z | m2 = m.
12 = 1.
Portanto, m2 = m para pelo menos um inteiro m.
Logo, a proposição ∃ m ϵ Z | m2 = m é verdadeira.
(b) Seja B = {5; 6; 7; 8; 9; 10} e a proposição ∃ m ϵ B | m2 = m.
52 = 25 ≠ 5; 62 = 36 ≠ 6; 72 = 49 ≠ 7; 82 = 64 ≠ 8; 92 = 81 ≠ 9; 102 = 100 ≠ 10
a proposição ∃ m ϵ B | m2 = m é falsa.
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Cálculo predicados
Tradução de linguagem formal para informal e vice-versa
a) x ϵ R; x2 ≥ 0. Todos números reais têm quadrados não negativos.
b) ∃ m ϵ Z | m2 = m. Existe um número inteiro cujo quadrado é igual a
ele mesmo.
c) Toda cobra é venenosa. x [cobra(x) →venenosa(x)]
d) Alguns programas são estruturados. ∃ programas p tal que p é
estruturado.
e) Algumas pedras são preciosas. ∃ x [pedra(x) Λ preciosa(x)]
f) Não existe bêbado feliz. x [bêbado(x) →~ feliz(x)]
g) Alguns políticos não são honestos. ∃ x [político(x) Λ ~ honesto(x)]
h) Nenhuma bruxa é bela. x [bruxa(x)→ ~ bela(x)]
i) Todos os triângulos têm três lados.  triângulos t, t tem três lados.
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Cálculo predicados
Proposição condicional universal
Considera-se que a forma de proposição mais importante em Matemática é a
proposição condicional universal.
x; se P(x) então Q(x)
Exemplo:
– x ϵ R; se x > 2 então x2 > 4.
– Se um número real é maior que 2 então seu quadrado é maior que 4.
Todos bytes têm oito bits.
– x, se x é um byte, então x tem oito bits. {x [byte(x) → oito bits(x)]}
Definição de um argumento válido como uma proposição condicional universal.
– Para todas () combinações de valores verdade das variáveis de uma sentença
 se as premissas são todas verdadeiras
 então a conclusão também é verdadeira.
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Cálculo predicados
Formas equivalentes de proposições universal e lógica
Há sentenças que podem ser escritas, equivalentemente, de mais de uma forma.
Exemplo: “Nem tudo que brilha é ouro”
Se nem tudo que brilha é ouro, então significa que existe alguma coisa que brilha e não
é ouro.
Assim: ~ x [brilha(x) →ouro(x)] ou
∃ x [brilha(x) Λ ~ouro(x)]
Demonstração:
~ x [brilha(x) →ouro(x)]
≡ ~x[~brilha(x) v ouro(x) (equivalência de implicação em “ou”)
≡ ∃ x ~ [~brilha(x) v ouro(x)]
≡ ∃ x [brilha(x) Λ ~ouro(x)]
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Cálculo predicados
Formas equivalentes de proposições universal e lógica
Há sentenças como: “Nem todo ator americano é famoso”
Observe que o antecedente da formula é uma condicional, que pode ser escrita:
~x[ator(x) Λ americano(x) → famoso(x)]
Uma interpretação para essa sentença seria: “se nem todo ator americano é famoso, então deve
existir um ator americano que não é famoso” , podendo ser escrita:
∃ x [ator(x) Λ americano(x) Λ ~famoso(x)]
Essas duas formas são equivalentes:
~x[ator(x) Λ americano(x) → famoso(x)]
≡ ~x[~(ator(x) Λ americano(x)) v famoso(x)]
≡ ~(x)[~ator(x) v ~americano(x) v famoso(x)]
≡ ∃ x ~ [~ator(x) v ~americano(x) v famoso(x)]
≡ ∃ x [ator(x) Λ americano(x) Λ ~famoso(x)]
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Cálculo predicados
Negações de proposições quantificadas
Exemplo:
P: Todos matemáticos usam óculos.
~P: Nenhum matemático usa óculos. (ERRADO)
Um ou mais matemáticos não usam óculos. (ou)
Alguns matemáticos não usam óculos.
Teorema:
A negação de uma proposição da forma
x ϵ D; Q(x)
é equivalente logicamente a proposição da forma
∃ x ϵ D | ~Q(x)
Simbolicamente temos:
~( x ϵ D; Q(x)) ≡ ∃ x ϵ D | ~Q(x)
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Cálculo predicados
Negações de proposições quantificadas
(∀ x) (x fala Inglês) : Todas as pessoas falam inglês.
¬(∀x) (x fala Inglês) :Nem todas as pessoas falam inglês.
Equivalência:
¬(∀x) (x fala Inglês) ⇔ (∃x)¬(x fala Inglês)
(∃x) (x foi à Antártida) :Alguém foi a Antártida.
¬(∃x) (x foi à Antártida) : Ninguém foi a Antártida
Equivalência:
¬(∃x) (x foi à Antártida) ⇔ (∀x)¬(x foi à Antártida)
Negação:
¬(∀x ∈ A) (P(x)) ⇔ (∃ x ∈ A) ¬(P(x))
¬(∃x ∈ A) (P(x)) ⇔ (∀x ∈ A) ¬(P(x))
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Cálculo predicados
Negações de proposições quantificadas
Exemplo:
P:  primos p, p é ímpar.
P:  x [primo(x) → impar(x)]
~P: ∃ um primo p | p não é ímpar.
~P: ∃ (x) [primo(x) Λ ~impar(x)]
Exemplo:
P: Todos os programas de computador são finitos.
~P: Alguns programas de computador não são finitos.
Exemplo:
P:  políticos x, x não é honesto.
P:  x [político(x) → ~honesto(x)]
~P: Alguns políticos são honestos. ~P: ∃ (x) [político(x) Λ honesto(x)]
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Cálculo predicados
Negações de proposições existenciais
Exemplo:
P: Alguns peixes respiram ar.
~P: Alguns peixes não respiram ar. (ERRADO)
~P: Nenhum peixe respira ar.
Teorema:
A negação de uma proposição da forma:
∃ x ϵ D | Q(x)
é equivalente logicamente a proposição da forma
x ϵ D; ~Q(x)
Simbolicamente temos:
~ ( ∃ x ϵ D |Q(x)) ≡  x ϵ D; ~Q(x)
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Cálculo predicados
Negações de proposições existenciais
Exemplo:
P: ∃ um triângulo tal que a soma dos ângulos de T é igual a 200
graus. ∃ (x) [triangulo(x)
~P:  triângulos T, a soma dos ângulos de T não é igual a 200 graus.
Exemplo:
P: Alguns hackers de computador têm mais de 40 anos.
~P: Todos os hackers de computador têm 40 anos ou menos.
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Cálculo predicados
Assim os argumentos dados no início podem ser representados
simbolicamente como:
Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas.
Pedro não é amigo de Jonas.
Logo, Pedro não é amigo de Carlos.
Simbolicamente:
( x) (A(x,c) → A(x,j))
~ A(p,j)
~ A(p,c)
onde A(x,y) significa que x é amigo de y e “c, p, j” são constantes que
representam Carlos, Pedro e Jonas, respectivamente.
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Cálculo predicados
Todos os humanos são racionais.
Alguns animais são humanos.
Portanto, alguns animais são racionais.
Simbolicamente:
(x) (P(x) → Q(x))
(∃ x) (R(x) v P(x))
(∃ x) (R(x) v Q(x))
onde P ,Q ,R simbolizam as propriedades de: ser humano, ser racional
e ser animal, respectivamente.
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Cálculo predicados
O significado das fórmulas na lógica de predicados depende da
semântica dos conectivos e da interpretação de objetos e
predicados.
Uma interpretação na lógica de predicados consiste de:
– um conjunto D ≠ ∅, denominado domínio da interpretação;
– um mapeamento que associa cada objeto a um elemento fixo em D;
– um mapeamento que associa cada predicado a uma relação em D.
O quantificador ∀ denota uma conjunção e o quantificador ∃ denota
uma disjunção.
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Cálculo predicados
Por exemplo, para D = {a, b, c }, a fórmula:
∀ X [colorido (X)] denota a conjunção:
colorido (a) ∧ colorido (b) ∧ colorido (c); e
∃ X [cor(X, azul)] denota a disjunção:
cor(a, azul) ∨ cor(b,azul) ∨ cor(c, azul).
Além disso, como ¬(α ∧ β) |≡(¬α ∨ ¬β), é fácil ver que:
¬∀ X [cor(X, azul)] |≡ ∃ X [¬cor(X, azul)].
De modo análogo, concluímos que
¬∃ X [cor(X, roxo)] |≡ ∀ X [¬cor(X, roxo)]
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Cálculo predicados
Exercícios:
1. Verifique se há equivalência entre as sentenças:
a) “Nem toda estrada é perigosa” e “ algumas estradas não são perigosas”
b) “Nem todo bêbado é fumante” e Alguns bêbados são fumantes”
2. Formalize as sentenças, usando lógica de predicados
a) Nenhum leão é manso
b) Toda pedra preciosa é cara
c) Existem impostos que não são bem empregados
d) Há aves que não voam
e) Os remédios são perigosos
f) Ninguem gosta de impostos
g) Todo circo tem palhaço
h) Tudo que sobe, desce
i) Existem plantas que são carnívoras
j) Nenhum homem é infalivel
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Cálculo predicados
3. Dar a negação de cada uma das seguintes proposições:
(a) (∀ x ∈ A)P(x) ∧ (∃ x ∈ A)Q(x)
(b) (∃x ∈ A)P(x) ∨ (∀x ∈ A)Q(x)
(c) (∃x ∈ A)¬P(x) ∨ (∀x ∈ A)¬Q(x)
(d) (∃x ∈ A)P(x)→(∀x ∈ A)¬Q(x)
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Cálculo predicados
Referencia:
ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. Sao Paulo: Nobel, 1999.
AZEREDO, Vania Dutra de (org.). Introdução à Lógica. Ijui: Unijui, 2000.
DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole. Sao Paulo: Atlas, 1995.
Apostila de Lógica, Prof. João Carlos Gluz, São Leopoldo, março de 2009,
inf.ufrgs.br/~rgoliveira/doku/data/media/.../extras/apostila-logica-unisinos-2009.pdf
https://www.ime.usp.br/~slago/pl-3.pdf
http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm
http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro
https://www.ime.usp.br/~slago/IA-logicaDePredicados.pdf
http://homepages.dcc.ufmg.br/~nvieira/cursos/lac/apostila/lac.cap3parte1.pdf
https://www.ime.usp.br/~slago/IA-logicaDePredicados.pdf
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