Apresentação do PowerPoint

Instituto Federal da Bahia – IFBA
Professor: Lissandro
MODELO IMPEDÂNCIA E
CÁLCULO DE REDES
Professor: Lissandro Brito Viena
e-mail: [email protected]
[email protected]
Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro
1 de
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Vimos que a matriz admitância de barra é esparsa e
possui muitos elementos nulos. Vimos também que a
matriz admitância de barra pode ser construída ramo
por ramo de admitâncias primitivas.
A matriz impedância de barra pode ser construída
elemento por elemento usando algoritmos simples
para incorporá um elemento por vez na representação
do sistema.
O trabalho empregado na construção da matriz
impedância de barra é muito maior que o trabalho
empregado na construção da matriz admitância de
barra.
2 de
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Entretanto o conteúdo de informação matriz
impedância de barra é maior do que a da admitância
de barra.
Veremos que cada elemento da diagonal da matriz
impedância
de
barra
reflete
características
importantes de todo sistema na forma da impedância
de Thevénin da barra correspondente.
A matriz admitância de barra é amplamente usada no
fluxo de potência, enquanto a matriz impedância de
barra favorece a análise de faltas.
3 de
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A matriz impedância
e a matriz admitância de barra
Por definição:
1
Zbus  Ybus
Para uma rede de três nós independentes a forma
padrão é:
Zbus
 Z11
  Z21

 Z31
Z12
Z22
Z32
Z13 
Z23 

Z33 
Para compreender o significado físico das várias
impedâncias da matriz, faremos uma comparação com
a admitância de barra.
4 de
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Partindo com as equações nodais fornecidas por:
I bus  Ybus Vbus
E com relação a barra 2 :
I 2  Y21V1  Y22 V2  Y23V3
Se as tensões nas barras 1 e 3 são nulas curtocircuitando as barras 1 e 3 ao nó de referência e a
tensão V2 é aplicada a barra 2 de tal forma que a
corrente I2 entra na barra 2, então a admitância
própria da barra 2 é:
Y22 
I2
|V1 V3 0
V2
5 de
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A admitância própria de uma barra particular deve ser medida
colocando em curto todas as barras e então encontrando a
razão entre a corrente injetada na barra pela tensão aplicada
na mesma.
6 de
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O resultado equivale a adicionar todas as admitâncias
conectadas diretamente a barra, que é o procedimento
quando não existem admitâncias mútuas.
7 de
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Já os termos fora da diagonal principal podem ser
calculados através da seguinte forma.
I1  Y11V1  Y12 V2  Y13V3
I1
Y12 
|V1 V3 0
V2
Por definição Y12 é a razão do negativo da corrente da
corrente deixando a rede no nó em curto (1) pela
tensão V2. O negativo da corrente deixando a rede é
utilizada desde que I1 é definida como a corrente
entrando na rede.
A admitância resultante é o negativo da admitância
conectada diretamente entre as barras (1) e (2).
8 de
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Para resolver a equação abaixo:
I  Ybus V
1
1
Ybus
I  Ybus
Ybus V
Zbus I  V
V  Zbus I
Observe que V e I são vetores colunas de tensão das
barras e de corrente entrando nas barras a partir de
fontes de corrente.
9 de
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Expandindo a equação abaixo:
V  Zbus I
V1  Z11I1  Z12 I 2  Z13I3
V2  Z21I1  Z22 I 2  Z23I3
V3  Z31I1  Z32 I 2  Z33I3
Considerando a equação da barra 2.
V2  Z21I1  Z22 I 2  Z23I3
V2
Z22 
|I1 I3 0
I2
10 de
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O circuito é mostrado na figura abaixo:
11 de
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É possível medir a impedância de transferência entre
quaisquer duas barras da seguinte maneira:
V1  Z11I1  Z12 I 2  Z13I3
Por exemplo, Z12 :
V1  Z11I1  Z12 I 2  Z13I3
V1
Z12  |I1 I3 0
I2
As fontes de corrente I1 e I3 devem ser abertas.
Já Z32 :
V3  Z31I1  Z32 I 2  Z33I3
V3
Z32 
|I1 I3 0
I2
12 de
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O Teorema de Thévenin e Zbus
Iremos examinar a relação entre os elementos da
impedância de barra e a impedância de Thévenin
apresentada pela rede em cada uma de suas barras.
Para estabelecer a notação, denota-se as tensões de
barra correspondentes aos valores iniciais de correntes
de barra por I0 .
V o  Zbus Io
Quando as correntes de barra são modificadas de seus
valores iniciais para os novos valores:
I  Io  I
13 de
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As novas tensões de barra são fornecidas pelo
princípio da superposição:
 V    Zbus  Io  I    Zbus  Io   Zbus  I
Vo
ΔV
Em que ΔV representa as variações nas tensões de
barra de seus valores originais.
Considere o seguinte esquema:
14 de
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Considere o seguinte esquema:
Inicialmente consideramos que o circuito não está
energizado de maneira que as correntes de barra I0 e
as tensões correspondentes V0 são nulas.
15 de
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Então para dentro da barra (k) uma corrente ΔIk é
injetada em direção ao sistema a partir de uma fonte
de corrente conectada ao nó de referência.
Pelo princípio da superposição, haverá variação de
tensão em cada barra do sistema por causa da
variação da corrente injetada na barra (k).
Essa variação é dada através de um vetor:
 V    Zbus  Io  I    Zbus  Io   Zbus  I
 V    Zbus  I
V 0 0
V
16 de
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Expandindo:
 V    Zbus  Io  I    Zbus  Io   Zbus  I
 V    Zbus  I
V 0 0
V
17 de
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Simplificando as equações anteriores:
Supondo agora que as tensões de barras iniciais são
não nulas, podemos adicionar essas variações na
tensão de cada barra resultando na tensão final após a
variação da corrente injetada na barra (k).
18 de
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A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado
por:
Vk  Vk0  Zkk I k
O circuito correspondente a essa equação é mostrado
abaixo:
19 de
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A tensão na barra (k) adquire um novo valor dado
por:
Vk  Vk0  Zkk I k
Conclusão importante:
A impedância Zkk = Zth corresponde à impedância de
Thévenin entre a barra (k) e a referência.
20 de
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De maneira similar podemos determinar a impedância
de Thévenin entre quaisquer duas barras (j) e (k).
Supomos que as correntes de barra são nulas para
facilitar os cálculos.
21 de
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Em função das correntes injetadas nas barras (j) e (k),
as tensões das barras sofrerão variações.
22 de
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Adicionando as variações de tensão nas barras (j) e (k)
resulta em:
Vj  Vj0  Z jjI j  Z jk I k
(1)
Vk  Vk0  ZkjI j  Zkk I k
(2)
Colocando em (1)  Z jk I j  Z jk I j  e em (2)  ZkjI k  ZkjI k 
Vj  Vj0   Z jj  Z jk  I j  Z jk  I k  I j 
Vk  Vk0  Zkj  I j  I k    Zkk  Z jk  I k
O circuito equivalente é mostrado a seguir:
23 de
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O circuito equivalente é mostrado a seguir:
24 de
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O circuito da figura do slide anterior representa o
circuito equivalente de Thévenin do sistema entre as
barras (j) e (k).
Por inspeção, a tensão de circuito aberto da barra (k)
para a barra (j):
Vkj  Vj0  Vk0  0
Vkj  Vk0  Vj0
E a impedância encontrada colocando um curto da
barra (k) para a barra (j) é a impedância de Thévenin
entre as barras (j) e (k):
Z th, jk  Z jj  Zkk  2Z jk
25 de
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Ao colocar uma impedância Zb entre as barras (k) e
(j), a corrente é dada por:
Ib 
Vk0  Vj0
Z th, jk  Zb

Vk  Vj
Zb
26 de
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EXEMPLO 1:
27 de
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Para o sistema anterior, as equações através da matriz
admitância nodal são dadas por:
Podemos encontrar as tensões de barra invertendo a
matriz admitância nodal, além da própria matriz
impedância de barra que relaciona as tensões de barra
com as respectivas fontes de corrente.
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Zbus
29 de
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EXEMPLO 2: Um capacitor com reatância igual a 5
pu é conectado entre o nó de referência e a barra (4)
do circuito exemplo 1. As tensões iniciais e as
correspondentes correntes injetadas nas barras (3) e
(4) foram definidas anteriormente. Encontre a
corrente recebida pelo capacitor.
Solução: Não é preciso estudar todo circuito para
analisar essa situação. Podemos simplificar o circuito e
estudá-lo apenas com o equivalente de Thévenin na
barra de interesse, que é a barra (4).
30 de
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O circuito equivalente de Thévenin na barra (4) é
constituído por uma fem interna (tensão de Thévenin)
em série com a impedância equivalente de Thévenin
entre a barra (4) e o nó de referência.
A tensão V40  0,94866  20,7466o é a tensão da barra (4)
antes da conexão do capacitor. A impedância de
Thévenin Z44 na barra (4) completa o equivalente de
Thévenin.
31 de
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A corrente recebida pelo capacitor é dada por:
Icap
V40
0,94866  20,7466o


 0, 2205669, 2534 pu
Zeq
j0,6989    j5 
Z44  Zcap
Essa corrente recebida pelo capacitor pode ser
interpretada como o negativo da corrente injetada na
barra (4). Considerando que I 4  Icap , então as outras
barras sofrerão mudanças em suas tensões devido à
variação de corrente na barra (4).
32 de
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Modificação de uma matriz impedância de barra
existente
Através do uso do circuito equivalente de Thévenin e
de uma Zbus existente é possível encontrar novas
tensões de barra após a adição de um novo ramo sem
que ter que encontrar uma nova matriz impedância de
barra.
Examinaremos como uma matriz impedância de barra
existente pode ser modificada para adicionar novas
barras ou conectar novas linhas as barras existentes.
33 de
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É possível reconhecer diversos tipos de modificações
pelas quais um ramo com impedância Zb é adicionada
em uma rede com a matriz impedância de barra
conhecida. A matriz impedância de barra original é
identificada como Zorig, de dimensão N x N.
NOTAÇÃO
As barras existentes serão identificadas por números
ou letras h, i, j, k. A letra p ou letra q designará uma
nova barra a ser adicionada na rede para converter
Zorig em uma matriz (N+1) x (N+1).
34 de
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Na barra (k) a tensão inicial será designada por Vk0 e a
nova tensão após a modificação de Zbus será
identificada por Vk.
Vk  Vk  Vk0
Denotará a variação de tensão na barra (k).
CASO 1: Adicionando Zb de uma nova barra (p) ao nó
de referência
A adição de uma nova barra (p) conectada ao nó de
referência através da impedância Zb sem qualquer
conexão com outras barras da rede original não pode
alterar as tensões de barra originais quando a corrente
Ip é injetada na nova barra.
35 de
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Para o caso 1, as equações para as tensões de barra são
fornecidas por:
36 de
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CASO 2: Adicionando Zb de uma nova barra (p) a
uma barra existente (k)
37 de
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A corrente injetada Ip na barra (p) fará com que
ocorra uma variação da corrente que entra na rede
através da barra (k) original.
A corrente após essa mudança que entra na rede pela
barra (k) será a soma Ik + Ip.
A corrente Ip que entra na rede através da barra (k)
aumentará a tensão inicial (antes da conexão da nova
barra) da barra (k) pela variação (Ip Zkk).
Vk  Vk0  I p Zkk
38 de
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A tensão da nova (p) será maior do que a tensão da
barra (k) sendo dada por:
Vp  Vk  I p Zb
Vp  Vk  I p Zb
Vk0  I p Zkk
Vp  Vk0  I p Zkk  I p Zb
E substituindo para :
Vp 
 I p Zkk  I p Zb
Vk0
Zk1I1  Zk 2 I 2 ... ZkN I N
Vp  Zk1I1  Zk 2 I  ...  ZkN I N  (Zkk  Zb )I p
Vk0
Essa é a nova linha que deve adicionada na matriz
impedância original do sistema.
39 de
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Para esse caso o esquema da nova matriz impedância
de barra é mostrado abaixo:
Nova linha adicionada na matriz
Zorig
40 de
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CASO 3: Adicionando Zb de uma barra existente (k)
ao nó de referência
Inicialmente conectamos uma nova barra (p) através
de uma impedância Zb a barra existente (k)
(correspondente ao caso 2). Depois colocamos a barra
(p) em curto o que equivale ligar a impedância Zb
entre a barra (k) e nó de referência.
Vp  0
41 de
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Observe que no caso 3 não criamos uma nova barra
permanente, ela é fictícia. Temos que utilizar a
redução de Kron para eliminar a linha cuja tensão da
barra é nula.
Os novos elementos da nova matriz impedância de
barra são calculados através de:
Z
atual
hi
 Zhi 
Zh ( N1) Z( N1)i
Zkk  Zb
42 de
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CASO 4: Adição de Zb entre duas barras existentes (j)
e (k)
43 de
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Para efetuar os cálculos da nova matriz impedância de
barra podemos analisar a situação onde ocorre
variação na corrente injetada através de duas barras.
44 de
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Observa-se que a variação da tensão em cada barra é
causada pelas correntes injetadas no sistema original
através das barras (j) e (k).
A variação da tensão em cada barra (h) causada pela
corrente injetada Ib através da barra (j) e –Ib através
da barra (k) para dentro do sistema é dada por:
Vh   Zhj  Zhk  I b
Baseado na definição de variação de tensão podemos
escrever as equações para as tensões de barra. Por
exemplo, para a barra 1:
V1  V10  V1
V1  Z11I1...  ...Z1jI j  Z1k I k  ...Z1N I N   Z1j  Z1k  I b
V10
V1
45 de
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De maneira similar para as barras (j) e (k):
Vj  Vj0  Vj
Vj  Z j1I1...  ...Z jjI j  Z jk I k  ...Z jN I N   Z jj  Z jk  I b
Vj0
Vj
Vk  Vk0  Vk
Vk  Zk1I1...  ...ZkjI j  Zkk I k  ...ZkN I N   Zkj  Zkk  I b
Vk0
Vk
Precisamos encontrar mais uma equação desde que Ib
é desconhecida.
0  Vj0  Vk0  I b  Z th, jk  Zb 
46 de
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Precisamos encontrar mais uma equação desde que Ib
é desconhecida.
0  Vj0  Vk0  I b  Z th, jk  Zb 
0   Z j1I1...  ...Z jjI j  Z jk I k  ...Z jN I N    Z k1I1...  ...Z kjI j  Z kk I k  ...Z kN I N 
 I b  Z th, jk  Zb 
0   Z j1  Zk1  I1..  ..  Z jj  Zkj  I j   Z jk  Zkk  I k  ..  Z jN  Z kN  I N
 I b  Z th, jk  Zb 
Zorig
Lj-Lk
  I1 
 I 
 2 
 
 I 
 N
Zbb
  I b 
Cj - Ck
 V1  
V  
 2 
 
  
 VN  
 0  
47 de
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Precisamos encontrar mais uma equação desde que Ib
é desconhecida.
0  Vj0  Vk0  I b  Z th, jk  Zb 
Resulta em:
48 de
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O resultado final com a nova matriz impedância de
barra é dado por:
Zbb  Z th, jk  Zb  Z jj  Zkk  2Z jk  Zb
Podemos eliminar a última linha de maneira que as
tensões nas outras barras sejam compensadas pelos
novos elementos da nova matriz.
49 de
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Os novos elementos são calculados através de:
Z
atual
hi
 Zhi 
Zh ( N1) Z( N1)i
Z jj  Zkk  2Z jk  Zb
Removendo um ramo: um ramo de impedância Zb
entre duas barras pode ser removido da rede pela
adição do negativo de Zb entre os mesmos terminais.
50 de
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Síntese dos casos anteriores
51 de
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Síntese dos casos anteriores
52 de
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Determinação direta de Zbus
No princípio tem-se uma lista de impedâncias de ramo
mostrando as barras nas quais elas estão conectadas.
Inicialmente, escrevemos a equação para uma barra
conectada através da impedância de ramo Za ao nó de
referência.
 V1    Za  I1
Por exemplo, uma segunda barra é conectada ao nó de
referência através da impedância Zb.
 V1   Za
V    0
 2 
0   I1 
Zb   I 2 
53 de
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Exemplo 2:
Determine a matriz impedância de barra da rede
mostrada abaixo onde as impedâncias numeradas de 1
a 6 estão em pu.
54 de
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Solução:
1) V1   j1, 25 I1 
Temos uma matriz impedância de barra 1 x 1.
Zbus,1   j1, 25
2) Criação de uma nova barra (2) conectada a uma
barra existente (1) através da impedância z2=j0,25.
1
Zbus,2 
1  j1, 25
2
 j1, 25
2
j1, 25
j1,5 
3) Criação de uma nova barra (3) conectada a uma
barra existente (2) através da impedância z3=j0,4
55 de
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Zbus,2
 j1, 25

 j1, 25
j1, 25
j1,5 
A nova matriz impedância de barra é igual a:
1
1  j1, 25
Zbus,3 
 j1, 25

3  j1, 25

2
2
j1, 25
j1,5
j1,5
3
j1, 25
j1,5 

j1,9 
j1,5  j0, 4
4) Conexão de uma impedância (4) entre a barra (3) e
a referência.
Para esse caso criamos uma barra fictícia (p) e
conectamos a impedância entre a barra (3) e a barra
(p). Depois curto-circuitamos a barra (p).
56 de
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A nova matriz impedância de barra é igual a:
1
1  j1, 25
Zbus,p
 j1, 25
2
 
3  j1, 25

p  j1, 25
2
3
j1, 25
j1,5
j1,5
j1,5
j1, 25
j1,5
j1,9
j1,9
p
j1, 25 
j1,5 

j1,9 

j3,15
Observe que os outros elementos, com exceção de j3,15
na nova linha e na nova coluna correspondem a linha
3 e a coluna 3 da matriz original (Zbus3).
Podemos eliminar a linha (p) e a coluna (q) pela
redução de Kron.
57 de
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A nova matriz impedância de barra é igual a:
1
1
Zbus,4 
2
3
 j0,75397
 j0,65476

 j0, 496032
2
3
j0,65476 j0, 496032 
j0,78571 j0,59524 

j0,59524 j0,75397 
5) Criação de uma nova barra (4) conectada à barra
(3) através da impedância j0,2.
1
1
Zbus,5 
2
3
4
 j0,75397
 j0,65476

 j0, 496032

 j0, 496032
2
3
j0,65476 j0, 496032
j0,78571 j0,59524
j0,59524 j0,75397
j0,59524 j0,75397
4
j0, 496032 
j0,59524 

j0,75397 

j0,95397 
58 de
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6) Adição entre duas barras existentes de uma
impedância igual a j0,125. As barras são (2) e (4).
1
2
 j0,75397
 j0,65476
2

3  j0, 496032

4  j0, 496032
q
 j0,15873
4
q
j0,65476 j0, 496032 j0, 496032 j0,15873 
j0,78571 j0,59524
j0,59524
j0,19047 

j0,59524 j0,75397
j0,75397  j0,15873 

j0,59524 j0,75397
j0,95397  j0,35873
j0,19047  j0,15873  j0,35873 j0,67421 
1
Zbus,6
3
Aplica-se agora a redução de Kron para eliminar a
linha e a coluna (q) através da fórmula abaixo:
Z
atual
hi
 Zhi 
Zh ( N1) Z( N1)i
Z jj  Zkk  2Z jk  Zb
59 de
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Continuando, tem-se que:
Zbus,7
 j0,7166
 j0,60992

 j0,53340

 j0,58049
j0,60992
j0,73190
j0,64008
j0,69659
j0,53340 j0,58049 
j0,64008 j0,69659 

j0,71660 j0,66951

j0,66951 j0,76310 
Essa é a matriz impedância de barra do sistema.
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EXEMPLO 3: Modifique a matriz impedância de
barra abaixo para levar em consideração a conexão de
um capacitor com reatância igual a 5 pu entre a barra
(4) e o nó de referência. Encontre a tensão na barra (4)
usando as impedâncias da nova matriz e as fontes de
corrente abaixo. Compare este valor com o valor
calculado no exemplo anterior.
Zbus 
I bus 
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Trata-se do caso 3: Adição de uma impedância Zb
entre uma barra existente e o nó de referência. Nesse
caso cria-se uma barra temporária (p) e efetua-se o
mesmo procedimento do caso 2.
62 de
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Como a tensão da nova barra é nula. Podemos
eliminar a quinta linha e a quinta coluna.
A seguir, o cálculo de alguns elementos da nova matriz
impedância de barra:
Z
atual
Z11
 j0,73128 
atual
hi
 Zhi 
Zh ( N1) Z( N1)i
Z jj  Zkk  2Z jk  Zb
j0,63677  j0,63677
 j0,82555
 j4,30110
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atual
11
Z
j0,63677  j0,63677
 j0,73128 
 j0,82555
 j4,30110
Zatual
24  j0,64178 
j0,69890  j0,64178
 j0,74606
 j4,30110
A matriz impedância de barra é dada por:
O vetor coluna de correntes é multiplicado pela matriz
acima para obter os novos valores da tensões de barra.
V4  j0,64065  1  90o   j0,81247   0,68  135o 
V4  1,03131  j0,39066  1,10281  20,7466o pu
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