Resolução de sistemas de equações não lineares

Resolução de sistemas de equações
não-lineares
Método de Newton
Seminário T3 – Aveiro 2014
Para determinar valores aproximados para a
equação f ( x)  0 , sendo f uma função real de
variável real, contínua num intervalo [a,b] que
contenha o zero da função, podemos utilizar o
método de Newton.
Os valores aproximados são dados através da
fórmula:
f ( xn )
xn 1  xn 
, n  0,1,...
f '( xn )
xn 1  xn   f '( xn ) 
1
f ( xn ), n  0,1,...
Um sistema de equações não lineares
 f1 ( x1 , x2 ,......., xn )  0
 f ( x , x ,......., x )  0
 2 1 2
n


 f n ( x1 , x2 ,......., xn )  0
pode escrever-se na forma,
 f1 ( x) 


F ( x)  

0
, sendo

 f n ( x) 
x   x1
x2
xn 
T
Para resolver a equação F ( x)  0 utiliza-se o método de
Newton “adaptado”
xn 1  xn   f '( xn ) 
1
f ( xn ), n  0,1,...

x
( n 1)
x
(n)
1
  J ( x )  F ( x( n ) )
( n)
 J ( x ( n ) )  ( x ( n 1)  x ( n ) )   F ( x ( n ) )
(n)
(n)
( n)



J
(
x
)
h


F
(
x
)


 ( n1)
(n)
(n)
x

x

h


Sendo
 f1 ( x ( n ) )

 x1
 f 2 ( x ( n ) )

(n)
J ( x )   x1


 f n ( x ( n ) )
 x
1

a matriz jacobiana.
f1 ( x ( n ) )
x2
f 2 ( x ( n ) )
x2
f n ( x ( n ) )
x2
f1 ( x ( n ) ) 

xn 
f 2 ( x ( n ) ) 

xn 


(n)
f n ( x ) 
xn 
Exemplo:
Resolver o sistema
inicial
 x
(0)
2
2

x

y
9

 2
2
y

x

2
4




y    2 2
(0) T
T
, sendo a aproximação
.
2
2
 f1 ( )   x  y  9 
F ( )  
 2
2
f
(

)
 2
  x  4x  y 
 f1
 x
J F ( )  
 f 2
 x

f1 
2 y
y   2 x

f 2   2 x  4 2 y 
y 
J ( ( n ) )  h( n )   F ( ( n) )
x ( n 1)  x ( n )  h( n )
 x(1)   2.25
 h1  0.25
 4 4  h1 
 1
0 4  h     0    h    0    (1)    2 

 2
 


 2 
y  