Aritmética Digital

Aritmética Digital
•
•
•
Adição Binária
Representação de números
com sinal
Adição e subtração em
complemento de 2
Aritmética Digital
•
Adição Binária
A adição binária é feita da
mesma forma que a adição de
números decimais:
Aritmética Digital
•
Adição Binária
Adicione:
10110 + 00111
011,101 + 010,010
10001111 + 00000001
Aritmética Digital
•
Representação de números com
Sinal
Como os números manipulados podem ser
positivos ou negativos se faz necessário uma
representação de sinal (+ ou -).
Isto é feito através da adição de um
bit, chamado de bit de sinal.
Por convenção:
bit=0 -> número positivo
bit=1 -> número negativo
Aritmética Digital
Representação de números com
Sinal (Sistema Sinal-Magnitude)
•
Exemplos:
0 1 1 0 1 0 0
=
+52(10)
1 1 1 0 1 0 0
=
-52(10)
Aritmética Digital
•
•
Forma Complemento de 1
Forma Complemento de 2
O formato Sinal-Magnitude implementa um
circuito digital complexo. Outras
implementações o fazem de uma forma mais
simples.
A mais empregada é a
Forma Complemento de 2.
Aritmética Digital
•
Forma Complemento de 1
A forma complemento de 1 é obtida
invertendo-se (complementando-se) cada bit
do número.
Ex.:
1 0 0 1 1 0 1
número original
0 1 1 0 0 1 0
complemento de 1
Aritmética Digital
•
Forma Complemento de 2
A forma complemento de 2 é obtida
adicionando-se 1 ao bit menos significativo.
Ex.:
1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0
1
0 1 0 0 1 1
número original
complemento de 1
adição de 1 ao LSB
complemento de 2
Aritmética Digital
•
Ex.:
Forma Complemento de 2
1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1
1
0 1 0 1 0 0
número original
complemento de 1
adição de 1 ao LSB
complemento de 2
Aritmética Digital
•
Representação de números com
sinal utilizando a Forma
Complemento de 2
1- Se o número for positivo,a magnitude é
representada em sua forma binária original,e
um bit 0 é colocado à frente do número.
Ex.: 01011101 = +45(10)
Aritmética Digital
•
Representação de números com
sinal utilizando a Forma
Complemento de 2
2- Se o número for negativo,a magnitude é
representada na forma Complemento de 2,e um
bit 1 é colocado à frente do número.
Ex.: 1010011 = -45(10)
Aritmética Digital
•
Representação de números com
sinal utilizando a Forma
Complemento de 2
O Complemento de 2 é utilizado para
representar números com sinal por que
permite realizar a operação de subtração
como se fosse uma adição. Isto é, o mesmo
circuito digital que realiza a adição,
também
faz
a
subtração
(economia
de
hardware).
Aritmética Digital
•
Representação de números com
sinal utilizando a Forma
Complemento de 2
Represente os seguintes número decimais
com sinal como números binários em
complemeto de 2 com sinal (5 bits):
+13
-9
+3
-2
-8
Aritmética Digital
+13
-9
Como o número é positivo, 01101
Como o número é negativo,
01001
10110(Compl. 1)
1(Compl. 2)
10111
Aritmética Digital
+3
Como o número é positivo,
-2
Como o número é negativo,
00011
00010
11101
1
11110
Aritmética Digital
•Negação
É a operação de converter um número
positivo em negativo,e vice-versa.
Nega-se números binários com sinal
aplicando-lhes o Complemento de 2.
Ex.:
01001 (+9)
(Compl.2) 10111 (-9)
(Compl.2) 01001 (+9)
Aritmética Digital
•Negação
Cada um dos números binários abaixo está
em Complemento de 2. Determine qual o
decimal de cada um:
a) 01100
b) 11010
c) 10001
Aritmética Digital
a) 01100
Como o bit de sinal é 0, o número é
positivo, e os outros 4 bits representam a
sua magnitude. Isto é: 1100(2) = 12(10).
Logo o decimal é +12.
Aritmética Digital
b) 11010
Como o bit de sinal é 1, o número é
negativo, e os não temos como afirmar a sua
magnitude.
Encontra-se a magnitude aplicando o
Complemento de 2:
Isto é:
11010
00101
1
00110
original
complemento de 1
adição de 1 (Compl. de 2)
resultado = +6
Logo 11010 equivale ao decimal -6.
Aritmética Digital
c) 10001
Como o bit de sinal é 1, o número é
negativo, e os não temos como afirmar a sua
magnitude.
Encontra-se a magnitude aplicando o
Complemento de 2:
Isto é:
10001
01110
1
01111
original
complemento de 1
adição de 1 (Compl. de 2)
resultado = +15
Logo 11010 equivale ao decimal -15.
Aritmética Digital
Casos especiais em representação em
Complemento de 2
Quando um número com sinal tiver um 1
como bit de sinal e todos os outros bits
de magnitude forem 0, o decimal
equivalente é -2N, onde N é o número de
bits da magnitude.
Exemplos:
1000
= -23 = -8
10000
= -24 = -16
100000 = -25 = -32
Aritmética Digital
Casos especiais em representação em
Complemento de 2
Logo, a faixa de valores que pode
ser representada em Complemento de 2
tendo-se N bits de magnitude é:
-2N a
+(2N-1)
Existe um total de 2N+1 valores
diferentes, incluindo o 0.
Aritmética Digital
Exemplo: 4 bits (1 de sinal e 3 de
magnitude)
-2N = -23 = -8(10) = 1000(2)
até
+(2N-1)= + 23-1 = +7(10) = 0111(2)
sempre adicionando 0001 a cada passo como um
contador progressivo.
Aritmética Digital
+7 = 23-1
+6
+5
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
Aritmética Digital
Exemplo: Qual a faixa de valores que
pode ser representada em um byte (8
bits)?
Como o bit mais significativo é de
sinal, restam 7 bits para a magnitude. O
maior valor é:
10000000(2) = -27 = -128(10)
O maior valor positivo é:
01111111(2) = +27-1 = 127(10)
Logo a faixa de valores é: -128 a +127
Aritmética Digital
•Adição em Complemento de 2
•Caso I :
Dois números positivos
•Caso II :
Número positivo e um
negativo menor
Número positivo e um
negativo maior
Dois números negativos
•Caso III:
•Caso IV :
•Caso V :
Números iguais com sinais
opostos
Aritmética Digital
•Adição em Complemento de 2
•Caso I :
Dois números positivos
Neste caso a adição é feita
normalmente.
Bit de sinal
+9
+4
->
->
0
0
0
1001
0100
1101
(+13)
Aritmética Digital
•Adição em Complemento de 2
•Caso II:
Número positivo e um
negativo menor
Bit de sinal
+9
-4
->
->
Este carry é
desconsiderado
0
1
1 0
1001
1100
0101
Não esquecer que
-4 está em complemento
de 2
(+5)
Aritmética Digital
•Adição em Complemento de 2
•Caso III:
Número positivo e um
negativo maior
Bit de sinal
-9
+4
->
->
1
0
1
0111
0100
1011
(-5)
Não esquecer que
-9 está em complemento
de 2
Aritmética Digital
•Adição em Complemento de 2
•Caso IV:
-9
-4
->
->
Este carry é
desconsiderado
Dois números negativos
10111
11100
1 10011
(-13)
Aritmética Digital
•Adição em Complemento de 2
•Caso V: Dois números iguais com sinais
opostos
-9
+9
->
->
Este carry é
desconsiderado
10111
01001
1 00000
(0)