Lógica para Computação

Lógica para Computação (IF61B)
Lógica para Computação
Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.
[email protected]
Lógica para Computação (IF61B)
Lógica Predicativa
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A Lógica Predicativa (ou lógica de 1ª ordem) é uma
extensão da lógica proposicional que aumenta sua
expressividade, permitindo que se façam afirmações
sobre propriedades – ou predicados – inerentes a
conjuntos de elementos individuais;
Tipicamente as fórmulas envolvem os
quantificadores “para todo” () e “existe” ();
Uma fórmula típica é: x(homem(x)→mortal(x)).
Obs.: para representar o mesmo em Lógica Proposicional seria
necessário utilizar uma fórmula para cada indivíduo, por exemplo:
(homem_joão → mortal_joão), (homem_josé → mortal_josé), etc.
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Lógica Predicativa
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A linguagem (sintaxe) da Lógica Predicativa LPRED é
mais complexa que a da Lógica Proposicional;
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Para a definição de LPRED necessita-se de:
1. Um conjunto de predicados: Ri = { ri1, ri2,... rin,...}
onde o sobrescrito i indica a aridade do predicado
(o seu nº de argumentos);
2. Um conjunto de constantes: C = {c1,c2, ...};
3. Um conjunto de funções: Fi = { fi1, fi2,... fin,...} onde
o sobrescrito i também indica a aridade da função;
4. Um conjunto de variáveis: V = {x1,x2, ...}.
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Lógica Predicativa
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A assinatura de LPRED é a uma tupla do tipo
 = [R1,R2, ...RM,C,F1,F2,...FN] onde N e M são números
naturais conhecidos.
•
O conjunto dos termos de LPRED é T() definido
recursivamente por:
1. Se xV então x  T();
2. Se cC então c  T();
3. Se fFj e se t1,...tj  T() então f(t1,...tj ) T().
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O conjunto das fórmulas (fbf) de LPRED é Fbf()
definido recursivamente como sendo o menor conjunto
que atenda ao seguinte:
1. Se t1,...tj  T() e se rj  Rj então rj(t1,...tj)  Fbf();
2. Se t1, t2  T() então t1= t2  Fbf();
3.
4.
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Estas fbf são chamadas de fórmulas atômicas;
Se ,   Fbf() então , , , →
Fbf();
Se   Fbf() e se xV então x() e x() 
Fbf().
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Lógica Predicativa
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O conjunto das variáveis livres VLIVRES () em uma
fórmula  é definido por:
1.
2.
3.
4.
5.
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Se  = rj(t1,...tj) com rj  Rj e os ti  T() então todas as
variáveis em  pertencem a VLIVRES ();
Se  = (t1=t2) com os ti  T() então todas as variáveis em 
pertencem a VLIVRES ();
Se = então VLIVRES ()= VLIVRES ();
Se = , , ou → então
VLIVRES ()= VLIVRES ()  VLIVRES ();
Se = x() ou x() então VLIVRES ()= VLIVRES () – {x}.
Exemplo: Se  = x (r(x)  q(y) → z (s(z,y))) então
VLIVRES () = { y }.
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Lógica Predicativa
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Uma fórmula  tal que VLIVRES () =  (sem variáveis
livres) é denominada uma sentença.
Uma subfórmula de uma fórmula  é uma
subseqüência dos símbolos de  que também
pertence a Fbf().
Exemplo: se  = x (r(x)  q(y) → z (s(z,y))) então
r(x)  q(y) → z (s(z,y)) , r(x)  q(y), z (s(z,y)) ,
r(x) e q(y) são subfórmulas de .
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Exemplos:
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1.
2.
A semântica da Lógica Predicativa é definida sobre
um par A()=[A, vA()] denominado sistema algébrico
da assinatura , tal que:
A é um conjunto denominado domínio (ou portador)
do sistema algébrico;
vA() é uma interpretação, que mapeia os elementos
dos conjuntos em  em relações sobre A (para os
predicados), em funções sobre A (para as funções) e
em elementos de A (para as constantes).
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Lógica Predicativa
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Desta forma para uma interpretação vA() tem-se:
1.
2.
3.
4.
Se rj  Rj então vA() (rj)  Aj = A  A  ... A (j vezes);
Se fFj então existe uma função vA() (fj): Aj →A;
Se c  C então vA() (c)  A;
Para um conjunto de variáveis X  V existe ainda uma
função  : X → A denominada interpretação das
variáveis X em A .
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Lógica Predicativa
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O valor de um termo t  T () em um sistema algébrico
A() e para uma interpretação de variáveis  é definido
indutivamente por:
1.
2.
3.
Se t = x  X então tA() [] = (x);
Se t = c  C então tA() [] = vA() (c);
Se fFj , t1,..., tj são termos e t=f(t1,..., tj) então
tA() []= vA() (fj)(t1A()[],..., tjA()[]).
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•
•
1.
2.
3.
Finalmente é possível se definir quando uma fórmula
 é verdadeira para um sistema algébrico A() e uma
interpretação de variáveis ;
Denota-se por A() |= [];
Se  = rj(t1,...tj)  Fbf() então A() |= [] é equivalente a
[t1A()[],..., tjA()[]]  vA() (rj);
Se  = (t1=t2) com t1, t2  T() então A() |= [] é equivalente a
t1A()[] = t2A()[];
Se =  e Fbf() então A() |= [] se e somente se não for
verdade que A() |=  [];
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4.
5.
6.
7.
8.
Se  = , com ,   Fbf() então A() |= [] se e somente se
A() |= [] e A() |= [];
Se  = , com ,   Fbf() então A() |= [] se e somente se
A() |= [] ou A() |= [];
Se  = →, com ,   Fbf() então A() |= [] se e somente se
quando A() |= [] necessariamente também ocorre A() |= [];
Se  = x() com   Fbf() então A() |= [] se e somente se
existir pelo menos uma interpretação de variáveis : X → A que,
restrita às variáveis de , seja tal que A() |= [];
Se  = x() com   Fbf() então A() |= [] se e somente se
para todas as interpretações de variáveis : X → A , quando
restritas às variáveis de , sejam tais que A() |= [].
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Exemplos:
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Lógica Predicativa
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Uma teoria  em LPRED é um conjunto de sentenças;
Um sistema algébrico A() é um modelo para uma
teoria  se A() |=  para toda   ;
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Se  tiver ao menos um modelo diz-se que  é
satisfazível;
Se  não tiver modelos é dita insatisfazível.
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Lógica Predicativa
Substituição de variáveis:
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Seja  uma fórmula, x  VLIVRES () uma variável livre
em  e t  T() um termo;
•
•
Neste caso a variável x pode ser substituída pelo
termo t em , gerando uma nova fórmula [x:=t];
Exemplo: se  = x(r(x) →s(x,y)),
yVLIVRES () e t=f(a,z)
então
[y:=f(a,z)] = x(r(x) →s(x,f(a,z))).
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Lógica Predicativa
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•
Intuitivamente uma substituição gera um “caso particular” de
uma fórmula;
As substituições só podem ser feitas sobre as variáveis livres de
, e de forma a não introduzir restrições na fórmula gerada que
já não estivessem presentes na fórmula original;
Várias substituições podem ser feitas simultaneamente, desde
que não introduzam restrições.
Exemplo:
Se
 = x(r(x) →s(x,y)  r(z))
y, zVLIVRES () e t1=f(a,w), t2=b
então
[y:=f(a,w), z:=b]=x(r(x)→s(x,f(a,z))r(b)))
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Lógica Predicativa
Sistemas Dedutivos em Lógica Predicativa:
1. Método axiomático: ver item 4.5 pg. 128;
2. Dedução natural: ver item 4.4 pg. 122, e
também a ferramenta JAPE;
3. Método dos tableaux analíticos: ver item 5.6
pg. 147.
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Lógica Predicativa
Exemplo do método dos tableaux analíticos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x(r(x) → s(x)) |- x r(x) → x s(x)
T x(r(x) → s(x))
de 1
F x r(x) → x s(x)
de 1
T x r(x)
de 3
F x s(x)
de 3
F s(a)
de 5
T r(a)
de 4
T r(a) → s(a)
de 2
9.
F r(a)
X (7,9)
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T s(a)
X (6,9)
de 8
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