ECONOMIA FINANCEIRA Unidade 5
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Unidade teórica 4 . O Modelo simplificado de Sharpe (1963) Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M. (Notas de Moukhamedjanova Sabina Chan Bonnie e de Abhishek Kapur & Geir Sivertsen) Carlos Arriaga Costa 2005/06 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 1 .Bibliografia Eugene F. Fama e Merton H. Miller The Theory of Finance (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Cap 7. unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 2 Eficiência segundo Markowitz – baseado na média e na variância Considere N activos num portfolio e as seguintes notações : Vector de ponderações w=[w1 . . . wN] Matriz das variâncias-covariâncias Ω Vector de retornos R=[R1 . . . RN] Vector unitário 1=[11 . . . 1N] Variância do portfólio wT Ω w Economia Financeira - unid 4 T Retorno do portfólio Mestrado Economia UM_EEG- 4ºw R unid 4 Carlos Arriaga Costa curso 3 Fronteira do Portfolio Retornos do portfolio : wT R Variância do Portfolio : wT Ω w 3 2 1 4 6 5 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 4 Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var) Para encontrar a fronteira de eficiência min wT Ω w s.a. w 1=1T w r=RT w Optimização : min w unid 4 Carlos Arriaga Costa 1 2 wT Ω w + (1-1T w) + (rRT w) Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 5 FOC : Eq. 1 : Ωw=1 + R Eq. 2 :w=Ω-11 + Ω-1 R Multiplicando equação 1 por 1T e RT : Eq. 3 :1=a +b Eq. 4 : r=b +c onde : a=1T Ω-11, b=1T Ω-1R, c=RT Ω-1R unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 6 Resolvendo em ordem a e nas equações 3 e 4, e substituindo na eq 2, obtem-se : w=v1+v2 r V1 e v2 são dois vectores fixos. Por outro lado, qualquer combinação convexa de portfolios eficientes é também um portfolio eficiente. O portfolio de mercado não é mais do que uma combinação ponderada de portfólios, e que,por sua vez também é eficiente. unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 7 Modelo simplificado de Sharpe Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959) Conhecimento da matriz das co-varâncias Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente: Ři = αi + βi Ĩ + ũi Ĩ = αn+1+ vn+1 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 8 CAPM – Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital Asset Market.” Econometrica 34(Oct. 1966): 768-83. – Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance 19(Sept. 1964): 425-42. unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 9 – Lintner, John. “Security Prices, Risk, and Maximal Gain from Diversification.” Journal of Finance 20(Dec. 1965): 587615. – Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics 47(Feb. 1965): 13-37. unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 10 Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T. Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe) SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado. CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line. APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factor unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 11 O papel do activo sem risco no modelo O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de representação porque diferentes investidores têm assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do activo sem risco resolve esta ambiguidade. – O activo sem risco reduz o número potencial de portfolios eficientes a um único portfolio. unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 12 mp rp rf unid 4 Carlos Arriaga Costa sp Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso sp 13 – Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode ser retratado no modelo através de uma combinação de um portfolio simples e eficiente e um emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à taxa sem risco. – Substituindo xm por xp ou deixando que o “portfolio índice” seja o portfolio de mercado eficiente, ter-se-á: unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 14 1 s m m j m m ~ s m 1 x j 1 1 unid 4 Carlos Arriaga Costa m m rf sm Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 15 m m rf s m m j rf ~ s m x j m m rf s jm rf sm sm rf j m m rf s jm j 2 sm unid 4 Carlos Arriaga Costa rit i rmt it Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 16 Conceitos Borrowing Portfolio Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais: E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb rb é a taxa de empréstimo unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 17 Conceitos Lending portfolio Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco. Condições : - Existe ao menos alguem que não apresenta risco de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo) - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 18 MODELO CAPM O CAPM considera que todos os investidores possuem portfolios eficientes no sentido de maior valor esperado para um mínimo risco. Pelo teorema de separação de dois portfolios, o portfólio de mercado é também eficiente. Para a validade do CAPM, o portfolio de mercado deve encontrarse na fronteira eficiente. unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 19 Condições de estimação do modelo de mercado O índice de mercado deverá responder às condições seguintes: 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos) 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros). 3. Ser um índice ponderado e não uma Economia Financeira - unid 4 unid média 4 Carlos Arriagaaritmética Mestrado simples. Economia UM_EEG- 4º Costa curso 20 Versões do CAPM Sharpe-Lintner : E[Zi]=i + ßi (E[Zm]) Este activo assume a presença de um Activo sem risco Black : E[Ri]= i + ßi (E[Rm]) Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável aleatória unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 21 Problema de minimização Black version minN wTVw s.t. 1T w 1 and RT w R wR Sharpe-Lintner (com activo sem risco) minN wTVw s.t. (R R01)T w R R0 wR unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 22 Sharpe Model Regressão de Zit sobre Zmt Hipótese nula : 0 0 Versão de Black Regressão E[ Rt ] i E[ Rmt ] (i ) E[ Rmt ] Hipótese nula α = (i-β)γ unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 23 Modelo de Sharpe-Lintner A solução de SharpeLintner é uma fronteira de eficiência. Esta fronteira de eficiência combina uma posição longa no portfolio de mercado com um activo sem risco adquirido em situação de “lending” ou “borrowing” unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 24 Black CAPM R p Rz ( m ) pm ( Rm Rz ( m ) ) R p (1 pm ) Rz ( m ) pm Rm unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 25 Security Market Line E(Rp) E(rm) y rf Zero Beta Portfolio unid 4 Carlos Arriaga Costa 1 σ (p) Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 26 Security Market Line • Derivamos a security market line: R p R0 pm ( Rm R0 ) • Em forma de retorno em excesso R p R0 pm ( Rm R0 ) Zit pm Z mt unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 27 Como testar o CAPM? Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo de excesso de retorno A intercepção é zero Beta captura completamente a variação dos retornos em excesso. O prémio de mercado é positivo. unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 28 Testes sobre a “intercept” Sharpe-Lintner : E[Zi]= i + ßi (E[Zm]) Testar se i = 0 Black : E[Ri]= i + ßi (E[Rm]) Testar se i = (1-ßi) E[R0] unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 29 Zero-Beta CAPM unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 30 Pressupostos implicitos do modelo As estimativas encontram-se sujeitas a erro de amostragem pelo que o portfolio de mercado não é suposto ser ex-post eficiente. A medida do racio de sharp mede a ineficiencia do portfolio de mercado que nos permite detrminar quando deveremos rejeitar o CAPM. unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 31 Rácio de Sharpe Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado m : A diferença ra - rm dános uma medida da ineficiência de m unid 4 Carlos Arriaga Costa a rf Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso m 32 Oferta de acções pela empresa Assumimos que cada empresa vende acções a um preço Pi. Os Investidores desejam adquirir estas acções fundamentados no valor futuro da empresa no final do período, Vi. O valor de aquisição e o valor da empresa no final do período determinarão a taxa de retorno: unid 4 Carlos Arriaga Costa Vi Pi Ri Pi Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 33 O valor futuro da empresa implica algum risco, por isso a taxa de retorno possui risco. Por outro lado, todos os investidores avaliam o investimento considerando o equilibrio da linha de “capital market”. Matematicamente, o preço e o valor do portfolio de mercado fica: N N i 1 i 1 Pm Pi e Vm Vi unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 34 Vm Pm 1 Rm E V j Pj Pj unid 4 Carlos Arriaga Costa E Rm R f Rf sm Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso s jm Pjs m 35 Incorporano o risco usando o CAPM Os ajustamentos ao risco advêm da última equação (taxa de desconto ajustada ao risco) . Reduzindo a expressão à formula do CAPM R j R f j Rm R f unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 36 A taxa de desconto ajustada ao risco pode ser utilizado na análise do valor presente: ECF I t N PV i 1 unid 4 Carlos Arriaga Costa 1 R f j Rm R f Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso i 37 Reformulando 1 j R j a equação R f RM R f Esta aproximação leva-nos a transformar as taxas anuais de retorno a “certainty equivalents” baseados no portfolio de mercado: Economia Financeira - unid 4 unid 4 Carlos Arriaga Costa Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 38 1 E CF I t N j PV i 1 Rm i 1 unid 4 Carlos Arriaga Costa Economia Financeira - unid 4 Mestrado Economia UM_EEG- 4º curso 39
