Usando a Lei de Coulomb

Universidade de Aveiro
Electrostática
03/04
Electrostática
Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações
Estrutura Organizacional
Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
Extra:
Cálculo Vectorial
Electrostática
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
A Electrostática dedica-se ao estudo dos fenómenos associados às
cargas eléctricas em repouso.
Desde há milhares de anos que fenómenos electrostáticos têm vindo
a ser documentados. O acontecimento mais antigo que se conhece provém da
Grécia Antiga, mais propriamente, do século VI A.C., pelo filósofo Táles de
Mileto. Verificou que um pedaço de âmbar obtinha a propriedade de atrair
pequenos objectos quando friccionado por um pano de lã (exemplo).
No entanto, tudo o que se sabia sobre a electrostática e força eléctrica
era qualitativo, apenas era possível descrever o que se observava nas
experiências. Não era possível medir as forças intervenientes nem quantidade
de cargas.
Mas o grande avanço quantitativo foi dado pelo francês Charles
Coulomb (1736-1806). Foi este cientista que desenvolveu um método e um
aparelho para medir a força entre duas cargas eléctricas. O aparelho chama-se
balança de torção.
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A Balança de Torção de Coulomb
Sugestão: Tente construir uma Balança de Torção, substituindo, é claro, os
materiais mais caros e difíceis de obter por outros mais baratos.
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A balança de Coulomb tem 1 metro de altura e é constituída por um
tubo cilíndrico assente noutro cilindro mais largo, ambos em vidro e ocos.
No topo existe um micrómetro e um sistema de fixação do fio de prata.
O fio passa pelo interior do tubo mais estreito e sustenta na extremidade um
peso e um braço horizontal. Numa das extremidades deste braço está uma bola
de medula de sabugueiro com 5 mm de diâmetro e na outra um disco de papel
com funções de equilíbrio do braço e de redução de oscilações. Outro fio
suportando outra bola idêntica está introduzido no cilindro inferior (esta bola
ficará “fixa”).
No interior e a meio da parede do cilindro inferior existe um papel com uma
escala graduada. O “zero” do aparelho obtém-se alinhando visualmente o
primeiro fio com o zero da escala graduada, rodando o micrómetro. As duas
esferas devem ficar em contato.
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
(a) Força de Coulomb
(b) Campo Eléctrico
(c) Lei de Gauss
(d) Potencial
(e) Equação de Laplace e de Poisson
Acetato 21
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Força de Coulomb:
Charles Coulomb (1736-1806), foi o físico francês que elaborou
experiências que lhe permitiram chegar à seguinte conclusão:
“Quando se consideram dois corpos carregados (supostamente pontuais), a
intensidade das forças atractivas ou repulsivas que se exercem entre si, são
directamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao
quadrado da distância entre elas, a intensidade dessas forças também depende do
meio em que as cargas se encontram.”
Sendo assim a expressão matemática que representa o enunciado
anterior é:
q1.q2
Fe  K 2 N .
r
(eq. 1-1)
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Nesta expressão as variáveis presentes representam:
_q1 e q2: valor das cargas (em coulomb) que interagem,
tomando estas, o seu sinal negativo ou positivo;
_r: valor da distância (em metros) que separa as cargas q1 e q2,
supostamente pontuais;
_ K : (←LINK) constante de proporcionalidade correspondente ao
meio onde se encontram as cargas, no vazio, esta constante
toma o valor de 8.9874*109 N*m2/C2.
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r̂12
r̂21

F12
q1
+

F21
+
q2
-

F12

F21
q1
+
q2
As forças aplicadas em cada uma das cargas representam a força
eléctrica que uma carga exerce sobre a outra, ou seja:

F21 é a força eléctrica exercida pela carga q1 na carga q2, o vector
que representa essa força é desenhado em q2.
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Obtenção da Constante de Coulomb:
Recordando a expressão que traduz a Lei de Coulomb:
q1  q2
F k 2
r
(eq. 1-2)
Vemos que existe uma constante k, que se chama Constante de
Coulomb. O seu valor pode ser obtido da seguinte forma através de outras três
constantes. Essas constantes são: c – velocidade da luz, 0 – permitividade
eléctrica do espaço livre e 0 – permitividade magnética do espaço livre.
A permitividade magnética do meio é tida como tendo o exacto valor de:
 0  4  10 7 N / A 2
(eq. 1-3)
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Como a expressão da velocidade da luz relaciona as três constantes referidas:
c
1
 0 0
, onde c = 2.99792458 x 108 m/s  3 x 108 m/s
(eq. 1-4)
Então é possível, a partir da (eq. 1-4) obter o valor da permitividade eléctrica no
espaço livre:
0 = 8.854187817 x 10-12 F/m  8.85 x 10-12 F/m
A constante de Coulomb é dada pela expressão:
k
1
4 0
(eq. 1-5)
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Fazendo as respectivas substituições obtemos o valor de k:
k  8.987552  10 9 N m2/C2 = Constante de Coulomb.
Ainda é importante lembrar que as constantes 0 e 0 são referentes ao
espaço livre, caso o espaço a considerar seja dieléctrico ou magnético, os seus
valores, bem como, os seus nomes são diferentes: permitividade relativa do
Campo Eléctrico e Magnético, respectivamente.
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Campo Eléctrico de uma Carga Pontual:
Através da Lei de Coulomb, é possível calcular o Campo Eléctrico gerado
por uma carga pontual num determinado ponto no espaço, aliás este é o método
mais usual de o fazer.
Sabendo que a Lei de Coulomb calcula a força eléctrica exercida entre
duas cargas pontuais, q1 e q2, para obter o Campo Eléctrico num determinado
ponto do espaço, basta considerar uma delas como a carga fonte, seja q1.
Dividindo por q2 a expressão que traduz a Lei de Coulomb obtemos o Campo
Eléctrico criado pela carga pontual q1 no ponto P, como a seguir se mostra, sendo
q1 a carga fonte e dividindo em ambos os
 lados da equação por q2:

q q
F
1
q q
F21  k  1 2 2  rˆ  21   k  1 2 2  rˆ 
r
q2 q2
r


F21
q1
q1
ˆ
  k  2 r  E1  k  2 rˆ
q2
r
r
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Lei de Gauss:
Johann Gauss (1777-1855) estabeleceu a lei que permite calcular o fluxo
de campo eléctrico através de uma superfície. No entanto, existem limitações à
sua utilização. Para que o seu uso seja eficiente, é necessário que o produto
escalar entre o vector campo eléctrico e o vector perpendicular à superfície seja
facilmente obtido e que a superfície em causa seja fechada (superfície gaussiana).
Facilmente se conclui que se a distribuição de cargas apresentar grande
simetria, estaremos numa situação privilegiada para usar a Lei de Gauss.
Definindo os vários tipos de simetria, temos:
_ simetria planar;
_ simetria cilíndrica ou axial;
_ simetria esférica.
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Supondo que a carga q está envolvida por uma superfície fechada, a Lei
de Gauss estabelece que:
  Q
   E.dS 
0
Nesta equação, as variáveis são:
_0 : constante de permeabilidade do vazio, o seu valor é
-12 C2N-1m-2;
8,854187817*10

_ E : vector de campo eléctrico;
_ dS : vector perpendicular à superfície gaussiana;
_ : fluxo de campo eléctrico através de uma superfície fechada.
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
E

E

ds

E

E

ds

ds

ds

ds
Esfera
Carregada

E
Superfície de
Gauss

ds

ds

ds

E

E

E
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Potencial Eléctrico:
Potencial Eléctrico é a designação mais comum para: Energia Potencial
por Unidade de Carga.
1volt(V ) 
1Joule( J )
1Coulomb(C )
(eq. 1-6)
Mas é também, uma propriedade de um ponto P qualquer, que se situe no espaço
vizinho ao da carga q.
1
q
V

4 0 r
.
(eq. 1-7)
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Nesta expressão as variáveis presentes representam:
_: constante matemática, que representa o valor 3,1415;
_0: constante de permitividade do vazio, o seu valor é
8,854187817*10-12 C2N-1m-2;
_q: valor da carga (em coulomb) presente no corpo;
_r: distância (em metros) da carga q ao ponto P;
Ou seja, independentemente da quantidade de carga existente num
determinado ponto, o seu potencial é sempre o mesmo, na medida em que se
aumentarmos o número de cargas no ponto P também estaremos a aumentar a
energia o mesmo número de vezes. Finalizando, se um corpo possui 100 unidades
de carga, a sua energia será 100 vezes maior, logo a sua energia por unidade de
carga será a mesma que um corpo que tenha apenas uma unidade de carga.
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Equação de Laplace:
A equação de Laplace é útil para o cálculo do Potencial Eléctrico numa
região do espaço livre de cargas, e essa relação é apresentada da seguinte forma:
2  E  0
(eq. 1-8)
Esta operação matemática denomina-se por divergência do gradiente
de uma função, mas é mais conhecida por Laplaciano. O Laplaciano pode ser
expresso em vários sistemas de coordenadas para desta forma se retirar partido
de uma distribuição de cargas simétrica. De seguida é apresentado o Laplaciano
em coordenadas esféricas, por ser esta a forma mais simples de calculo do
Potencial Eléctrico V, para o caso que estamos a tratar – Densidade de Carga
esférica.
 2V 1  2V
1
 2V 2 V cot g V
V 2  2 2 2 2  2 


0
r
r 
r sin  
r r
r2

2
(eq. 1-9)
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Equação de Poisson:
A utilidade da equação de Poisson é semelhante à anterior, também nos
permite calcular o Potencial Eléctrico, mas numa região do espaço onde existem
cargas. Assim, esta nova relação é apresentada da seguinte maneira:
 2V  4
(eq. 3)
Da mesma forma, que no caso anterior, é possível a representação da
Equação de Poisson noutros sistemas de coordenadas. Aqui apenas indicaremos
que basta igualar o Laplaciano (eq. 5) ao valor -4.
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CAMPO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGA UNIFORME
Como exemplo iremos calcular a intensidade campo eléctrico E , tanto
dentro como fora da distribuição esférica de carga uniforme, usando os
métodos (a), (b), (c) e (d).
A distribuição tem um raio R e uma densidade volúmica de carga
eléctrica . O nosso problema é encontrar a intensidade de campo
eléctrico como função da distância r do centro O da esfera ao ponto P.
Deverá ser óbvio, por simetria, que deverá ser independente das outras
duas coordenadas esféricas  e j.
Usamos o índice 0 para indicar que estamos a calcular o campo fora
da distribuição de carga, e o índice i para indicar que estamos a calcular o
campo no interior da distribuição de carga.
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão

•Cálculo de E

•Cálculo de E

•Cálculo de E

•Cálculo de E
usando a Lei de Coulomb:
usando o Potencial:
usando a equação de Laplace:
usando a Lei de Gauss:
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
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
CAMPO EO NUM PONTO EXTERIOR:
Usando a Lei de Coulomb
Podemos encontrar a contribuição para E0 devido à carga dr’ no
elemento de volume dr’ e depois integrar a expressão resultante por toda a
esfera. É conveniente usar coordenadas esféricas, visto que a carga tem
simetria esférica.
Assim, o elemento de volume é dr 'r ' d 'r ' sen ' dj .
A carga neste volume produz um campo no ponto P que se direcciona
afastando-se do elemento de volume se >0, e aproxima-se se <0. A sua
magnitude, em módulo, será:
d eO 
3
1
4O

r ' 2 sen ' dr ' d ' dj '
s
2
(eq. 2-33)
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onde s é a distância do elemento de volume ao ponto P. O eixo ao longo do qual
=0 pode ser assumido como a linha OP. O elemento de intensidade de campo
eléctrico é escrito como d3O, visto ser uma diferencial de 3ª ordem.
Deveria ser óbvio, através da simetria de distribuição de carga, que E0 tem de ser
radial. Por exemplo, enquanto o elemento de carga mostrado na figura 2-5 produz
um campo eléctrico de intensidade d3O que não é ao longo do raio OP, existe
outro elemento de carga simetricamente colocado que produz um campo
simetricamente orientado com a mesma magnitude, e o resultado é um campo ao
longo de OP.
Sendo assim, consideremos apenas a componente radial de O, e:
d eO 
3
1
4O

r '2 sen ' dr ' d ' dj '
s2
 cos 
(eq. 2-34)
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R
r'
'
s
O

P
r

Figura 2-5. Um elemento de carga no ponto (’,) dentro de uma distribuição de
carga esférica uniforme
produz um elemento de intensidade
de campo


electrostático d 3 EO' no ponto P fora
da esfera. A projecção de d 3 EO' no eixo que

cruza P e o centro da esfera é d 3 EO' .
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A integração sobre o ângulo de rotação j’ em volta de OP é linear, e o
ângulo j’ varia entre 0 e 2. Podemos levar a cabo as outras duas integrações
usando r’ e s como variáveis independentes. Para o fazermos eliminamos a com a
ajuda da lei do coseno.
s 2  r 2  r '2
cos  
2sr
(eq. 2-35)
r '2  r 2  s 2
cos  ' 
2  r 'r
(eq. 2-36)
De igual modo:
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Agora desejamos eliminar sen’.d’ da expressão para d3EO. Podemos
determinar sen’.d’ em função de r’, r, s por diferenciação da equação anterior.
Aqui temos de nos lembrar que r é uma constante e que r’ é tomada como
constante quando da integração da eq. 2-36, tomando ambas r e r’ como
constantes, e assim:
sen 'd ' 
s  ds
r'r
(eq. 2-37)
Se substituirmos as equações 2-35 e 2-37 na equação 2-34 e integrarmos:
EO 

EO 
1
4O

r ' R
r ' 0
 r 2  r '2 
sr r ' r '1  s 2   ds  dr '
s r  r '
(4 / 3)R 3 
1 Q
ˆ

r

rˆ
1
2
2 1
4O
4O r
r
(eq. 2-38)
1
(eq. 2-39)
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Onde Q é a carga total (4/3)R3, e onde r̂1 é o versor direccionado para
fora.

O vector E O é direccionado para fora ao longo de OP de Q>0, e para
dentro ao longo de OP se Q<0.
Este resultado é o mesmo como se a carga Q estivesse concentrada no
centro da esfera.
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
CAMPO EO NUM PONTO EXTERIOR:
Usando o Potencial

Para calcular a intensidade do campo E O através do potencial VO usamos
o mesmo elemento de carga anterior.
Assim, pela definição de VO:
d VO 
3
1
4O

r ' 2 sen ' dr ' d ' dj '
s
(eq. 2-40)
Agora não existe o elemento cos(), visto que VO é um escalar. Para
executar a integração, integramos ’ e integramos através de j’, s e r’ como
fizemos anteriormente. O resultado é:
VO 
1
4O

Q
r
(eq. 2-41)
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O potencial eléctrico VO, como EO, é o mesmo tal como se a carga Q
estivesse concentrada
no centro

 da esfera.

E

V
E
Para calcular O , calculemos O . Por simetria, O tem de ser radial, assim:


V
1
Q
EO  VO   O  rˆ1 
 2 rˆ1
r
4O r
Como anteriormente.
(eq.2-42)
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
CAMPO EO NUM PONTO EXTERIOR:
Usando a Equação de Laplace
Por hipótese, =0 fora da esfera, e:
 2VO  0
(eq. 2-43)
Agora por simetria, VO é independente de  e j.
Portanto: 1   2 VO 
 r
0
2
(eq. 2-44)
r 
r r 
VO
A
 2 
r
r
A
 EO   2
r

(eq. 2-45)
(eq. 2-46)
Onde A é uma constante de integração.
Deveremos determinar o seu

valor mais tarde, após sabermos o valor de E i .
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
CAMPO EO NUM PONTO EXTERIOR:
Usando a Lei de Gauss
A maneira mais simples de calcular a intensidade do campo eléctrico
neste caso é usar a Lei de Gauss.
Considerando uma esfera imaginária de raio r>R concêntrica à esfera

carregada. Nós sabemos que EO tem de ser radial. Assim, de acordo com a Lei de
Gauss:
Q
4r 2 EO

(eq. 2-47)

O

 EO 
1
4O

Q
rˆ1
r2
(eq. 2-48)

Se a carga não fosse distribuída uniformemente e simetricamente,EO seria uma
função de  e j, e não seria constante através da esfera imaginária. A Lei de
Gauss só daria o valor médio da componente normal de EO através da esfera
imaginária.
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
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
Vamos calcular a intensidade de campo eléctrico num ponto P no interior
da distribuição de carga, como na figura 2-6. Podemos prosseguir como no caso
do ponto externo, primeiro escrevemos a contribuição de uma elemento de carga,
tanto para como para Vi, e depois integrar para toda a distribuição de carga. No
entanto, como a integração é difícil de executar, simplificaremos o problema
dividindo-o em duas partes distintas.
Desenhemos uma esfera imaginária de raio r, que passa pelo ponto P,
figura 2-6, para dividir a distribuição de cargas em duas partes. Depois calculemos
a intensidade de campo eléctrico devido à carga contida na esfera de raio r e
depois devido à carga na esfera oca exterior, com raio interior r e raio exterior R.
Pelo princípio da sobreposição, a intensidade de campo resultante para os dois
sistemas de cargas terá de ser a soma vectorial das duas componentes da
intensidade do campo.
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A separação da carga em duas partes é especialmente vantajosa neste
caso porque, como veremos, o campo produzido pela esfera oca exterior num
ponto da sua superfície interna, em qualquer ponto da concavidade, é zero. Isto
pode ser demonstrado do seguinte modo sem integrar.
Desenhemos um pequeno cone com um ângulo sólido d, tendo o seu
vértice no ponto P e estendendo-o em ambas as direcções, figura 2-6, e
consideremos os volumes que estes pequenos cones interceptam, dentro da
concavidade interna de raio r’ e espessura dr’, concêntrica à esfera. A distância
entre estes dois volumes e P são s1 e s2.
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
Figura 2-6. Para encontrar a intensidade
do campo no ponto P dentro de uma
distribuição uniforme de carga esférica,
dividimos a esfera numa concha e num
núcleo com a ajuda de uma esfera
imaginária de raio r. Assim, qualquer par
de elementos de volume, tais como os
mostrados na concha produzem os
mesmos campos no ponto P, mas
opostos. O campo no ponto P é assim
devido somente às cargas do núcleo. A
imagem mostra um dos elementos de
volume em detalhe.
d

P
s2
s1

O
r
r'
R
dr'
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Na esquerda o elemento de volume é:
s12  d
d L 
 dr '
cos 
2
,
(eq. 2-49)
.
(eq. 2-50)
e na direita é :
s 22  d
d R 
 dr '
cos 
2
A carga no elemento de volume esquerdo contribui, em P, com um campo de
magnitude:
 s12  d
d Ei 
 dr ' ,
2
4O s1 cos 
2
que é direccionado para o exterior se >0.
(eq. 2-51)
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Do mesmo modo, a carga na direita contribui com um campo idêntico,
oposto em direcção, como resultado os dois campos anulam-se. Como este
resultado é válido para qualquer d e qualquer dr’, o campo devido à parte oca da
esfera num ponto da superfície interior, ou qualquer ponto dentro da concavidade,
é zero.
Um modo mais simples de demonstrar que o campo é nulo num ponto
interior de uma esfera oca é usar a Lei de Gauss. Imagine uma esfera concêntrica
no interior da concavidade. De acordo com a Lei de Gauss, a média da intensidade
do campo eléctrico através desta superfície é zero, visto não haver cargas no seu
interior. Agora, a simetria do problema, obriga que o campo eléctrico, se existir,
seja radial e o mesmo por toda a superfície da esfera. Assim a intensidade do
campo eléctrico tem de ser zero em todos os pontos em qualquer superfície
esférica dentro da concavidade.
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
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
Usando a Lei de Coulomb
Com o campo eléctrico dentro da concavidade
oca da esfera excluído

desta forma, podemos calcular a contribuição do Ei que é devido à esfera interna
de raio r, tal como fizemos no caso do ponto externo.

Ei 
(4 / 3)r 3 
r
ˆ


r

 rˆ1
1
4O
3 O
r2
1
.
(eq. 2-52)
Assim, a intensidade do campo eléctrico cresce linearmente com r,
dentro da distribuição esférica de carga.
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
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
Usando o Potencial

EO
Podemos chegar ao mesmo resultado começando
por calcular o potencial
Vi como função de r dentro da distribuição de carga. Para o fazer poderíamos
avançar por integração directa. No entanto, será de novo mais fácil e mais
instrutivo dividir a distribuição de carga em duas partes como anteriormente.
Consideremos em primeiro lugar a esfera oca. Vimos que não há campo
eléctrico no interior da concavidade oca da esfera de carga. Assim todos os pontos
dentro da concavidade deverão estar todos com o mesmo potencial e, em vez de
calcular o potencial num ponto interior à superfície da concha, podemos calcular o
potencial no centro da concha, onde a integração é mais facilmente executada.
Escolhemos para este volume elementar uma concha fina de raio r’ e
espessura dr’. Assim a parte de Vi devido à esfera oca é:
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1
4O

R
 4r ' 2 dr '
r'
r



R2  r 2 
2 O
(eq. 2-53)
De seguida calculemos o potencial devido à esfera de raio r. Os cálculos
são os memsos para o ponto exterior, e podemos usar a eq. 2-41. Este termo é:
1
 (4 / 3)r 3
4O
r

 2
r
3 O
.
(eq. 2-54)
Somando estas duas contribuições, obtemos o potencial Vi num raio r
dentro da distribuição esférica de carga:

Vi 
O
 R2 r 2 

 
2
6

(eq. 2-55)
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O potencial Vi, também pode ser escrito como:
Vi 
Q
4O
R
2
 r2 
Q

2
4O R
(eq. 2-56)
Onde o 2º termo é o potencial na superfície da esfera, e o 1º termo é o
incremento acima do valor da superfície para os pontos interiores.
Assim:


V
r
Ei  Vi   i rˆ1 
rˆ1
r
3 o
.
(eq. 2-57)
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
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
Usando a Equação de Poisson
Agora temos dentro da distribuição de carga,

(eq. 2-58)
 2Vi  
O
1   2 Vi 

r

2
O
r r  r 
  2 Vi 

r
   r2
r  r 
O
r 3
2 Vi
r

B
r
3 O
Ei 
r B
_
3 O r 2
Onde B é uma constante de integração.
(eq. 2-59)
(eq. 2-60)
(eq. 2-61)
(eq. 2-62)
Electrostática
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É intuitivamente óbvio que não se pode tornar infinito no centro de uma
distribuição de carga uniforme e esférica, portanto B tem de ser zero, e:

r
Ei 
rˆ1
3 O
.
(eq. 2-63)
Encontramo-nos, agora, em posição de encontrar o valor da constante de
integração A, quando calculámos com a equação de Laplace. Não deveriam os
dois valores encontrados para a intensidade de campo , um válido no interior e
outro válido no exterior (eq. 2-39 e eq. 2-52), serem iguais na superfície? De
acordo com a Lei de Gauss, eles poderiam ser diferentes se tivéssemos uma
distribuição de densidade de carga superficial como na superfície de um condutor
carregado. Mas, assumimos, que a esfera carregada tem uma densidade volúmica
de carga uniforme () para fora do raio R e assim não poderá haver
descontinuidade em:
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
V
E
na superfície. Assim os nossos dois valores de
têm de ser iguais na
E
r
superfície:
Er R  
A
R


2
2 O
R
R 3
Q
 A

3 O
4O
(eq. 2-64)
(eq. 2_65)

e a equação 2-46 dá, de facto, o correcto valor para E O.
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
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
Usando a Lei de Gauss
Para calcular a intensidade de campo eléctrico num ponto interior a partir
da Lei de Gauss, desenhemos uma esfera imaginária de raio r através do ponto P.
A simetria requer que a intensidade de campo eléctrico seja radial, assim:
como anteriormente.
 (4 / 3)r 3
4i 
,
O

r
Ei 
rˆ1
3 O
(eq. 2-66)
(eq. 2-67)

A figura 2-7 mostra E e V para a nossa distribuição de carga de raio R,
como função da distância radial r.
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
Exemplos (Matlab) :
Potencial
Campo Eléctrico
Nota: Estes exemplos só podem ser usados com o programa Matlab.
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clear
N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')
x=[ ]
y=[ ]
while (N1<=R | N1>30)
disp('O valor de')
E0=8.85e-12
%E0=Constante
R = input('Valor do Raio R[0-5]: ')
while (R<=0 | R>5)
if (R<=0)
disp('O valor não se encontra na gama pretendida')
R = input('Valor do Raio R[>0-5]: ')
elseif (R>5)
disp('O valor excedeu o raio pretendido')
R = input('Valor do Raio R[>0-5]: ')
end
end
IT = input('Precisão 0 - R : ')
Q = input('Valor da carga da esfera (Q=400 ideal) : ')
for r = 0:IT:R;
x=[x,r];
%Imprimir valores
y=[y,((1/E0)*(((R^2)/2)-((r^2)/6)))];
%no ecran
end
if (N1<=R)
disp('O valor não se encontra na gama pretendida')
N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')
elseif (N1>30)
disp('O valor excedeu o raio pretendido')
N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')
end
end
ITI = input('Precisão R - R1 : ')
for R = (r):ITI:N1;
%Valores para o Raio [5-10] com precisao de 0.5
x=[x,R];
%Imprimir valores
y=[y,((Q)/(4*pi*E0*R))];
%no ecran
end
plot (x,y,'b')
xlabel('t(s)')
ylabel('V')
legend('linha do Potencial V')
title('Potencial Eléctrico')
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clear
T=(N-0.1)
x=[ ]
y=[ ]
N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')
while (N1<=N | N1>30)
disp('O valor de')
E0=8.85e-12
%E0=Constante
N = input('Valor do Raio R[0-5]: ')
while (N<=0 | N>5)
if (N<=0)
disp('O valor não se encontra na gama pretendida')
N = input('Valor do Raio R[>0-5]: ')
elseif (N>5)
disp('O valor excedeu o raio pretendido')
N = input('Valor do Raio R[>0-5]: ')
end
end
IT = input('Precisão 0 - R : ')
for R = 0:IT:N;
%Valores para o Raio
x=[x,R];
%Imprimir valores
y=[y,((1*R)/(3*E0))];
%no ecran
end
if (N1<=N)
disp('O valor não se encontra na gama pretendida')
N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')
elseif (N1>30)
disp('O valor excedeu o raio pretendido')
N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')
end
end
ITI = input('Precisão R - R1 : ')
for R = T:ITI:N1;
%Valores para o Raio1
x=[x,R];
%Imprimir valores
y=[y,((400)/(4*pi*E0*R^2))]; %no ecran
end
plot (x,y,'b')
xlabel('t(s)')
ylabel('E')
legend('linha do campo E')
title('Campo Eléctrico')
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R 2
2 O
Gráficos:
V
R 2
3 O
R
3 O
E
O
R
r
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Bibliografia
 Craizer, Marcos e Tavares, Geovan (2002). Cálculo Integral a
Várias Variáveis. Brasil: Edições Loyola.
 Mendiratta, Sushil Kumar (1995).Introdução ao
Electromagnetismo 2ª Edição. Lisboa: Fundação Calouste
Gulbenkian.
 Brito, Lucília; Fiolhais, Manuel e Providência, Constança (1999).
Campo Electromagnético. Portugal: McGraw-Hill de Portugal, Lda.
 Ehrlich, Robert; Tuszynski, Jaroslaw; Roelofs, Lyle e Stoner,
Ronald (1995). Electricity and Magnetism Simulations – CUPS.
Canada: John Wiley & Sons, Inc.
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R
r'
'
s
O

P
r

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R
r'
'
s
O

P
r

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d

P
s2
s1

O
r
r'
R
dr'
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d

P
s2
s1

O
r
r'
R
dr'
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Informações:
Botões de Acção
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- Diapositivo Seguinte
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Exemplo:
b
Âm
+
++
++++
-
b
Âm
-
ar
-
-
ar
+
++
++++
-
-
Existem vários materiais que podemos friccionar, os quais adquirem a
propriedade magnética. Como foi relatado na experiência, o âmbar já é conhecido
há vários séculos, mas é possível executar a mesma experiência com canetas de
plástico, pedaços de vidro (cuidado com as arestas), mas será possível magnetizar
metais da mesma forma, por fricção? Experimentem!!!
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:
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Enquadramento Teórico da Electrostática
Problema Seleccionado
Conclusão
CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:
CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR: