Aula 1_estatística Basica_2016 - FAU

Módulo 1
Estatística
Básica
Pesquisa Científica
Busca entender o mundo.
Desenvolve ideias e
percepções.
Move-se através de hipóteses.
Descreve a frequência de
ocorrência de um evento.
Avalia a relação entre 2
variáveis
Procura esclarecer relações do
tipo causa- efeito entre duas
variáveis
Conceito de Estatística
• Estatística –
Conjunto de técnicas destinadas ao estudo quantitativo
de fenômenos coletivos e empiricamente observáveis.
• Dado Estatístico
Número que mede a intensidade ou a característica do
fenômeno coletivo que está sendo estudado.
• Finalidade da Estatística
▪ Desenvolver métodos e técnicas p/ coleta, organização,
análise e interpretação de dados;
▪ Fornecer métodos para inferir conclusões sobre um
universo maior a partir das observações de um
fenômeno particular.
Conceito de Estatística
• Inferência
Método para tirar conclusão sobre um fenômeno
através de repetidas observações, mantendo sempre
as mesmas condições. Processo mental para chegar a
uma conclusão a partir de premissas(suposições).
• Incerteza
Como não é possível controlar todos os fatores que
influem na observação de um fenômeno estatístico há
sempre um grau de incerteza sobre a veracidade dos
resultados.
Conceito de Estatística
Teoria da Probabilidade
A estatística é uma ciência sobre a incerteza. Se
baseia inteiramente na Teoria da Probabilidade
(de ocorrência de um fenômeno).
Probabilidade Estatística
É a afir mação sobre a possib ilid ade ou
probabilidade de um fenômeno ocorrer, desde que
satisfeitas um conjunto de condições teóricas.
Fenômenos aleatórios
São o objeto de estudo da estatística, e se referem
a todos fenômenos observáveis na natureza.
Probabilidade
Baralho
56
Cartas
Qual a
probabilidade
de tirar
1 Az?
Fenômenos Aleatórios
Características Básicas
▪ Se repetem.
▪ Variabilidade.
▪ Não há previsibilidade sobre a variação futura.
Frequência de um Fenômeno Aleatório
Quando um determinado fenômeno ocorre repetidas vezes,
diz-se que existe uma regularidade ocorrências ou
frequência.
Fenômenos Aleatórios
População e Amostra
População e Amostra Estatística
População de uma Variável
É o universo de todas as ocorrências
possíveis de um fenômeno aleatório. A
população é o conjunto total de dados de
uma realidade.
Amostra
É um subconjunto da população.
Representa uma parte dos dados da
população.
População e Amostra Estatística
População e Amostra Estatística
População e Amostra Estatística
Levantamento de dados
São as observações de uma amostra da população. Como
é impossível levantar todos os dados de uma população,
coletamos parte desta informação: amostra.
Objetivo da Estatística
Levantar dados amostrais para concluir (inferir ou
generalizar) sobre as características da realidade mais
ampla: população.
Indução Estatística
Processo pelo qual assumimos que os dados da amostra
são iguais ao de toda população. Essa generalização é
feita através do cálculo das probabilidades.
Amostra
Amostragem
Amostragem
Seleção da Amostra
As amostras devem se escolhidas de modo a permitir calcular a
probabilidade de ocorrência de um evento.
Amostra Representativa
É aquela que tem as mesmas características da população de
onde foi retirada
Amostra Probabilística
É aquela cujo processo de amostragem permite atribuir a cada
elemento da amostra uma probabilidade semelhante à da
população.
Amostragem Aleatória
É aquela em que cada um dos elementos da população tem a
mesma chance de ser selecionado no levantamento dos dados.
Amostragem
Tipos de Amostragem probabilística:
Amostragem casual simples com reposição
Os elementos da população entram mais de uma vez na amostra.
Amostragem casual simples sem reposição
Os elementos da população só podem entrar uma vez na amostra
Amostragem sistemática:
Seleção da amostra com base num critério: Um em cada dez.
Amostragem por conglomerados:
A amostra é selecionada por sorteio da área a ser pesquisada
Amostra estratificada ou em estágios múltiplos:
A amostra é dividida em grupos e selecionada por etapas dentro de
cada grupo: cidade/bairro/quadra
Amostragem
Amostragem
Experimentação
Experimento e Variável
• Experimento – É a observação sistemática de um
fenômeno (evento aleatório) qualquer da população.
• Variável – É o valor que o fenômeno assume, em
um experimento qualquer.
• Domínio da Variável – São todos os valores
possíveis que um fenômeno pode assumir em um
experimento.
Experimento e Variável
Experimento
Variável
Lançar 1 dado
1,2,3,4,5,6
Lançar 1 moeda
Cara
Coroa
Domínio da Variável
Experimento e Variável
Experimento e Variável
• Variável Qualitativa (Atributo)
– a qualidade assumida pelo evento (fenômeno).
• Ex: O que Vc acha do transporte público em SP
bom, ruim, regular
• Variável Quantitativa
– a medida da variação de um evento (fenômeno)
•Ex: Qual é a idade média dos alunos da FAU
23, 24, 25
Experimento e Variável
• Variável Contínua – aquela que pode assumir qualquer
valor numa escala de valores (teoricamente infinitos
valores): Altura da pessoas.
• Variável Discreta – aquela cujos valores possíveis são
números inteiros (contagem): No. de alunos numa sala.
• Variável Dependente – aquela cujos valores depende
dos valores de outra variável: em matemática se expressa
por uma relação funcional (função)
y = f (x)
• y = variável dependente
• x = variável independente
Variáveis contínuas e discretas
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Amostra : Classificação e Caracterização
• Distribuição das Freqüências
• Medidas de Tendência Central
• Medidas de Variabilidade
• Medidas de Proporcionalidade ou Relativas
Distribuição de Frequência
• Frequência de uma variável – é a quantidade de vezes
que a variável ocorre (evento). Em outras palavras, é a
frequência em que a variável assume um certo valor.
• Frequência de variáveis contínuas: É obtida
dividindo o conjunto de valores em intervalos de classe e
indicando a frequência dos valores observados para cada
intervalo.
• Intervalo de Classe – É o intervalo entre o valor máximo e
mínimo de uma variável. A cada intervalo de classe estão
associados os limites de classe (valores extremos) e o ponto
médio.
Frequência de uma Variável
Pesquisa realizada com os 200 alunos de uma universidade buscava
identificar as preferências por esportes. Foram fornecidas as seguintes de
opções esportivas: futebol, vôlei, basquete, natação, tênis e ciclismo. Observe
os resultados:
Distribuição de Frequência
• Amplitude Total de uma série – É a extensão de variação
total da variável: A diferença entre valor maior da última classe e o
menor valor da primeira classe.
• Amplitude de Classe – É a diferença entre o valor máximo e
mínimo da variável dentro da classe.
• Ponto Médio de Intervalo de Classe = valor médio
limite inferior + limite superior
2
Distribuição de Frequência
Variável
Frequência
10
2
Variável: Quantidade de $ no bolso
Intervalo
A
20
4
30
7
50
8
9
C
60
Variáveis
Inferior
10
Superior
20
Inferior
30
Superior
40
Inferior
50
Freqüência
6
Intervalos de Classe
B
40
Limites
16
Superior
15
30
25
25
25
16
20
60
15
70
16
D
80
10
Inferior
70
Superior
80
26
15
26
10
7
6
90
9
E
Inferior
90
100
7
Superior
100
200
4
Inferior
200
Superior
500
16
5
0
D
500
3
1
7
A
B
C
D
E
D
Distribuição de Frequência
• Frequência Absoluta –
Valor total das observações
• Frequência Relativa –
Valor porcentual das observações
• Frequência Acumulada –
Somatória das frequências de todos intervalos
Modalidade
Esportiva
Futebol
Vôlei
Basquete
Natação
Tênis
Ciclismo
Frequencia Frequência Frequência Frequência
Relativa
Absoluta
Acumulada Acumulada
35%
70
70
35%
25%
50
120
60%
20%
40
160
80%
10%
20
180
90%
8%
15
195
98%
2%
5
200
100%
100%
200
200
100%
Histograma
• Histograma: Gráfico das distribuições das frequências de
uma variável.
• Gráfico de Barras (Histograma) – Gráfico de
retângulos, diagrama de colunas; gráfico de áreas.
• Histograma – As frequências dos fenômenos são
proporcionais à superfície de cada retângulo que as
representam. Para intervalos de mesma amplitude as
frequências serão proporcionais às alturas
Distribuição de Frequência
Histograma
Processo de Elaboração do Histograma
• Organizar os dados em ordem crescente;
• Determinar a amplitude total;
• Dividir a amplitude total em um nº adequado de intervalos
de preferência com a mesma amplitude;
• O número mínimo de intervalos é 5, número máximo 20;
• Quando possível os pontos médios dos intervalos devem
coincidir com os valores realmente observados
Distribuição de Frequência
Histograma
• Distribuições Simétricas e Assimétricas - Os
histogramas podem apresentar distribuição simétricas ou
assimétricas. Indicadas nos slides a seguir,
• Polígono de Frequências – Unindo-se os valores
médios dos intervalos de classe, o histograma se
transforma num polígono de frequências. Pode-se então
comparar este polígono com uma curva teórica (Normal).
GRÁFICO DE FREQUÊNCIAS: Histograma
18
16
Frequências
14
Variaveis Frequência
12
1
2
3
4
5
6
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
Categorias
5
6
4
6
16
8
7
2
HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
45
Pesos
( x 1)
Nº alunos
(f1)
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
89-85
85-90
Total
10
15
18
22
35
42
32
18
10
6
208
42
40
35
35
32
30
25
22
18
20
18
15
15
10
10
10
6
5
0
40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 89-85 85-90
simétrico
HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
Assimétrico à esquerda
Pesos
( x 1)
Nº alunos
(f1)
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
89-85
85-90
Total
35
42
32
24
20
17
15
10
10
6
208
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 89-85 85-90
assimétrico
HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
Assimétrico à direita
45
Pesos
( x 1)
Nº alunos
( f1)
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
89-85
85-90
Total
5
8
12
15
17
21
24
29
42
35
173
40
35
30
25
20
15
10
5
0
40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 89-85 85-90
assimétrico
Medidas de Ordenamento ou Posição
Medidas de Tendência Central
• Valores Centrais ou Médias de uma Amostra – Valores
que indicam posição de centralidade, ou o ponto central da
distribuição.
• Média Aritmética Simples – Quociente da soma dos valores
observados, pelo número total de valores.
α = Σ xi
n
i = 1.....n
Medida de Tendência Central
Observações
48
55
51
58
55
48
51
55
58
51
55
58
60
55
58
Evento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Observações Frequência
48
51
55
58
60
2
3
5
4
1
Média
54,4
Levantamento
do peso
dos alunos
da classe
Medidas de Tendência Central
• Média Aritmética Ponderada - Quando há valores que
se repetem mais que outros.
• α = Σ xi . fi
Σ fi
• Ex: α = 48.2 + 51.3 + 55.5 + 58.4 + 60.1 = 54,4
15
• Utilização: média de cálculo mais fácil. Valor médio
significativo por incluir todos os valores observados. Usada em
estatística para o cálculo do desvio padrão. Em probabilidade
esta média é chamada Esperança Matemática.
Medidas de Tendência Central
• Mediana – Medida de posição central. A mediana é o valor
que ocupa a posição central (meio) da distribuição.
• Série de valores com nº impar de termos
– Mediana = n + 1 /2
– Nº de termos 7
–
Md = 7+1 = 8 / 2 = 4
(mediana é o 4º termo)
– Ex: 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14 (7 termos) → Md = 11
• Série de valores com nº par de termos
– Mediana = n /2 + 1 e
– Mediana = n /2
– Nº de termos 8
–
–
Md = 8/2
= 4
Md = 8/2+1 = 5
(mediana entre o 4º e 5 º termo)
– Ex: 5, 7, 8, 11, 12; 13, 14, 15; (8 termos) → Md = 11+12 / 2 = 11,5
• Utilização: |A mediana é usada quando a distribuição apresenta resultados
extremos muito discrepantes. A mediana não sofre a influência de valores
extremos
Medidas de Tendência Central
• Moda – Valor dominante de uma distribuição. Aquele que
numa série de valores se apresenta com a maior freqüência.
Um conjunto de valores pode apresentar mais de uma moda:
plurimodal.
Ex: 48, 49, 50, 50 50, 55, 58, 59, 60 → M = 50
Ex: 4, 5, 6, 4, 5, 7, 4, 8, 5, 10 → M = 4 e 5 (plurimodal)
Medidas de Dispersão
Mediadas de Variabilidade
• Índices que indicam o grau de concentração ou dispersão de
uma distribuição em torno da média.
• Principais índices de variabilidade:
–
–
–
–
Amplitude total
Desvio médio
Variância
Desvio padrão
• Amplitude Total (Intervalo Total) - É a diferença entre o
maior e o menor valor de uma série.
• Ex: 48, 48 49,49,49,55,55,55,55,55,58,58,58,58,59,60
• → A = 60 - 48 = 12
Medidas de Variabilidade
• Desvio Médio – Média aritmética dos afastamentos (ou
desvios), tomados em valor absoluto, entre cada valor e a
média aritmética.
•
sendo di = │xi - α │
sendo α = média aritmética
DM = Σ │di . fi │
Σ fi
Ex: dm = (48 – 54,4).2 + (51-54,4).3 + (55-54,4).5 + (58-54,4).4 + (60-54,4).1
15
dm = 12,8 + 10,2 + 3,0 + 14,4 + 5,6
15
dm = 3,07
Utilização: Indica o quanto, em média, os valores se afastam do ponto central (média)
numa distribuição do tipo Curva de Gaus
Medidas de Variabilidade
• Variância – Considerando-se uma amostra de dados, cada
dado isolado pode ter um desvio (dispersão) em relação à
média da amostra. Essa dispersão é a diferença entre o valor
individual e a média da amostra de dados. Para se avaliar o
grau de dispersão de toda a amostra de dados utiliza-se a
variância que é a somatória dos desvios elevada ao quadrado
dividida pelo tamanho da amostra, menos 1.
• s2 = Σ (xi – α)2 • fi
Σ fi – 1
• Exemplo: s2 = 81,92 + 34,68 + 1,80 + 51,84 + 31,36
14
S2 = 14,4
Medidas de Variabilidade
• Desvio padrão – afastamento quadrático médio ou
afastamento padrão. É a raiz quadrada da variância.
• Desvio padrão dos dados isolados ponderados com freqüências distintas:
• s2 = √ Σ (xi – α)2 • fi
Σ fi – 1
• Exemplo: s2 = 81,92 + 34,68 + 1,80 + 51,84 + 31,36
14
s = √ 14,4 = 3,79
• Utilização: é a medida mais usada com medida de variabilidade,
principalmente quando a distribuição for normal
Ohistograma de Densidades
0 .04
0 .03
0 .02
0 .01
0 .00
30
40
50
60
70
80
90
1 00
P es o
Peso, emkg, de 1000 pessoas adultas selecionadas ao acaso emuma população
Distribuição dos valores da variável aleatória X.
Distribuição de probabilidades de X
A curva contínua da figura denomina-se Curva Normal
0 .03 0
0.01 5
0.00 0
30
40
50
60
70
80
90
P es o
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população.
10 0
Curva de Gauss
Distribuição Normal
•
Curva de Gauss
Distribuição Normal
-1s → 1s
68, 27 %
dos casos estão incluídos entre M–1s e M+1s
-2s → 2s
95,45 %
dos casos estão incluídos entre M–2s e M+2s
-3s → 3s
99,73 %
dos casos estão incluídos entre M–3s e M+3s
Curva de Gauss
Distribuição Normal