Unidade 1

Unidade I
Problema 1
Duas escadas, uma de 20 m e
outra de 30 m, apoiam-se em
edifícios frontais a uma
avenida,conforme ilustrado na
figura ao lado. Se o ponto no
qual as escadas se cruzam
está a 8 m de altura do solo,
então determine a largura da
avenida. Este problema pode
ser resolvido calculando-se a
raiz da equação(obtida através
de semelhança de triângulos e
do teorema de Pitágoras):
x 4  16 x 3  500 x 2  8000 x  32000  0
MATLAB
GRÁFICO
e a largura da avenida é dada
por: y  400  x 2 .
Problema 2
O pH de soluções diluídas de ácidos fracos pode ser calculado pela
fórmula:
na qual:
pH = - log [H+]
Ka - constante de dissociação do ácido
Ca - concentração molar do ácido
Kw - produto iônico da água
Calcular o pH de uma solução de ácido bórico a 24°C sabendo-se
que: Ka = 0.65x10-10 (moles/l)2, Ca = 0.1x10-4 moles/l, Kw = 0.1x10-13
(moles/l)2.
Portanto, estamos interessados em resolver a seguinte equação:
x 3  0.65 10 10 x 2  1.065 10 14 x  0.65 10 24  0
MATLAB
onde, pH = -log(x)
GRÁFICO
Problema 3
A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites
é dada por:
M = x – K sen(x)
Dado que K = 0.2 e M = 0.5, obtenha a raiz da equação de
Kepler.
MATLAB
GRÁFICO Y=x-Ksen(x)-M
GRÁFICO Y=x e y=0.5 + 0.2sen(x)
Problema 4
Uma loja de eletrodomésticos oferece dois planos de
financiamento para um produto cujo preço à vista é
R$1.620,00(quem sabe, aquela geladeira duplex ou, talvez,
aquela TV de tela plana e cristal liquido!).
Plano A: entrada de R$ 220,00 + 9 prestações mensais de
R$ 265,25.
Plano B: entrada de R$ 220,00 + 12 prestações mensais
de R$ 215,22
Qual dos dois planos é melhor para o consumidor?
Para escolher o melhor plano deve-se saber qual tem a menor taxa
de juros. A equação abaixo relaciona os juros (j) e o prazo (P) com o
valor financiado (VF = preço à vista – entrada) e a prestação
mensal (PM):
[1 - (1 + j)-P] / j = VF/PM
Fazendo x = 1 + j e k = VF/PM
tem-se:
f(x) = kxP+1 – (k + 1)xP + 1 = 0
Plano A
Plano B
P=9
P = 12
K = (1.620 – 220)/265,25 =5,278
K = (1.620 – 220)/215.22 = 6,50476
fA(x) = 5,278x10 –6,278x9 + 1
fB (x) = 6,50476x13 – 7,50476x12 + 1
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GRÁFICO
Problema 5
Um advogado comprou uma casa no valor de R$50.000,00 e
pagou à vista. Após a compra, ele resolveu alugar o imóvel e
recebia, do seu inquilino, R$ 400,00 por mês. Mas, ao final de 5
meses recebeu uma proposta de compra de sua casa no valor de
R$ 60.000,00 e acabou fechando o negócio. Determine a taxa de
retorno interno deste investimento.
A soma dos valores presentes dos retornos é
igual ao valor presente do investimento inicial.
Retornos: R1, R2,..., Rn, onde Rn é o retorno do
n-ésimo mês de aplicação com j % mensal.
Se Ri  0 e R1 + R2 + R3 + ... + Rn  P, j é obtido assim:
P(1 + j)n = R1(1 + j)n-1 +...+ Rn-1(1 + j) + Rn
Fazendo 1+j=x obtemos:
Pxn - R1xn-1 - R2xn-2 - ... - Rn-1x - Rn = 0.
Assim,
50000x5 - 400x4 - 400x3 - 400x2 - 400x - 60000 = 0
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GRÁFICO
Problema 6
Um tanque de vaporação flash é alimentado com F moles/h por
uma corrente de gás natural de n componentes, como mostrado
na figura abaixo.
As correntes de líquido e vapor são designadas
por L e V moles/h, respectivamente. As frações
molares dos componentes na alimentação, nas
correntes de vapor e de líquido são designadas
por zi , yi e xi, respectivamente. Assumindo
equilíbrio líquido-vapor em estado estacionário,
temos:
balanço global
F  L V
balanço individual
zi F  xi L  yiV
Ki 
yi
, i  1,2,..., n
xi
relação de equilíbrio
Ki é a constante de equilíbrio para a i-ésima componente na
pressão e temperatura do tanque
Das equações acima e do fato de i 1 xi  i 1 yi  1
que:
n
zi K i  1
0

i 1 V K i  1  F
n
n
mostra-se
Supondo que F = 1000 moles/h, calcule o valor de V, com duas
casas decimais corretas, resolvendo a equação acima, para a
corrente de gás natural, à temperatura de 120° F e pressão de 1600
psi, para cada um dos componentes da tabela a seguir:
Componentesz
i
zi
Ki
Dióxido de carbono
1
0.0046
1.65
Metano
2
0.8345
3.09
Etano
3
0.0381
80.72
Propano
4
0.0163
0.39
Isobutano
5
0.0050
0.21
n-Butano
6
0.0074
0.175
Pentano
7
0.0287
0.093
Hexano
8
0.0220
0.065
Heptanos
9
0.0434
0.036
Para o valor de V, calcule os valores de L, de xi e de yi.
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GRÁFICO
Problema 7

sen( ) cos( )
A equação: tg  
2
gR
2

cos
( )
2
v
permite calcular o ângulo de inclinação, α, em que o lançamento do
míssil deve ser feito para atingir um determinado alvo. Na equação
acima,
α: ângulo de inclinação com a superfície da terra com a qual é
feita o lançamento do míssil
g: aceleração da gravidade ≈ 9.81 m/s2
R: raio da terra ≈ 6371000 m
v: velocidade de lançamento do míssil (m/s)
θ: ângulo (medido do centro da Terra) entre o ponto de
lançamento e o ponto de impacto desejado
v2
Resolva o problema considerando: θ=80° e v tal que
 1.25
gR
ou seja,aproximadamente 8840 m/s.
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GRÁFICO
fB(x)