Slides - Universidade de Lisboa

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Departamento de Educação
Mestrado em Educação - Didáctica da Matemática
Didáctica da Álgebra
Equações do 1º Grau
Roberta Manso
Considerações Psicológicas
 Noções Matemáticas Abstractas

Estruturalmente (como objectos)

Operacionalmente (como processo)
Concepção Operacional
Características
Gerais
Representações
Internas
Seu lugar no
Desenvolvimento
Conceptual
Seu Papel no
processo cognitivo
 A entidade matemática é
concebida como um produto de
certo processo ou é identificada
com o próprio processo.
 É apoiada por representações
verbais.
Concepção Estrutural
 A entidade matemática é
concebida como uma estrutura
estática – como se fosse um
objecto real.
 É apoiada por imagens mentais.
 É desenvolvida na primeira fase
da formação do conceito.
 Desenvolve-se a partir da
concepção operacional.
 É necessária, mas não
suficiente, para o aprendizado
efectivo e para a resolução de
problemas.
 Facilita todo o processo
cognitivo (aprendizado,
resolução de problemas).
Considerações Psicológicas
 Três Fases do Desenvolvimento Conceptual
Interiorização
Características
Gerais
 Os processos são
realizados a partir de
objectos matemáticos
familiares.
Condensação
 Os processos
anteriores são
transformados em
unidades compactas
autónomas.
Reificação
(Reification)
 É adquirida uma
capacidade para ver novas
entidades como objectos
permanentes por direito
próprio.
Estudo das Equações
 Definição de Equação Algébrica
 São representações estruturais que envolvem uma perspectiva não aritmética no uso do sinal igual
e a natureza das operações que são representadas.
 Métodos para Resolver Equações
 Uso de factos numéricos
(Ex. 2 + x = 5, sabe-se que 2 + 3 = 5)
 Técnica da Contagem
(Ex. 2 + x = 5, conta-se 2,3,4,5 e nota-se que é preciso 3 para chegar a 5)
 Cover Up
(Ex. 2x + 9 = 5x portanto 9 = 3x portanto x = 3)
 Substituição por Tentativa e Erro
 Transposição (muda o lado/muda o sinal)
 Representar a mesma operação em ambos os lados
 Ambientes Computacionais
 Algebraland
 Álgebra Workbench
 Álgebra Tutor
INVESTIGAÇÕES SOBRE O ENSINO DE EQUAÇÕES
COM CRIANÇAS DOS 6 AOS 12 ANOS
●Bodanskii (1991), Rússia
 Desenvolvimento e solução de Equações escritas para resolver problemas enunciados.
 Concluiu que estudantes de 10 anos de idade que trabalharam problemas algébricos e
notações para Equações no 1º ano (6 – 7 anos) efectuam significativamente melhor do que os
estudantes de 11 /13 anos de idade que só tem acesso com 11 anos de idade.
• Brito Lima e Lins Lessa
 Relataram estudos sobre notação e conceitos algébricos para Equações.
 Concluíram que crianças da escola elementar podem desenvolver representações
escritas para problemas algébricos e o sucesso está baseado no desenvolvimento de
Equações escritas e no uso do modelo da Álgebra sintáctica para resolver Equações.
 Entendimento intuitivo ou informal que os estudantes usam na escola
• Filloy e Rojano, 1989; Galardo & Rojano, 1987; Herscovics e Lincheviski, 1994; Kieran, 1984
 Métodos intuitivos dos estudantes resolverem Equações.
• Peck & Jencks, 1988
 Capacidade dos estudantes para aplicar intuitivamente a propriedade distributiva.
INVESTIGAÇÕES SOBRE O ENSINO DE EQUAÇÕES
COM CRIANÇAS DOS 6 AOS 12 ANOS (cont.)
•

•
1)


2)

Carpenter & Moser, 1984
Adição e subtracção de números inteiros identificando estratégias informais usadas
pelos alunos para diferentes tipos de problemas.
Wagner, Rachin e Jensen (1984)
Investigar os conhecimentos dos estudantes, mostrando que a solução para uma equação é
determinada pela estrutura da equação e não pela letra em particular usada para representar as
variáveis.
Concluíram que só 38% respondeu correctamente.
s
 3  14
8
Dadas três tarefas: 1) Resolver a equação
2) Colocaram t + 1 no lugar do t.
3) Colocaram (2r+1) no lugar de x em 4x + 7 = 35.
 Conclusão
1) A maioria respondeu que a solução não mudaria.
2) A maior parte resolveu para t e representaram o valor de t +1.
3) Somente um estudante resolveu directamente para (2r + 1).
Exemplo de uma Investigação
Grade 6 Students’ Preinstructional Use of Equations
to Describe and Represent Problem Situations
Jane O. Swarfford and Cynthia W. Langrall
ILLINOIS STATE UNIVERSITY
Enquadramento Teórico
 O Papel das Representações
 Definição
“São significados individuais pelos quais constituem e fazem o sentido das situações”
(Swafford & Langrall, 2000).
 Tipos de Representações
Representações Internas
Características
 Estão ligadas as imagens mentais
que correspondem a formulações
internas construídas a partir da
realidade ( no domínio do
significado).
Aprendizagem
Matemática e
Resolução de
Problemas
 São descritas ao nível
holístico (verbal, imagens
visuais, símbolos
matemáticos internos, regras
e algoritmos, esquemas).
Representações Externas
 Referem-se a todas as formulações
simbólicas (símbolos, esquemas,
diagramas, etc) e tem como
pressuposto representar uma certa
“realidade” matemática (no domínio do
significante).
 São observadas usualmente no
ambiente imediato, tais como:
objectos ou eventos da vida real,
palavras escritas ou faladas,
fórmulas e Equações, gráficos,
materiais manipulativos ou
computadores.
(Valério, 2004)
Enquadramento Teórico
 Representações Externas
Notacionais e formais
Relações visuais e espaciais
Descrições verbais e escritas
(Valério, 2004)
Diagramas
Tabelas
Gráficos
Descrições Narrativas
do Caso Geral
 Representação Simbólica Como Um Objecto Matemático
 Piaget – Abstracção Reflexiva – “São entidades mentais abstraídas a
partir de experiências, entidades que podem ser manipuladas mentalmente,
separadas das experiências que as fizeram emergir”.
 Kaput (1989) – “Entidades mentais construídas através da “reificação das
acções, procedimentos e conceitos entre objectos fenomenológicos que
podem servir como base para novas acções, procedimentos e conceitos no
alto nível de organização”.
(Swafford & Langrall, 2000)
Problema/ Objectivo
 Objectivo Principal do Estudo
“Determinar em que medida os estudantes usam Equações para descrever e
representar previamente situações problemas para o estudo formal de
Álgebra”.
(Swafford & Langrall, 2000)
Metodologia
 Estudo Qualitativo Envolvendo Múltiplos Casos
 Participantes

10 Estudantes do 6º Ano de escolaridade

Investigadoras

Estudantes do 7º e 8º Anos de escolaridade
 Instrumentos de Recolha de Dados

Entrevistas Individuais (45 minutos)

Registos em Áudio

Notas das Investigadoras
 Análise dos Dados

Trabalhos dos Estudantes

Entrevistas Transcritas

Notas das Entrevistas (revelação dos dados)

Resumos produzidos durante as análises
(Swafford & Langrall, 2000)
Análise dos Resultados
Itens
Tasks
Refund
Wage
Border
Concert
Fold
Car
10
10
9
10
10
1
Recursive
1
0
1
5
7
0
Functional
9
8
9
2
3
5
Represents Symbolically
7
6
7
2
3
5
Solve
2
3
2
1ª
-
2
Substitute
3
0
-
1
4
1
Computes Specific Cases
Describe Relation
Uses Equation to
Computes Specific Cases
Describes Relation
S7: (I: See if you can fill in that chart. [Student completes the table correctly.] Can you describe any
pattern in this table?) Every time you it, it doubles itself. (recursive)
S6 e S4
S7 e S8
S6: Three hours ... Well, if this takes 2 hours [for 18 to wash the cars] and there
is half as many ..., then it would take another hour.
S8: (I: Can you complete that table? [Student completes the table correctly.] Okay. Now are there any
S4: Two and one half hours. (I: Okay, and how did you get that?)
patterns that you see? How might you describe them?) Well, it would be sort of hard. But, multiply 2 to
I knew it was 2 hours for 18 and I just added another half hour to that.
that power.... I mean times itself that many times. (functional)
(Swafford & Langrall, 2000)
Análise dos Resultados
Itens
Tasks
Refund
Wage
Border
Concert
Fold
Car
10
10
9
10
10
1
Recursive
1
0
1
5
7
0
Functional
9
8
9
2
3
5
Represents Symbolically
7
6
7
2
3
5
2
3
2
1ª
-
2
Computes Specific Cases
Describe Relation
Uses Equation to
Solve
Substitute
I: Can you use formula to find 3out how much
overtime
Mary would
have4 to work1to earn $50?
0
1
S2: Okay, in this case it is [writes on her paper, see Panel A in Figure 4] 50 minus 20 equals ...
You would divide that by 2, equals ... 15 hours of overtime.
I : Good, explain it.
Represents Symbolically
Uses Equation
S2: Well, 50 minus 20 is [30], divided by 2 is 15.
Trabalhos dos estudantes
S2
S4
S9: It would be 15 overtime
S9[hours].
I: Can You tell me how you got that?
S4: Sixty.
Well,get
I set
it up at 10 [overtime hours]; that is 40 [dollars total]. So just keep
I: How S9:
did you
that?
on50
adding
for cans,
each overtime
[hour]
until is
you
get to and
$50.then
WithI my
fingers
I 3.
S4: I did
cents$2
is 10
so I just did
20 cans
a dollar,
times
that by
counted 5 times.
(Swafford & Langrall, 2000)
Discussões
 Os estudantes:
1) Mostraram uma notável aptidão para generalizar os problemas e escrever equações
usando variáveis, frequentemente na forma não padronizada;
2) Mostraram que podem descrever relações usando oralidade e símbolos, ou uma
combinação de representações orais e simbólicas;
3) Raramente visualizaram e usaram suas equações como objectos matemáticos;

Situações diferentes envolvendo números diferentes no mesmo contexto contribuíram
para o processo de generalização;

Verificar o mesmo problema por meio de diferentes representações;

Necessidade de construir nos estudantes o conhecimento de estruturas multiplicativas,
realizando mais experiências;

Investigar o mesmo problema por meio de diferentes representações e as próprias
representações;

Investir no entendimento além das situações rotineiras;
(Swafford & Langrall, 2000)