linhas de campo magnético

Campos Magnéticos Produzidos por
Correntes
Universidade Estadual do Piauí
Campus Parnaíba
Professor : Olímpio Sá
Curso de Física 2 para Ciências da
Computação
1o semestre, 2014
Lei de Biot - Savart
De maneira análoga à que o

campo elétrico dE produzido por
cargas é:

1 dq
1 dq 
dE 
r

r
ˆ
2
3
4 0 r
4 0 r

o campo magnético dB produzido
por cargas em movimento (correntes)
 
é:
 o idl  r
dB 
4 r 3

onde dl é um elemento de comprimento
 sobre a linha de

corrente, r é um vetor que vai de Idl até o ponto P e
7 T  m
 6 T  m é a permeabilidade do vácuo.
0  4 10
 1,26 10
A
A
Campo num ponto P qualquer
 
 o idl  r
dB 
4 r 3
C
z

idl

r
P
y
x

 dB


0 idl  rˆ
B
2
4

r
C
(Lei de Biot-Savart)
Linhas de Campo Magnético
As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais
pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma
dada distribuição de correntes no espaço. No entorno de um fio
longo transportando uma corrente, elas são da forma:

Observe que as linhas de B são fechadas.
Campo magnético de um fio retilíneo
longo com corrente
i

A lei de Biot-Savart
dB 
o i ds sin 
4
r2
 o Idl  r
se reduz a:
dB 
3
4 r
r2  R2  s2
Mas:
R
R
tan   
 ds 
d
2
s
sin  
Integrando-se em  tem-se:
B

B

 0i
 0i
R / sin 2 
B
sin  2
d 
2
4
R / sin 
2 R
0

Sentido do campo B : dado pela
regra da mão direita (ver figura)
0i (fio semiB
4 R infinito)

B devido a uma corrente em um arco circular
• campo magnético no ponto C
• para os segmentos 1 e 2 da figura (a) ds  r é nulo (vetores
paralelos e anti-paralelos)
 
• no segmento 3 ds e r são perpendiculares entre si.
Neste caso:
 0 i ,
B
4 R
onde  é o ângulo subentendido
pelo arco.
Exemplo
Dois fios transportam correntes i1 e i2 em sentidos contrários.
Obter a intensidade, direção e sentido de B em P.
Adote i1 =15A, i2 =32A e d=5,3cm.
• Intensidade de cada campo:
0in
Bn 
, n  1,2
0
2 d cos 45

• Módulo de B
0
2
2
4
B
i

i

1
,
89

10
T  190 μT
1
2
0
2 d cos 45
• A fase
 B1 
 15 A 


  25,1
  arctan    arctan 
 32 A 
 B2 

• B faz um ângulo com o eixo x dado por :
  45  70
Força entre dois condutores com correntes
A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b:


0ia
0 ia dla  rˆ
Ba 
Ba  
2
2d
4
r
a
O fio a produz no fio b uma força dada por:
 

 



0 ib ia
dla  r
F

d
F

d
l

(
)
dFba  ibdlb  Ba
b
3
b


4 b
r
a
Para dois fios paralelos, a força sobre
um comprimento L do fio b vale:

 
Fba  ib L  Ba
ba
ba
0 ib ia
Fba
o
 ib Ba sin 90 
L
2 d
Esta expressão possibilita a definição
do ampère.
Canhão sobre trilhos
• Força magnética como acelerador de projéteis
Corrente percorre os trilhos
condutores ligados por um
fusível condutor que se funde ao
se estabelecer corrente criando
um gás condutor.
O gás conduzindo corrente,
sob influência do campo B
produzido pelos trilhos, sofre
uma força que empurra o
projétil.
Circuitação de um campo vetorial

• Cada linha de B é uma
 curva fechada.
• A determinação de B pode ser feita em termos da sua
circuitação.

 B

dl
i

r


Intensidade de B :
d

C
B
0 I
2 r
 
B  dl  Bdl cos 

C
rd  dl cos 
 0i
 0i
C Bdl cos   Br d   2 r r d  2  d  0i
A lei de Ampère
A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo do
campo magnético devido a uma distribuição de correntes
depende da simetria do problema.
 
 B  dl  oienv
(lei de Ampère)
C
Da figura ao lado tem-se:
ienv  i1  i2   Bdl cos   0 (i1  i2 )
C
Então:
 
 B  dl  o i1  i2 
C
Campo magnético fora de um fio retilíneo
longo com corrente

B possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma
intensidade em todos os pontos a uma distância r do mesmo.
Curva 1 ( r>R ):
 
 B  dl   Bdl cos  0 i0
1 
 1
B é paralelo a dl
  0  cos  1
 Bdl cos  B  dl  B(2 r )
1
1
Da lei de Ampère:
0 I 0
B
2 r
(fora do fio)
Campo magnético no interior de um fio
longo de raio R
Curva 2 ( r  R )
:
 Bdl cos   B  dl  B(2r )
2
2
A corrente envolvida pela curva 2
(de raio r) é:
ienv
 r2
 I0
 R2
B(2 r )  0ienv
 r2
 0 I 0
 R2
0 I 0
B
r
2
2 R

O sentido de B é dado pela regra da mão direita.
(dentro do fio)

Gráfico da intensidade de B de um fio
retilíneo longo com corrente
• Para
B
rR :
 0i
r
2
2 R
• Para r  R :
 0i
B
2 r
Solenóides e Toróides
• Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é
chamado de solenóide.
• O campo magnético do solenóide é a soma vetorial dos campos
produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma.
Solenóide compacto
Solenóide esticado
Solenóides e Toróides
O campo no interior de um solenóide é praticamente uniforme. As
figuras abaixo mostram um solenóide ideal e um solenóide real. Em
ambos os casos os campos fora do solenóide são fracos, em
comparação com os do interior.
Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd, havendo N voltas
num comprimento h do solenóide:
  b   c   d   a  
B  dl  B  dl  B  dl  B  dl  B  dl  0ienv ; ienv  i0 (nh)

C

a

b

c
B  n0i0

d
N

n  
h

Campo de um toróide
A figura mostra o enrolamento
 de um toróide de N voltas,
transportando uma corrente I. B é diferente de zero apenas no
interior do toróide. Sua intensidade varia com r.
Aplicando-se a lei de Ampère para
a curva tracejada em azul, tem-se:
 
 B  dl  0 I N

C
 
B  dl  B (2 r )
C
B
N0 i
( toróide )
2r
N
 n , esta expressão é parecida à do campo de
Note que como
2r
um “solenóide enrolado”.
Campo magnético de uma bobina
O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser
calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart para
calcular B em pontos do eixo central da espira.



Temos: dB( z )  dB||  dB

Como a soma vetorial dos dB se anula:


B( z )  dB||  dB cos 
 i ds
dB  0 2 sin (900 )
4 r
R
R
r  R  z e cos   
r
R2  z 2
Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se:
2
2
2
0iR
B( z )   dB|| 
ds
2
2 3/ 2 
4 ( R  z ) espira
 0iR 2
B( z ) 
2( R 2  z 2 )3 / 2
Campo magnético de uma bobina
Vimos:
B( z ) 
 0 iR 2
2( R 2  z 2 ) 3 / 2
Para pontos afastados ( z  R ):
B( z ) 

 0i R 2
2z3

2
Lembrando que  R  A é a área da espira e   iAnˆ é o seu
momento magnético:
 0 NiA
B( z ) 
2 z 3


0 
B( z ) 
2 z 3
(A bobina se comporta
como um ímã)