Apresentação 3 - Antonio Carlos Brolezzi

Fundamentos Teóricos e
Metodológicos sobre ensinoaprendizagem de Números e
Medidas
FSA-2011
Antonio Carlos Brolezzi
[email protected]
Aula 3
FSA-2011
Antonio Carlos Brolezzi
[email protected]
Quantas unidades,
quantas dezenas e
quantas centenas há em
825?
Video Pequenos Cientistas
• Escreva o número
10.500.000
de três formas diferentes
• Qual ou quais formas são mais
usadas pela mídia para escrever
números?
• O que isso acarreta no nosso ensino?
Atividade
Valores
Eu tenho as seguintes moedas:
2
1
2
1
x
x
x
x
R$
R$
R$
R$
0,01
0,05
0,10
0,25
Qual o total de preços diferentes que
poderei pagar sem receber troco?
Atividade
Valores
Eu tenho as seguintes moedas:
2
1
2
1
x
x
x
x
R$
R$
R$
R$
0,01
0,05
0,10
0,25
Qual o total de preços diferentes que
poderei pagar sem receber troco?
Resp: 26 preços diferentes
Atividade
Valores
Qual o menor número de notas (e
moedas) de que necessito para
compor R$ 87,76?
Atividade
Valores
Qual o menor número de notas (e
moedas) de que necessito para
compor R$ 87,76?
Resp:
50+20+10+5+1+1+0,50+0,25+0,01
= 4 notas e 5 moedas
Atividade
Tempo
Quantos horas, minutos e segundos
tem um ano de 365 dias?
8760 horas, 525.600 minutos e
31.536.000 segundos
Atividade
Calendário
O que é o ano bissexto?
Atividade - Calendário
Ano bissexto
O ano bissexto tem 366 dias, um dia a mais que os anos comuns.
Coloca-se 1 dia extra a cada 4 anos no mês de fevereiro, que
passa a ter 29 dias.
Ocorre geralmente de 4 em 4 anos, já que o ano bissexto é
divisível por 4.
Mas, se o ano terminar em 00, deve ser também divisível por 400
Exemplo: o ano 2000 foi bissexto, pois termina em 00 mas é
divisível por 400.
Mas o ano 2100 não será, pois não é divisível por 400.
Ano bissexto
A razão é que o ano de fato dura 365,25 dias. Ou seja, a terra
demora aproximadamente 365,25 dias solares para dar uma
volta completa ao redor do Sol.
O ano comum (por convenção) tem 365 dias.
Portanto, faltam aproximadamente seis horas (0,25 dia) a cada
ano.
Para simplificar, as horas excedentes serão somadas e, a cada
quatro anos, adicionadas ao calendário na forma de um dia (4 X
6 horas = 1dia).
Atividade
Comprimento
Uma polegada = 2,54 cm
Um pé = 30,48 cm
Uma jarda = 91,44 cm
Quantos polegadas tem um pé?
Quantos pés tem uma jarda?
Questão: Essas unidades são usadas
até hoje? Por quê?
Atividade
Comprimento
Qual o tamanho da tela de uma
televisão de 22 polegadas?
Atividade
Velocidade
Que unidade de medida você utilizaria
para medir a velocidade:
1.De um automóvel?
2.De uma formiga?
3.Da luz?
Atividade
Velocidade
Que unidade de medida você utilizaria
para medir a velocidade:
1.De um automóvel? Km/h (quilômetro
por hora)
2.De uma formiga? (milímetros por
segundo)
3.Da luz? Km/s (quilômetros por
segundo)
Atividade
Distâncias
Depois do Sol, qual a distância da
estrela mais próxima da Terra?
Atividade - Velocidade
Qual a distância da estrela mais próxima?
A estrela mais próxima de Terra depois do Sol é
Alfa Centauro.
Ela concentra-se a uma distância de 40 trilhões
de quilômetros (40.000.000.000.000) da Terra.
Mas, como as distâncias no Universo são
imensas, fica difícil utilizar números com tantos
zeros.
Atividade - Velocidade
Qual a distância da estrela mais próxima?
Para facilitar a compreensão das distâncias,
utilizamos então a unidade de medida chamada
ano-luz, que nada mais é do que a distância
percorrida pela luz em um ano.
A luz viaja a uma velocidade de 300 mil
quilômetros por segundo (nada viaja mais rápido
do que ela), percorrendo 9,46 trilhões de
quilômetros por ano entre os astros. Assim , a
distância de Alfa Centauro até nós passa a ser de
4,2 anos-luz (40 trilhões / 9,46).
Atividade
Volume e capacidade
Quantos litros de água tem no Oceano
Atlântico?
Atividade
Capacidade
Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico?
O Oceano Atlântico tem um volume médio de
323.600.000 quilômetros cúbicos.
Cada quilômetro cúbico equivale a
1.000.000.000.000 litros (um trilhão de litros).
Logo, o Oceano Atlântico tem aproximadamente
323.600.000.000.000.000.000
Trezentos e vinte e três quintilhões e seiscentos
quatrilhões de litros.
Números grandes:
Quantos zeros tem em um
decilhão?
Número escrito
Como se lê
1000
Mil
1 000 000
Milhão
1 000 000 000
Bilhão
1 000 000 000 000
Trilião
1 000 000 000 000 000
Quatrilhão
1 000 000 000 000 000 000
Quintilhão
1 000 000 000 000 000 000 000
Sextilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 000
Setilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Octilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Nonilhão
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Decilhão
Atividade
Área
Como medir a área da superfície de
um lago?
Livro: Atividade e jogos com Áreas e
Volumes – Marion Smoothey – Editora
Scipione, 1997
Pode-se dividir a História da Matemática em duas
etapas:
a matemática pré-helênica e
a matemática abstrata, ou matemática propriamente
dita, que é aquela que nasceu com os gregos antigos.
Há milênios os babilônios
possuíam métodos de
completar quadrados e
assim resolviam
problemas que em nossa
linguagem resultariam
em equações
quadráticas.
Euclides (300 aC)
desenvolveu métodos
geométricos de
completar quadrados,
mas não lidava com
equações, e sim com
grandezas geométricas
Os gregos reverteram a questão dos números.
Passaram a considerar “Números” somente os
inteiros positivos, a partir do número 2.
Estudaram as propriedades dos números naturais.
Estudaram as primeiras seqüências infinitas de
números figurados.
A história das sequencias e séries em matemática
mostra as dificuldades em se lidar com a idéia do
infinito, que se tornou um desafio para muitos
matemáticos.
A idéia básica de seqüência está ligada às primeiras
manifestações da humanidade no que se refere
ao conhecimento que hoje é chamado de
matemática. A simples possibilidade de contar ou
de ordenar uma lista de objetos ou eventos já é
uma idéia matemática. Algumas teorias sobre a
origem dos números afirmam que a seqüência
dos numerais ordinais (primeiro, segundo,
terceiro...) teria sido conhecida da humanidade
antes mesmo da seqüência dos numerais
cardinais (um, dois, três...).
A explicação para isso estaria no fato de que os numerais
ordinais estão mais ligados à lógica de uma seqüência
de eventos ordenados temporalmente, de acordo com a
teoria que diz que a matemática surgiu da observação de
padrões e regularidades principalmente em relação à
passagem do tempo. Teria sido crucial, para a
sobrevivência da espécie humana, a possibilidade de
prever a sucessão das estações do ano, de acordo com a
contagem dos dias e a construção dos primeiros
calendários. A observação das regularidades temporais
teria permitido à humanidade desenvolver técnicas de
armazenagem de alimentos para sobreviver no inverno,
por exemplo. Assim, o tema das sequencias numéricas
estaria ligado às sequencias de eventos astronômicos
que, estudados, permitiram à humanidade controlar
melhor seus mantimentos, o que definiu a sobrevivência
da espécie.
Ao que tudo indica, as sequencias numéricas passaram a
interessar a humanidade devido à necessidade de
construção de calendários. Os homens desenvolveram a
matemática necessária para registrar e acompanhar os
ciclos das estações de um ano completo, percebendo
que este ciclo dura aproximadamente 360 dias.
Perceberam que o ciclo lunar dura aproximadamente 28
dias. Dividiram o mês lunar em 4 semanas de 7 dias cada
uma. Depois, percebendo a necessidade de adequar
essas medidas à passagem real do tempo, criaram
calendários mais sofisticados, com dias de festa para
completar o ano em 365 dias, aumentando para isso a
duração de alguns meses. Todo esse estudo das
sequencias temporais ajudou a desenvolver a
matemática.
Além de desenvolver a astronomia, os gregos
antigos passaram a estudar a chamada Teoria
dos Números, identificando as propriedades das
sequencias numéricas. Dividiram os números
em pares e ímpares, percebendo que formavam
sequencias e iniciaram o estudo das chamadas
séries matemáticas, ou seja, a soma dos termos
de uma seqüência. É atribuída aos pitagóricos
(seguidores de Pitágoras de Samos, que viveu
entre 570 e 497 aC) a percepção de diversas
propriedades das sequencias e séries
numéricas. Por exemplo, perceberam que a
soma dos n primeiros números é sempre um
número triangular, como vemos nos seguintes
diagramas:
1
1
3
1+2
6
1+2+3
10
1+2+3+4
15
1+2+3+4+5
Observaram também que a soma dos primeiros n números ímpares é sempre um
número quadrado. Veja:
1
4
9
1
1+3
1+3+5
16
1+3+5+7
Atividade
Mostre que todo número quadrado é a soma de
dois triângulares consecutivos.
Os números quadrados e o teorema de Pitágoras.
1
4
9
1
1+3
1+3+5
16
1+3+5+7
1
4
9
1
1+3
1+3+5
n2 + (2n + 1) = (n+1)2
Se 2n + 1 = m2 ,
então n = (m2 – 1)/2
e n + 1 = (m2 + 1)/2
16
1+3+5+7
n2 + (2n + 1) = (n+1)2
Se 2n + 1 = m2 , então n = (m2 – 1)/2 e n + 1 = (m2 + 1)/2,
isto é, a fórmula acima se escreve como
(m2 – 1)2/4 + m2 = (m2 + 1)2/4
m
(m2 – 1)/2
(m2 + 1)/2
3
4
5
O quadrado da soma: uma relação
conhecida há muitos milênios
a2 + b2 + 2ab = (a+b)2
Álgebra Geométrica
• Típica da Grécia Antiga
• Assunto do Livro II de Os Elementos de
Euclides
• Um número é representado por um
segmento de reta
Álgebra Geométrica
Livro II de Os Elementos de Euclides
Fragmento da Proposição 5
(300 aC)
ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4
Fragmento da Proposição 5: ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4
ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4
Fórmula de Bháskara
Nome dado no Brasil à fórmula da equação do 2º grau em
homenagem a
Bháskara (ou Bháskara II ou Bhaskaracharya – Bháskara o
Professor)
Astrônomo hindu que viveu entre 1114 e 1185.
Chefe do observatório astronômico de Ujjain, na Índia, local onde
já tinham trabalhado os astrônomos e matemáticos
Varahamihira (505 - 587) e
Brahmagupta (598 - 670).
Bháskara I (c. 600 - c. 680)
Primeiro a escrever no sistema decimal
indo-arábico usando um círculo para o zero.
Fórmula de Bháskara: vem da relação entre quadrados
Fórmula de Bháskara: uma aplicação de quadrados perfeitos
Atividade
Proporções entre os planetas
Terra
Vênus
Marte
Mercúrio
Plutão
Júpiter
Saturno
Urano
Netuno
Terra
Plutão
Sol
Terra
Júpiter
Plutão
Sol
Júpiter tem a proporção de 1 pixel
Nessa escala a terra é invisível
Sol (1 pixel)
Nessa escala Júpiter é invisível
Antares é a 15ª estrela mais brilhante no céu. E está há mais de 1000 anos-luz de distância.