aula 03


Mecânica Quântica: A equação de Schrödinger

A nova mecânica deveria ter uma formulação compatível com os
fatos:
1) quantização da radiação emitida por um corpo negro
2) a quantização do átomo de Bohr
3) dualidade onda-partícula tanto para a luz quanto para o elétron
4) princípio da incerteza de Heizenberg
A primeira formulação para esta nova
teoria foi proposta pelo físico austríaco
Erwin Schrödinger em 1926.

De acordo com Schrödinger devido a dualidade
onda-partícula da matéria, mesmo que uma partícula
se mova em uma trajetória definida ela estará distribuída
em todo o espaço como uma onda.


Neste sentido, uma onda na mecânica quântica equivaleria ao
conceito de trajetória na mecânica clássica e seria representada
por uma função denominada função de onda, y (psi).

Na mecânica de oscilações um movimento ondulatório é
descrito por:
d 2 y ( x)
2
 k y ( x)  0
2
dx

Onde é o número de onda:
k
2

• Substituindo y(x) pela função de onda y(x) temos:
d 
2

k
0
2
dx
2
2
2p p
k



h

p
h

h

2
2
p
E
2m
p  2mE
k
2mE

d 2  ( x) 2mE
 2  ( x)  0
2
dx

 2 d 2  ( x)

 E ( x)
2
2m dx
Esta é a equação de Schrödinger estacionária para partículas livres
não relativísticas de massa m e energia E

Se a partícula está sujeita a ação de um campo de forças, associado a
uma energia potencial V(x) temos:
p2
E
 V ( x)
2m
 2 d 2  ( x)

 V ( x) ( x)  E ( x)
2
2m dx
Esta é a equação de Schrödinger para estados estacionários de
energia E na presença de energia potencial V(x).

Não basta formular uma equação de ondas. E preciso saber
interpretá-la:
1) A que corresponde a amplitude e a intensidade da onda?
2) Qual a relação entre a onda e a partícula a ela associada?
3) As soluções da equação são fisicamente aceitáveis?

O problema consiste em associar novos conceitos físicos
relacionados a mecânica da escala atômica.

Sendo o potencial constante uma possível solução para a equação
de Schrödinger, a qual pode ser obtida por métodos de resolução
de equações diferenciais, é da forma:
 ( x)  e
ikx
 cos(kx)  i sin( kx)
onde i é um número complexo imaginário.



A solução da equação de Schrödinger é portanto, uma função de
onda complexa.
Como y é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter
significado físico e, portanto não pode ser medida em laboratório.
Apenas as grandezas ou observáveis reais têm significado físico e
podem ser medidas em laboratório.



Max Born foi o primeiro a dar uma
interpretação, não a função de onda em si
mas ao seu quadrado.
O módulo da função de onda ao quadrado y2
é uma grandeza não complexa, portanto ele
deve ter significado físico.
De acordo com Max Born, para movimentos
em uma única dimensão x, ele é uma
probabilidade por unidade x isto é: é a
probabilidade de que se encontre a partícula
em uma posição entre x e x + dx.

A mecânica quântica não é determinística, mas probabilística. Ela
nos força a abandonar a noção de trajetórias precisamente definidas
das partículas no tempo e no espaço.

Devemos falar em termos de probabilidades como alternativa a
configurações do sistema.

Esta interpretação de  fornece uma conexão estatística entre a
partícula e onda a ela associada; ela nos diz onde a partícula
provavelmente estará e não onde de fato está.

Para uma dada carga nuclear, à medida que o número quântico
principal aumenta, as regiões de alta densidade eletrônica se estendem
cada vez mais além do núcleo. Pela mecânica quântica, encontramos
que o valor médio do raio é dado por:

Orbitais do tipo s

O orbital com n = 1, l = 0, m = 0 representa o estado
fundamental ou de mais baixa energia o qual é descrito pela
função de onda:

Como este orbital depende apenas da coordenada r então, ele é
um orbital esfericamente simétrico.

São mostradas duas alternativas de representar a nuvem
eletrônica de um orbital s:
Probabilidade de encontrar o elétron
(representada pela densidade de
pontos) diminui à medida que nos
afastamos do núcleo.
Representa o volume esférico no
qual o elétron passa a maior parte
do tempo.

Orbital tipo p

A forma geométrica dos orbitais p é a de duas esferas achatadas
até o ponto de contato (o núcleo atômico ) e orientadas segundo
os eixos de coordenadas.

Molécula de C2H2

Partículas Fundamentais

A matéria que compõe todas as coisas no universo é na verdade
um conglomerado de alguns blocos fundamentais de construção
da natureza.

"fundamental" é a palavra chave

Os blocos fundamentais de construção são objetos que são
simples e sem estrutura - não são constituídos por nada
menor.

O Núcleo é Fundamental?

Por parecer pequeno, sólido e denso, os pensou-se originalmente
que o núcleo era fundamental.

Mais tarde, descobriram que ele era feito de prótons (p), que são
carregados positivamente, e nêutrons (n), que não têm carga.

Os prótons e os nêutrons são fundamentais?

Não!! Prótons e nêutrons são compostos de partículas ainda
menores, chamadas quarks.

Até onde sabe-se, os quarks são como os pontos na geometria.
Eles não são compostos de nada mais.
Atualmente, suspeita-se que os
quarks e o elétron são
fundamentais.

Modelo atômico moderno.

Os elétrons estão em constante movimento em torno do núcleo;
os prótons e os nêutrons vibram dentro do núcleo e os quarks
vibram dentro dos prótons e nêutrons.

A Escala do Átomo

A figura anterior está bastante distorcida. Para
desenhar o átomo em escala com prótons e
nêutrons com um centímetro de diâmetro, então
os elétrons e quarks deveriam ter um diâmetro
menor do que o de um fio de cabelo e o
diâmetro do átomo inteiro deveria ser maior que
o comprimento de trinta campos de futebol!

99,999999999999% do volume de um átomo é
apenas espaço vazio!

O núcleo é dez mil vezes menor que o átomo, e
os quarks e elétrons são pelo menos dez vezes
menores que eles.

Não sabe-se exatamente quão menores os
quarks e elétrons são; eles são definitivamente
menores que 10-18 metros.

O Modelo Padrão
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A teoria chamada Modelo Padrão, explica o que é o mundo e o que
o mantém unido.
É uma teoria simples e compreensível que explica todas as centenas
de partículas e interações complexas com apenas:





6 quarks.
6 léptons. O lépton mais conhecido é o elétron.
Partículas transportadoras de força, como o fóton.
Todas as partículas de matéria conhecidas são compostas de quarks
e léptons, e elas interagem trocando partículas transportadoras de
força.

Quarks e Léptons

Tudo ao nosso redor, desde galáxias até montanhas e moléculas,
são feitas de quarks e léptons.

Quarks comportam-se diferentemente dos léptons, e para cada
tipo de partícula de matéria há uma partícula de antimatéria
correspondente.

Matéria e Antimatéria

Para cada tipo de partícula de matéria que nós
encontramos, existe uma partícula correspondente
de antimatéria ou uma antipartícula.

As antipartículas são iguais as suas correspondentes
partículas de matéria, exceto pelo fato de terem
cargas opostas.

Por exemplo, um próton é eletricamente positivo, ao
passo que um antipróton é eletricamente negativo.
A gravidade afeta a matéria e a antimatéria do
mesmo modo. Uma partícula de matéria tem
também a mesma massa de uma antipartícula.

Quando uma partícula de matéria e uma partícula
de antimatéria se encontram, elas se aniquilam em
energia!

Se a antimatéria e a matéria são exatamente iguais, mas opostas,
então por que há muito mais matéria do que antimatéria no
universo?
Mas podemos comprovar a existência de
antimatéria nesta foto de uma câmara de
bolhas.
O campo magnético nessa câmara faz com
que as partículas negativas se curvem para
a esquerda e as partículas positivas se
curvem para a direita. Muitos pares elétronpósitron aparecem nessa foto

Quarks

Quarks são um tipo de partícula de matéria. A maior parte da
matéria que vemos em nossa volta é feita de prótons e nêutrons,
os quais são compostos de quarks.

Existem seis quarks, mas os físicos usualmente falam em
termos de três pares:

up/down
charmoso/estranho
top/bottom.


(para cada um desses quarks, existe um antiquark correspondente.)

Os quarks têm a característica não usual de possuírem uma carga
elétrica fracionária, diferente da do próton e do elétron, que têm
cargas inteiras de +1 e -1, respectivamente.
O quark mais difícil de ser
encontrado, o quark top, foi
descoberto em 1995 depois
de ter sido previsto teoricamente
por 20 anos.


Hádrons, Bárions, Mésons

Os quarks existem somente em grupos. Partículas compostas por
quarks são denominadas:
HÁDRONS

Embora os quarks individuais tenham cargas elétricas
fracionárias, eles se combinam de tal maneira que os hádrons
possuem cargas elétricas inteiras.

Existem duas classes de hádrons:
HÁDRONS
BÁRIONS
MÉSONS
São hádrons compostos por
três quarks (qqq)
São hádrons compostos por
um quark (q) e um antiquark ( )
Como os prótons são
constituídos por dois quarks up
e um quark down (uud), E
assim também são os nêutrons
(udd).
Um exemplo de méson é o píon,
que é composto por um quark
up e um antiquark down.
• Como os mésons são constituídos por uma
partícula e uma antipartícula, eles são
bastante instáveis.
• Outra curiosidade sobre os hádrons é que somente uma
pequeníssima parte da massa de um hádron é devida à existência
de quarks nele.
• A maior parte da massa que nós observamos num hádron vem
de sua energia cinética e potencial. Essas energias são convertidas
na massa do hádron como é descrito por E = mc2

Léptons

Existem seis tipos de léptons, três dos quais possuem carga
elétrica e três que não.

Eles parecem ser partículas puntiformes sem estrutura interna.

O lépton mais conhecido é o elétron. Os outros dois léptons são
o múon e o tau, que são carregados como os elétrons, mas têm
muito mais massa. (tau 3000x)

Os outros léptons são os três tipos de neutrinos. Eles não
possuem carga, têm massa muito pequena e são difíceis de serem
detectados.

Os quarks são sociáveis e existem apenas em partículas
compostas com outros quarks, ao passo que os léptons são
partículas solitárias.

Neutrinos

Neutrinos são léptons que não possuem carga forte ou elétrica
quase nunca interagem com quaisquer outras partículas.
A maioria dos neutrinos passa direto através da Terra sem
interagir com um único átomo dela.


Uma vez que os neutrinos foram produzidos em grande abundância
no início do universo e raramente interagem com a matéria; então,
existem muitos deles no Universo. A pequeníssima massa, mas o
grande número, deve contribuir para a massa total do Universo e afetar
sua expansão.

A Geração de Matéria
Toda matéria visível no universo é feita
da primeira geração de partículas de matéria
quarks up, quarks down e elétrons.
Isso porque todas as partículas da segunda e
terceira gerações de partículas são instáveis
e decaem, tornando-se partículas de primeira
geração, a única geração estável.


Se as gerações acima da primeira decaem rapidamente, são raramente
observadas e não compõem nenhuma matéria estável ao nosso redor,
então por que elas existem?

As Quatro Interações ou O que mantém o universo unido?

O universo que conhecemos existe porque as partículas
fundamentais interagem.
Existem quatro interações fundamentais entre as partículas, e
todas as forças podem ser atribuídas a essas quatro
interações!


Como a Matéria Interage?
Como dois ímãs "sentem" a presença um do
outro e se atraem ou se repelem de acordo com
a situação? Como o Sol atrai a Terra?


O que são as forças de "magnetismo" e "gravidade"????

Em um nível fundamental, a força não é apenas algo que
acontece para as partículas. "É uma coisa que é trocada entre
duas partículas".

Descobriu-se que todas as interações que afetam as partículas da
matéria são devidas a uma troca de partículas transportadoras
de força, um tipo completamente diferente de partícula.

Essas partículas são como bolas de basquete atiradas entre as
partículas da matéria (que são como jogadores de basquete).

O que nós pensamos normalmente como "forças" são, na
verdade, os efeitos das partículas transportadoras de força sobre
as partículas da matéria.

Diferentes interações, suas partículas transportadoras de força e
em que partículas elas atuam:

Além do Modelo Padrão

O Modelo Padrão responde a muitas das perguntas sobre a estrutura e
a estabilidade da matéria com seus seis tipos de quarks, seis tipos de
léptons, e quatro forças. Mas ainda existem muitas perguntas sem
resposta.
Por que vemos mais matéria do que antimatéria se deveríamos ter
simetria (igualdade) entre as duas no Universo?
Os quarks e léptons são realmente fundamentais, ou são constituídos
de partículas mais fundamentais?
Como a gravidade se encaixa em tudo isso?
Em nosso cotidiano, observamos apenas a primeira geração de
partículas (elétrons, neutrinos e- e quarks up/down). Por que a
natureza "precisa" das outras duas gerações?
O que é toda esta matéria extra no universo que não podemos explicar
usando métodos normais?
Por que o Modelo Padrão não pode prever a massa de uma partícula?
(O Modelo Padrão não consegue explicar por quê algumas partículas
são do jeito que são )
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Referências:

http://www.cepa.if.usp.br/aventuradasparticulas/index.html

Como ensinar?
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Textos


Sobre Discreto Charme das Partículas Elementares
Um pôster para ensinar física de partículas na escola
Cidade do Átomo: Debate escolar sobre energia nuclear

Dissertação

A Realidade escondida a dualidade onda-partícula para
estudantes do Ensino Médio


Sobre Discreto Charme das Partículas Elementares

Um pôster para ensinar física de partículas na escola

Cidade do Átomo: Debate escolar sobre energia nuclear

Dissertação

A Realidade escondida a dualidade ondapartícula para estudantes do Ensino Médio

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