Slide 1 - Instituto de Física / UFRJ

Mecânica Quântica: Função de Onda

Partícula: meio partícula…meio onda…
Teorema de Fourier: representar a partícula como
uma superposição de muitas ondas.
Somando quantidades
variáveis de um infinito
número de ondas
Função de onda
do elétron

Expressão senoidal
para harmônicos
( x,0)   a(k )e dk
ikx

Amplitude da onda com
número de onda k=2p/l
Função de Onda
Grande número de eventos:
Comportamento estatístico
Probabilidade de
encontrar um elétron
entre x and x+dx
b
(x,t)
2
dx
P   ( x, t ) dx
2
a
Assumindo que a partícula exista, em qualquer instante ela se
encontra em algum lugar:
Procurando
bem…



( x, t ) dx  1
2
Você vai encontrar
sua partícula uma
única vez
Função de Onda

Função clássica típica para uma partícula
que se propaga na direção +x:
 ( x, t )  A sin( kx  t )

Analogamente, para a partícula que se
propaga na direção –x:
 ( x, t )  A sin( kx  t )

Sabemos ainda que se 1 e 2 são ambas
permitidas, 1 + 2 também será (Princípio
da superposição)
1 ( x, t )  2 ( x, t )
 A1 sin(kx  t )  A2 sin(kx  t )
 2 sin kxcost
partícula desaparece para múltiplos inteiros
de p/2, 2p/3, etc.
Função de Onda

Considere outra função clássica típica
 ( x, t )  A cos( kx  t )

Trocando k  -k e   -:
 ( x, t )  A cos{(kx  t )}  A cos( kx  t )
f
f
x
Função de Onda
( x, t )  Aei ( kx t )  A{cos( kx  t )  i sin( kx  t )}
Equação de Euler
e if  cosf  i sin f
e if  cosf  i sin f

Representação gráfica de um
número complexo z como um ponto
no plano complexo.
 As componentes horizontal e vertical
representam as partes real e
imaginária respectivamente.
Função de Onda

Partícula: meio partícula…meio onda…
d 2

 U  E
2
2m dx
2
A partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que:




Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula
É uma função complexa
É unívoca, finita e contínua
Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas
Função de Onda: Probabilidades
(Max Born 1926 - Nobel 1954)
Se, no instante t, é feita uma medida da localização da
partícula associada à função de onda (x,t), então a
probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada
entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.
Densidade de probabilid ade : P( x, t )   * ( x, t ) ( x, t )

Normalizaç ão :   * ( x, t ) ( x, t )dx  1
-
Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade…
“Deus não
joga dados
com o
universo”
(A. Einstein)
“Einstein, pare
de dizer a Deus
o que fazer”
(Niels Bohr)
Função de Onda: Probabilidades
(Max Born 1926 - Nobel 1954)
A Equação de Schrödinger (Nobel 1933)
 2  2  ( x, t )
 ( x, t )

 V ( x, t ) ( x, t )  i
2
2m
x
t
V(x,t): energia potencial e, se V(x) 
( x, t )   ( x)eit
Eq. Schrödinger independente do tempo:
 2  2 ( x)

 V ( x) ( x)  E ( x)
2
2m x
Em 3D :



2 2 
 (r , t )

  (r , t )  V (r , t ) (r , t )  i
;
2m
t
2
2
2
2
Laplaciano :   2  2  2
x
y
z
Exemplo: partícula livre (V=0)
Relação de
dispersão  (k)
 2  2  ( x, t )
 ( x, t )


i


2m x 2
t
Separação de variáveis :  ( x, t )   ( x)f (t )
  ck
2
2
(fotons)
  [ ( x)f (t )]
[ ( x)f (t )]

 i
2
2m
t
x
1   2 d 2  1  df 
 i
E


2 
  2m dx  f  dt 
df
df
iE
i
 Ef 
  f  f (t )  e iEt   e it ( E   )
dt
dt

 2 d 2
d 2
2mE


E





2
2
2
2m dx
dx

d 2
 2k 2
 ikx
2
Solução : ( x)  e

 k   E 
2
2m
dx
Solução geral :  ( x, t )  Ae i ( kx t )  Be i ( kx t )
k 2

2m
(eletrons)
k
Observável: valor esperado

Valor esperado: resultado que se espera encontrar para a média de
muitas medidas de uma certa quantidade.

Observável: qualquer quantidade mensurável para a qual podemos
calcular o valor esperado (posição, momento, energia…)

Valor esperado de um observável: REAL

Valor médio de uma variável discreta x:
3
3
4
4
Observável: valor esperado

Variável discreta  variável
contínua
 Probabilidade P(x,t) de observar a
partícula em um certo valor de x

Função de onda  valor esperado
de x: < x >

Valor esperado de uma função
qualquer g(x) para uma função de
onda normalizada: < g >
Valor esperado e Operadores

Valor esperado do momento: necessário representar o momento p como
função de x e t. Considere a derivada da função de onda de uma partícula
livre (V=0) com respeito à x:
k

Logo:
p

Podemos associar ao
momento um operador:

Valor esperado de p:
Valor esperado e Operadores: Posição e Energia

A posiçao x é seu próprio operador.
 Considere a derivada temporal da função de onda de uma partícula livre:
E  h  h

Logo:

Podemos associar à energia um operador:

Valor esperado de E :

2p
Operadores
A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera
na função de onda.
Energia cinética + potencial =
energia cinética
o potencial
energia total
p2
KE 
;
2m
p  k
 2  2  ( x, t )
 ( x, t )


V
(
x
)

(
x
,
t
)

i

2m
t
x 2
posição
x
momento
p
energia potencial
V
V(x)
energia cinética
K
2 2

2m x 2
energia total
E
x
 
i x

i
t
operador
observável

Operadores, autofunção e autovalor
Operador momento linear pop :

x
O que acontece quando operamos pop na funcao de onda da particula livre?
pop  i
pop  ( x, t )  i





 i ( kx t )
e
 k ei ( kx t )  k ( x, t )  p ( x, t )
x
Quando aplicamos um operador a  e obtemos de volta a própria 
multiplicada por uma constante, diz-se que  é uma autofunção
do operador, com autovalor igual à constante obtida.
Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física associada tem
valor bem definido, com incerteza nula.
Assim, a  da partícula livre é uma autofunção do operador
momento, com autovalor ħk.
Operadores, autofunção e autovalor
Operador energia Eop :

Eop  i
t
O que acontece quando operamos Eop na função de onda da partícula livre?
 i ( kx t )
Eop  ( x, t )  i e
  e i ( kx t )   ( x, t )  E ( x, t )
t


Operador energia cinética Top :
 
 

  i   i 
pop pop 
2 2
x 
x 
Top 


2m
2m
2m x 2
A  da partícula livre
também é uma
autofunção do operador
energia, com autovalor
ħ.
Operador posição xop  x
Note que a  da partícula livre não é uma autofunção da posição :
x  xei ( kx t )  C
Operadores e a Eq. Schrödinger
expressão
para energia
cinética
p2
KE 
2m
;
p  k
o potencial
Energia cinética +
potencial = energia total
 2  2  ( x, t )
 ( x, t )


V
(
x
)

(
x
,
t
)

i

2m
t
x 2
Top  Vop   Eop 
H  Eop  (operador Hamiltonia no)
 2  2 ( x)

 V ( x) ( x)  E ( x)
2
2m x
Eq. Schrödinger independente de t
H  E  Equação de autovalores
Solução permite encontrar os autovalores da energia
Partícula Livre
2
k2

2m

xp x 

2
E
Momento bem determinado:
posição desconhecida
 2k 2
E
2m
k

Qualquer energia positiva é permitida
(E varia de forma contínua)
Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito
V


Região
proibida
Região
proibida
Potencial :
0
L
0, 0  x  L
V ( x)  
, x  L ou x  0
x
Em x  L ou x  0 (região proibida) :  ( x)  0
Em 0  x  L, temos V ( x)  0 :
 2 d 2
Eq. Schroedinger : 
 E (como a partícula livre)
2
2m dx
 2k 2
ikx
ikx
Solução :  ( x)  Ae  Be ; E 
2m
n : número quântico
Poço de potencial infinito
n=4
Função de onda deve ser contínua em x  0 e x  L
CONDIÇÃO DE CONTORNO : (0)   ( L)  0
n=3
Em x  0 :  (0)  A  B  0  A   B


 ( x)  A e ikx  e ikx  Asenkx
n=2
(a menos de uma constante...)
Em x  L :  ( L)  AsenkL  0  kL  np (n  1,2,3...)
Região
proibida
Funções de onda :  n ( x)  An senk n x
V
E3

Região
proibida
 2 k n2 p 2  2 n 2
np
kn 
 En 

L
2m
2mL2
(energia quantizada)
n=1
E2
E1
0
L
x
Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito

Condições de contorno: =0 para x = 0 e x = L.
Soluções válidas para kL = nπ onde n=inteiro.

Função de onda:

Normalizando:

Idênticas à corda vibrante com extremos fixos.

Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito

Número de onda quantizado:

Resolvendo para a Energia:
 Energia depende dos valores de n;
 Energias quantizadas e não nulas
 Energia do estado fundamental:n = 1

Probabilidade de
observar a partícula
entre x e x+x em
cada estado :
Barreira de Potencial
V

Região
proibida
Região
proibida
0
L
x
P = 100 %
P < 100 %
Barreira
100% - P
Potencial degrau
V
V0
E < V0
E
1
2
x
0
Região 1 - elétron livre :
Região 2 - Eq. Schrödinger :
 1 ( x)  Ae ikx  Be ikx
 2 d 2

 V0  E 
2
2m dx
d 2 2mV0  E 

 , V0  E   0
2
2
dx

Solução : 2 ( x)  Cex  De x ,
(incidente  refletida)
 2k 2
E
k
2m
2mE

onde  
2mV0  E 

Encontrar B, C e D em termos de A

Função de onda e suas derivadas:
 Finitas
 Contínuas
 1 ( x)  Ae ikx  Be ikx , x  0
 2 ( x)  Cex  De x , x  0
Função de onda não pode divergir :
C0
Deve ser contínua em x  0 :
A  B  D (1)
Deve ter derivadas contínuas em x  0 :
d 1
dx

x 0
d 2
dx
ikA  ikB  D

x 0
(2)
Combinando (1) e (2), obtemos :
ik  
ik ( A  B)   ( A  B)  B 
A
ik  
ik  
2ik
A
ADD
A
ik  
ik  
Barreira de potencial e Efeito Túnel
 (x)
V
V0
e  x
x
0
incidente
 (x)
refletido
V
transmitido
0
Existe uma probabilidade
de encontrar o elétron na
região classicamente
proibida
a
x
Simulações:
http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html
Se a barreira for
suficientemente pequena
(largura a) o elétron
poderá ser transmitido
(tunelar) com uma certa
probabilidade: EFEITO
TÚNEL
Ptrans   2 (a)  e  2a
2
Barreira e Tunelamento:

Partícula com energia E incide sobre uma barreira de potencial Vo

E > V0

Regiões I e III:

Região II:
Barreira e Tunelamento:
Onda incidente, refletida e transmitida:
 Eq. Schrödinger nas 3 regiões:


Soluções:

Onda se move para a direita:
Probabilidades de Reflexão e Transmissão

Probabilidade de reflexão R ou transmissão T :

R + T = 1.
 Aplicando

condições de contorno: x → ±∞, x = 0 e x = L
T pode ser = 1.
Tunelamento

E < V0

Classicamente a partícula não
possui energia para vence a
barreira

Existe probabilidade finita da partícula penetrar na
barreira e aparecer do outro lado!

Probabilidade de transmissão descreve o
fenômeno de tunelamento
Função de onda no Tunelamento