Slide 1 - seja bem

Prof. Cesário
6 – ESPAÇO PERCORRIDO E DESLOCAMENTO
Instante
(t) em s
Velocidade
(m/s)
0
36
1
15
36
2
0
24
3
-9
4
-12
5
-9
6
0
7
15
8
36
A tabela ao lado mostra o registro das
das velocidades de um corpo.
O gráfico v = f(t) desse movimento tem a forma:
v(m/s)
12
0
-12
-24
1
2
3
4
5
6
7
8
t(s)
-36
A equação da velocidade em função do tempo é: v = 3t2 – 24t + 36.
Calculando as integrais nos intervalos 0 a 2 s, 2s a 6 s e 6s a 8 s, temos:
 (3t
0
2
2
O deslocamento foi de 32 m.
= 32
Porém:
0
no intervalo 0 a 2 s, o móvel percorreu
32 m no sentido positivo do eixo das
6
6
posições pois, a velocidade era
(3t2 – 24t + 36)dt = t3 – 12t2 + 36t = - 32 positiva;
2
no intervalo 2 a 6 s, o móvel percorreu
2
32 m no sentido negativo do eixo das
8
posições pois, a velocidade era
8
 (3t2 – 24t + 36)dt = t3 – 12t2 + 36t
= 32 negativa; e
no intervalo 6 a 8 s, o móvel percorreu
6
6
32 m no sentido positivo do eixo das
posições pois, a velocidade voltou a
8
8
 (3t2 – 24t + 36)dt = t3 – 12t2 + 36t
ser positiva.
2–
24t + 36)dt = t3 – 12t2 + 36t

0
= 32
0
Isto significa que a distância realmente
percorrida foi de 32 + 32 + 32 = 96 m.
Do exposto pode-se concluir que:
se v(t) tem raízes t2, t3, ... tn-1 no intervalo t1 a tn, para o calculo
t
n

do deslocamento faz-se
v(t)dt
t1
da distância efetivamente percorrida faz-se
t
 2 v(t)dt
t1
tn
t3
+

t2
v(t)dt + . . . . . . +
 v(t)dt
tn-1
onde t2, t3, .... tn são as raízes de v(t) = 0.
As barras indicam que se deve considerar os módulos
(valores absolutos) das integrais definidas.
7 - ACELERAÇÃO
início
Observe as posições inicial e final do ponteiro
do velocímetro bem como a marcação no
relógio.
fim Início: v = 20 km/h e t = 15 h 22 min 10 s
Final: v = 190 km/h e t = 15 h 22 min 26 s.
No intervalo de tempo t = 16 s a velocidade
variou de 170 km/h.
Tivemos então uma variação de 170/10 = 17 km/h em cada segundo.
Esta variação da velocidade em uma unidade de tempo é denominada
aceleração.
Como foi visto anteriormente, a aceleração tem unidades:
(a) km/h em cada segundo, que se escreve km/h-s
(b) m/s em cada segundo, que se escreve m/s-s ou m/s2.
Responda: o que significa quando se diz que um corpo em queda livre
(sem resistência do ar) tem aceleração de 9,8 m/s2?
NÃO LEIA A PRÓXIMA INFORMAÇÃO SEM ANTES RESPONDER
Resposta – significa que à medida que o corpo cai, a velocidade aumenta
de 9,8 m/s em cada segundo.
Expressando a aceleração matematicamente tem-se:
v
Aceleração média: a =
t
Aceleração instantânea:
a = lim
t
Vejamos alguns exemplos:
0
v
t
=
dv
dt
Exemplo 1 – Um automóvel modifica sua velocidade de 10 km/h para
100 km/h num intervalo de tempo de 10 segundos.
Qual é sua aceleração?
Solução: a = v/t = (100 – 10)/10 = 9 km/h-s
Exemplo 2 – Um ônibus com velocidade de 72 km/h leva 5 segundos para
para em uma freada brusca. Qual é, em m/s2, sua aceleração?
Solução: como se quer a aceleração em m/s2, a velocidade
deverá ser expressa em m/s.
72 km/h = 72 : 3,6 = 20 m/s
a = v/t = (0 – 20)/5 = - 4 m/s2.
Exemplo 3 – Uma nave para viagens interplanetárias deve atingir a velocidade
de 11 km/s = 39600 km/h para que possa se livrar a ação gravitacional da
Terra. Ela é impulsionada por um foguete. Supondo que a aceleração da nave
seja cerca de 7 vezes a aceleração da gravidade (9,8 m/s2), quanto tempo
leva a nave para atingir a velocidade de 39.600 km/h?
Solução: 39.600 : 3,6 = 11000 m/s (convertendo em m/s) – velocidade final
O foguete parte do repouso, a velocidade no início é zero.
a = 7g = 7 x 9,8 = 68,6 m/s2.
a = v/t
68,6 = (11000 – 0)/ t
t = 11000/69,6 = 158 s = 2 min 38 s.
8 – O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Um movimento é dito uniformemente variado quando a aceleração
é constante.
Sejam então: a – aceleração
v0 – a velocidade no instante t = 0 (velocidade inicial)
v – a velocidade no instante t
x0 – a posição no instante t = 0
x – a posição no instante t
De a = dv/dt tira-se:
t
t
t
t

 dv = adt  v
= at


0
0
0
0
 v – v0 = at 
v = v0 + at
De v = dx/dt tira-se
t
t
t



dx =
vdt =  (v0 + at)dt


0
0
0
t
t
 x
x – x0 = v0t + (1/2)at2
ou
0
= v0t + (1/2)at2
0
x = x0 + v0t + (1/2)at2
As equações v = v0 + at e x = x0 + v0t + (1/2)at2 são denominadas
equações horárias da velocidade e da posição em um movimento
uniformemente variado.
9 – OUTRAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Façamos x – x0 = x
Temos então as equações:
v = v0 + at (I) e x = v0t + (1/2)at2 (II)
Substituindo o valor de v0 da equação (I) na equação (II) resulta:
x = vt - (1/2)at2 (III)
Substituindo o valor de a da equação (I) na equação (II) resulta:
x = (v + v0).t/2 (IV)
Substituindo o valor de t da equação (I) na equação (II) resulta:
v = v02 + 2.a. x
(V)
Cada uma das equações apresentam 4 variáveis. Para resolver qualquer
problema devemos ter 3 valores dados e um pedido.
Estes 4 elementos identificam a equação a ser usada.
EXERCÍCIOS
01 – Uma esfera apresenta um movimento cuja aceleração varia com o tempo
segundo a equação:
a = 6t2 + 4t + 12, t em segundos e a em m/s2. Se no instante t = 0 a velocidade
é 20 m/s e a posição é x = 100 m, determine:
a) a equação da velocidade;
b) a equação da posição;
c) a velocidade no instante t = 5 segundos;
d) a posição no instante t = 5 segundos;
e) o deslocamento entre t = 2 e t = 5 segundos.
02 – Um movimento harmônico simples pode ser descrito pela equação
x = A.cos (2t/T) onde T é o período, A é a amplitude e x a posição
O período é o tempo gasto para que
o bloco percorra 4 amplitudes.
Considere que, na figura A = 40 cm,
T = 4 segundos e que no instante t = 0,
o bloco passe pela posição de equilíbrio
em movimento para a direita.
a) escreva as equações da velocidade e da aceleração em função do tempo;
b) qual a velocidade no instante t = 1/3 s?
c) quais são as velocidades nos instantes t = 1 e t = 3 segundos?
d) qual é a aceleração no instante t = 7/3 s?
3 - Um caminhão passa às 7 h pelo km 50 e às 12 h do mesmo dia pelo km
350.
a) Qual foi a velocidade escalar média desse caminhão nesse percurso ?
b) Sabendo-se que o limite de velocidade nessa estrada é 80 km/h, é possível
garantir-se que em nenhum momento essa velocidade foi ultrapassada ?
4 - Em uma avenida de uma cidade, existem semáforos regularmente espaçados
a cada 500 m.
Se em todos os semáforos a luz vermelha (sinal de parada) permanece acesa
durante 40 s, qual deve ser a velocidade média, em km/h, para que um carro
não pare nos semáforos dessa avenida?
5 - Dois móveis A e B movimentam-se ao longo do eixo x, obedecendo às equações
móvel A: xA = 100 + 5,0t e móvel B: xB = 5,0t2, onde xA e xB são medidos em m
e t em s. Pode-se afirmar que:
a) A e B possuem a mesma velocidade;
b) A e B possuem a mesma aceleração;
c) o movimento de B é uniforme e o de A é acelerado;
d) entre t = 0 e t = 2,0s ambos percorrem a mesma distância;
e) a aceleração de A é nula e a de B tem intensidade igual a 10 m/s2.
6 - Um móvel parte do repouso com aceleração constante de intensidade igual
a 2,0 m/s2 em uma trajetória retilínea. Após 20s, começa a frear uniformemente
até parar a 500m do ponto de partida. Em valor absoluto, qual foi a aceleração
de freada?
7 - Uma motocicleta pode manter uma aceleração constante de intensidade 10
m/s2. Qual é a velocidade inicial de um motociclista, com esta motocicleta, que
deseja percorrer uma distância de 500m, em linha reta, chegando ao final desta
com uma velocidade de intensidade 100 m/s?
8 - Um ponto material parte do repouso em movimento uniformemente variado e,
após percorrer 12 m, está animado de uma velocidade escalar de 6,0 m/s. A
aceleração escalar do ponto material, em m/s vale: