Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 1 3.5 Interpretações práticas dos resultados • Após terminar o experimento, realizar a análise estatística e investigar as suposições subjacentes, o experimentador está pronto para inferir conclusões práticas sobre o experimento que está conduzindo. • Em geral isso é relativamente fácil, e certamente, nos experimentos simples que consideramos até aqui, isto pode ser de algum modo informal, talvez pela inspeção de dispositivos gráficos tais como diagramas de dispersão e boxplot . • Porém, em alguns casos técnicas mais formais precisam ser incorporadas. • Apresentaremos aqui algumas dessas técnicas. 3.5.1 Um modelo de regressão • Os fatores envolvidos no experimento podem ser qualitativos ou quantitativos. • Até aqui ambos foram tratados da mesma forma. • De fato, a ANOVA trata o fator como uma variável categórica. • Se o fator é uma variável quantitativa, em geral é de interesse todo o campo de variação dos valores. • Por exemplo se os níveis potência 160, 180, 200 e 220 foram usados, pode-se estar interessado em obter uma resposta para um nível intermediário de 190W, por meio de alguma equação de interpolação. Essa equação representa um modelo empírico do processo que foi estudado. • A abordagem comum para ajustar modelos empíricos é chamada Análise de Regressão. • No caso do exemplo em questão, podemos propor, olhando diagrama de dispersão das taxas de gravação vs níveis de potência, um modelo linear e um quadrático. Modelos ajustados y 0 1 x y 0 1 x x 2 yˆ 137,62 2,527 x yˆ 1147,77 8,2555 x 0,028375 x 2 • Em geral, o melhor modelo é o mais simples de modo que se vamos usar uma função polinomial, aquela que parece se ajustar bem aos dados e tem menor grau possível deve ser escolhida. • Nesse exemplo o modelo quadrático parece se ajustar melhor aos dados do que o linear de tal modo que a complexidade adicional do modelo quadrático deve ser considerada. • Selecionar a ordem da aproximação polinomial nem sempre é fácil. • A inclusão de termos de maior ordem que de fato não melhoram o ajuste e aumentam a complexidade do modelo prejudica a utilidade do modelo empírico como equação preditora. • Nesse exemplo, o modelo empírico poderia ser usado para prever a taxa de gravação para valores de potência dentro da região de experimentação, isto e, entre 160 e 220 watts. • Em outros casos, o modelo empírico poderia ser usado para processos de otimização, isto é, obter níveis de variáveis de planejamento que resultam nos melhores valores da resposta. Post-ANOVA Comparison of Means • The analysis of variance tests the hypothesis of equal treatment means • Assume that residual analysis is satisfactory • If that hypothesis is rejected, we don’t know which specific means are different • Determining which specific means differ following an ANOVA is called the multiple comparisons problem • There are lots of ways to do this…see text, Section 3.5, pg. 84 • We will use pairwise t-tests on means…sometimes called Fisher’s Least Significant Difference (or Fisher’s LSD) Method Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 6 Comparações entre as médias de tratamento • Suponha que a hipótese nula, de médias de tratamento iguais, foi rejeitada. Assim, há evidências de que existem diferenças nas médias de tratamento, mas não exatamente que diferença existe. • Pode ser útil realizar análises entre grupos de médias de tratamento. • A média do i-ésimo tratamento é dada por μi=+i e μi é estimado pela média amostral correspondente. • Os procedimentos para fazer essas comparações são chamados métodos de comparações múltiplas. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 7 Design-Expert Output Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 8 Gráficos para comparação de médias • É fácil desenvolver procedimentos gráficos para a comparação de médias numa ANOVA. • Suponha que o fator de interesse possua a níveis. • Se conhecemos o desvio-padrão σ, então qualquer média amostral terá erro-padrão dado por σ /√n. • Se as médias são iguais deve-se esperar que os valores das médias amostrais estejam próximos um do outro. • A única falha nessa forma de pensar é que σ não é conhecido. • Box, Hunter e Hunter (2005) mostraram que podemos substituir σ por √(MSE) da ANOVA e usar uma distribuição t com um fator de escala √(MSE) /√n em vez da distribuição normal. • A figura a seguir ilustra esse gráfico no caso do exemplo analisado. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 9 Graphical Comparison of Means Text, pg. 88 Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 10 CONTRASTES • Um CONTRASTE é uma combinação linear dos a a parâmetros. c i i 1 i em que c i 0 i 1 • As hipóteses a serem testadas são do tipo: a ci i 0 H 0 : i 1 a H : ci i 0 1 i 1 Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 11 Exemplos de CONTRASTES • Suponha a=4, como no exemplo da taxa de gravação vs potência. H 0 : 3 4 H1 : 3 4 c1 c2 0; c3 1; c4 1 H 0 : 1 2 3 4 H1 : 1 2 3 4 Chapter 3 c1 c2 1; c3 c4 1 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 12 Testes de hipóteses envolvendo contrastes • Veremos duas formas de testar hipóteses sobre contrastes. • A primeira delas usa um teste t. • Escreva o contraste de interesse em função da média amostral. a C i 1 ci yi. Var (C ) 2 n n ci2 , para experiment os balanceados. i 1 Se a hipótese nula é verdadeira, segue que: C 2 n Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery ~ N (0,1) a c 2 i i 1 13 Testes de hipóteses envolvendo contrastes • Como a variância é desconhecida, ela é substituída pelo erro quadrado médio MSE e sob a hipótese nula t0 C MS E n ~ t N a a ci2 i 1 • A região crítica de um teste de nível de significância é dada por: t0 t , N a Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 14 Testes de hipóteses envolvendo contrastes • A segunda abordagem usa um teste F. • De fato, sob a hipótese nula, F0 t02 C2 MS E n a c ~ F1, N a 2 i i 1i Nesse caso, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância se F0 F ,1, N a Observe que podemos escrever F0 MS C SSC / 1 em que MS E MS E SSC Chapter 3 C2 1 n com 1 grau de liberdade. a c 2 i i 1 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 15 Intervalos de confiança para contrastes a a c , C c y , E[C] i i 1 i i i. e Var (C ) 2 i 1 IC (,1 ) :C t / 2, N a MS E n n n c 2 i i 1 a ci2 i 1 Se o intervalo inclui o valor zero, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância . Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 16 Contrastes padronizados • Quando se está interessado em mais de um contraste pode ser útil avaliá-los na mesma escala. • Um modo de fazerisso é padronizar os contrastes tal que eles tenham variância σ2. Para isso, basta tomar as constantes ci * ci 1 n a c 2j j 1 para obter o contraste padronizado. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 17 Tamanhos amostrais desiguais • Quando os tamanhos amostrais são desiguais, pequenas modificações são feitas nos resultados anteriores. • Primeiro, note que a definição de contraste, agora requer a n c 0 i i i 1 • As outras mudanças são imediatas: t0 C a MS E i 1 Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery C2 e SSC a 2 ci2 ci n ni i 1 i 18 Contrastes ortogonais • Dois contrastes com coeficientes ci e ki são ortogonais se Σ ci ki =0 ou, se Σ ni ci ki =0 no caso não-balanceado. • Para a tratamentos, o conjunto de a-1 contrastes ortogonais particiona a soma de quadrados devido à tratamento (SSTr) em a-1 componentes independentes com 1 grau de liberdade. • Desse modo, testes realizados em contrastes ortogonais são independentes. • Existem várias formas de escolher coeficientes de contrastes ortogonais dado um conjunto de tratamentos. • Em geral, algo na natureza do experimento deve sugerir que comparações serão de interesse. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 19 Contrastes ortogonais • Por exemplo, se a-3 com o nível 1 um controle e os níveis 2 e 3 representando níveis reais de um fator de interesse, contrastes ortogonais podem ser definidos como segue: Tratamento (i) ci ki 1 -2 0 2 1 -1 3 1 1 Chapter 3 correspondendo às hipóteses 2 3 2 1 2 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 20 Contrastes • O método de contrastes é útil para o que é chamado de comparações pré-planejadas. • Se as comparações são especificadas após a realização do experimento, muitos experimentadores tenderão a construir comparações com base nas maiores diferenças observadas na média. • Esse tipo de estratégia poderá inflacionar o erro tipo I (rejeitar uma hipótese nula verdadeira). • Chama-se data snooping (snoop=bisbilhotar, espionar) o exame dos dados antes de definir as comparações. Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 21 Exemplo • Usando os dados do exemplo taxa de gravação vs potência e o R, teste as seguintes hipóteses: 1 2 1 2 3 4 3 4 Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 22