Slide 1 - Mozart Jr.

Clique para editar o estilo do
título mestre
Seminário:
Flávio,Genildo, Mozart e Petrúcio
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
Disciplina: Probabilidade e Inferência
Professor: Dr. Luis Cláudius Coradine
1
• Intuitivamente ou não, todas as pessoas
conhecem e utilizam de alguma forma
Clique
para
editar
o
estilo
do
estatística.
título mestre
• Necessidades de uso ...
Clique para editar o estilo do
• Uma empresa adquiriu 100.000 rebites.
subtítulo mestre
• Qual a proporção de rebites defeituosos?
2
População
estimar
Amostra
Clique para editar o estilo do
título mestre
• Distribuição Amostral
Função de distribuição de Probabilidade
Parâmetros Populacionais
Média = μ
Desvio padrão = σ
Variância σ²
Proporção de determinado evento = P
•
Estatísticas
(variável aleatória)
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
A inferência estatística consiste em generalizar para a população
aquilo que se observou na amostra com o objetivo de tirar
conclusões.
3
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
4
•
•
•
•
•
As estimativas de parâmetros populacionais são realizadas a partir
dos resultados (dados) de uma variável aleatória de uma amostra
representativa extraída dessa população.
Clique
editar
o
estilo
do
As estimativas para
das amostras
dependem dos
valores
amostrados,
sendo necessário conhecer a distribuição de Probabilidade da
amostra.
título mestre
A partir da distribuição de probabilidade do parâmetro, tem-se
condições de avaliar o grau de incerteza das inferências realizadas a
partir de amostras aleatórias.
Clique para editar o estilo do
Dada uma amostra aleatória
(X1,X2,...Xn),
estimador ou estatística é qualquer
subtítulo
mestre
variável aleatória função dos elementos amostras.
Estimativa  valor numérico de um estimador.
5
Estimativas Pontuais
• Seja a variável aleatória X, com distribuição de
probabilidade f(x), e seja que os valores dos parâmetros
populacionais da média μ e da variância σ² são
desconhecidos.
Clique para editar o estilo do
título mestre
• Se a amostra
representativa
daovariável
aleatória
Xé
Clique
para
editar
estilo
do
extraída da população, a média Х¯ e a variância S²
dessa amostrasubtítulo
podem ser usadas
mestrecomo estimadores
pontuais dos parâmetros populacionais μ e σ².
6
Critérios e Características de um Estimador

Clique
para
editar
o
estilo
do
Teorema 1
título mestre
 A média da distribuição amostral das médias, denotada por µ (x), é
igual à média populacional µ. Isto é:
Clique para editar o estilo do
subtítulo
mestre
 X   (x )  


7
Critérios e Características de um Estimador

Clique
para
editar
o
estilo
do
Teorema 2
título mestre
 Se a população é infinita, ou se a amostragem é com
reposição, então a variância da distribuição amostral das
médias, denotada por 2(x), é dada por:
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
8
Critérios e Características de um Estimador

Clique
para
editar
o
estilo
do
Teorema 3
título mestre
 Se a população é finita, ou se a amostragem é sem reposição,
então a variância da distribuição amostral das médias,
denotada por 2(x), é dada por:
Clique para editar o estilo do
2
subtítulo

N n
 mestre
2
 (x) 


n  N 1 
9
Critérios e Características de um Estimador

Clique
para
editar
o
estilo
do
Teorema do Limite Central
título mestre
 Se a população tem ou não distribuição normal com média µ e
média 2, então a distribuição das amostras será normalmente
distribuída.
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
10
Distribuição Amostral da Média
• Uma distribuição amostral das médias indica a probabilidade de
ocorrência de uma média amostral.
•
Clique
para editar o estilo do
As médias tendem a agrupar-se em torno da média populacional.
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
11
Distribuição Amostral da Média
Clique para editar o estilo do
título mestre
• A média das médias amostrais é igual a média
populacional
E [ Х¯] = μ
•
Clique
para
editar
o
estilo
do
O desvio padrão da distribuição amostral das médias
será dado por: subtítulo mestre
σx = σ / Raiz(n)
12
Estimativas através de Intervalo de Confiança
 Consiste em gerar um intervalo, centrado na estimativa pontual, no
qual se admite que esteja o parâmetro populacional.
Clique para editar o estilo do
 Quanto maior a amplitude do intervalo, maior a confiança
título
mestre
(probabilidade) de estimar
corretamente
o verdadeiro parâmetro
populacional.
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
13
Estimativas através de Intervalo de Confiança
• Existe uma probabilidade (1 – α) de que o parâmetro populacional
esteja contido no intervalo
Clique para editar o estilo do
P { L ≤ μ ≤ U} = 95%
título mestre
• Para diversas amostras aleatórias, 95% desses intervalos iriam incluir
o verdadeiro valor da média populacional.
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
P { L ≤ μ } = (1 – α)
P { μ ≤ U } = (1 – α)
14
Critérios para Estimativas
 Seja
X uma variável aleatória cuja distribuição dependa do
paramento ө;
Clique para editar o estilo do
Seja x1, ...,xn umatítulo
amostra aleatória
de X
mestre
Seja ө^ uma função da amostra
Clique para editar o estilo do
Diz-se que ө^ é uma estimativa não tendenciosa de ө se:
subtítulo mestre
E (ө^) = ө^, para todo ө.
15
Critérios para Estimativas
 Seja ө uma estimativa não tendenciosa de ө. Diremos
Clique para editar o estilo do
título mestre
que ө^ é uma estimativa não tendenciosa, de variância
mínima de ө, se todas as estimativas de ө*, tais que E (ө*)
= 0, tivermos V(ө^) ≤ V (ө*) pata todo ө.
 A variância de uma variável aleatória mede a
Clique para editar o estilo do
variabilidade da variável aleatória em torno do seu valor
subtítulo mestre
esperado.
16
Critérios para Estimativas
 Seja ө uma estimativa do parâmetro ө. Diremos
que
ө^ é umapara
estimativa
coerente
de ө,se: do
Clique
editar
o estilo
Lim. Prob.título
| ө^ - ө mestre
| > e = 0; e > 0
Clique
do
Lim.
Prob. para
| ө^ - editar
ө | ≤ e o= estilo
1; e > 0
subtítulo mestre
 A medida que o tamanho da amostra n aumenta,
a estimativa converge para ө.
17
Critérios para Estimativas
 Seja x1,x2,...,xn uma mostra de X; ө uma função de
Clique para editar o estilo do
 Diz-se que ө é a melhor estimativa não tendenciosa
linear de ө, se: título mestre
(x1,x2,...xn).
a) E (ө^) = 0;
Clique para editar o estilo do
b) ө^ = ∑ aixi, ө é uma função linear da amostra
subtítulo mestre
c) V(ө^) ≤ V (ө*) , onde ө é qualquer outra
estimativa de ө que satisfaça (a) e (b).
18
Intervalo de confiança para
média, variância conhecida
Seja X uma variável aleatória qualquer que siga a distribuição Normal
XN(,) e seja xp ..., xn uma amostra aleatória desse processo.
A partir do teorema do limite central, sabe-se que a distribuição da
média segue a distribuição normal
Clique para editar o estilo do
X  N ( , / n )
título mestre
Mais ainda, para n suficientemente grande este resultado é válido
mesmo que aClique
distribuição
de origem
não seja
Normal do
para
editar
o estilo
subtítulo
mestre
Seja que uma variável aleatória X tenha média desconhecida e
variância conhecida. E seja que amostra dessa população apresentem
média igual a
X
19
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
De acordo com t de Student
20
Intervalo de confiança para média
desconhecida e variância conhecida
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
21
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
22
Erro de Estimação
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
X
23
Erro de Estimação
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
24
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
25
Intervalo de confiança para
média, variância desconhecida
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
26
Clique para editar o estilo do
título
(Somarmestre
Valores da amostra) / (nº de amostras)
Desvio Padrão
Student 5%
Clique para Teditar
o (20-1)
estilo do
subtítulo mestre
27
Intervalo de confiança
para variância
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
28
Clique
para
editar
o
estilo
do
Variância
título mestre
Qui-quadrado
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
29
Intervalo de confiança
para o parâmetro da Binomial
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
30
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
32
Introdução a regra de Bayes
 Apesar da distribuição a posteriori de um parâmetro θ conter toda a
informação probabilística a respeito deste parâmetro algumas vezes é
necessário resumir a informação contida na posteriori através de alguns
valores numéricos;
Clique para editar o estilo do
título mestre
 Em Bayes, um problema de decisão fica completamente especificado
pela descrição dos seguintes espaços:
para
editarda onatureza
estiloΘ; do
• EspaçoClique
do parâmetro
ou estados
• Espaço dos resultados
possíveismestre
de um experimento Ω;
subtítulo
• Espaço de possíveis ações Α;
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
33
Introdução a regra de Bayes
Clique para editar o estilo do
 Regra de decisão: δ:
Ω → Amestre
título
 Uma regra de decisão δ é uma função definida em Ω que assume
valores em Α;
 A cada δ e a cada possível parâmetro θ podemos associar uma perda:
L(δ, Clique
θ)
Assumindo
valores
positivos.
paraObs.:
editar
o estilo
do
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
34
Risco de Bayes
 É a perda esperada a posteriori;
 O risco de L(δ, θ) é dado por:
Clique para editar o estilo do
título mestre
 Regra de decisão
δ* épara
ótima seeditar
tem riscoomínimo:
Clique
estiloR(δ*)
do < R(δ)
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
35
Exemplo
Um laboratório farmacêutico deve decidir pelo lançamento ou não de
uma nova droga no mercado. Supondo que foi possível construir a
seguinte tabela de perdas levando em conta a eficiência da droga:
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
36
Solução
 Parâmetro θ está associado aos estados:
• “droga é eficiente” (θ1 = 1);
• “droga não é eficiente” (θ2 = 0);
Clique para editar o estilo do
mestre
 E a regra de decisãotítulo
δ está associado
as ações:
•
•
“lança a droga” (δ1 = 1);
“ não lança a droga” (δ2 = 0);
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
37
Solução
 Supondo π uma incerteza para P(θ = 1): 0 < π < 1;
Clique
para
editar
o
estilo
do
 Para δ fixo, L(δ, θ) terá dois valores: π e 1 - π;
título
 Usando a definição de
risco paramestre
δ = δ = 1:
1
R(δ1) = E(L(1, θ)) = π (-500) + (1 - π) 600 = -1100π + 600
Cliquedepara
editar
 Usando a definição
risco para
δ = δ2 =o0:estilo do
R(δ2) = E(L(0, θ))subtítulo
= π (1500) + (1
- π) 100 = 1400π + 100
mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
38
Solução
 Dado o valor de π é possível informar se será lançado a droga;
 É possível verificar que as duas ações levarão ao mesmo risco:
Clique para editar o estilo do
título mestre
 Além disso:
• π < 0.2, R(δ = 0) < R(δ = 1) e a regra de Bayes consiste em não
Clique para editar o estilo do
lançar a droga;
• π > 0.2, R(δ = 1) subtítulo
< R(δ = 0) e a mestre
regra de Bayes consiste em lançar
a droga;
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
39
Inferência Bayesiana
 Criada por Bayes em 1763;
Clique para editar o estilo do
título mestre
 Enfoques:
• Inferência estatística que exige a adoção de princípios teóricos
muito bem especificados;
• Teoria freqüentista (ou clássica);
 Crítica: Possibilidade
de
replicar
dados na
teoria
freqüentista;
Clique
para
editar
o
estilo
do
 Contribuições (evoluções):
subtítulo mestre
• Bernoulli, 1713;
• Laplace, 1812;
• Jeffreys, 1939;
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
40
Inferência Bayesiana
 Supor uma amostra observada (x1, x2, ..., xn) de uma
população normal N(μ, δ2);
Clique para editar o estilo do
 Fazer inferênciastítulo
baseadosmestre
nas n observações;
 Como? Selecionar estimadores (utilizando-se de algum
Clique para editar o estilo do
procedimento);
mestre x = (x1, x2, ..., xn)’
Obs.: Ser função do subtítulo
vetor de observações:
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
41
Inferência Bayesiana
 Admitir que os parâmetros μ e δ2 podem ser descritos por
distribuição de probabilidade p(μ, δ2);
Clique para editar o estilo do
mestre
 Teremos: θ = (μ, título
δ )’
2
 Na teoria Clique
bayesiana,
μ é fixo;
para
editar
o estilo do
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
42
Inferência Bayesiana
 Se temos um θ, ou seja, temos alguma informação anterior;
 Então teremos uma distribuição de probabilidade, ou distribuição a
priori de θ, p(θ);
 Seja θ = {θ1, θ2, ..., θr};
 Onde: P(θ= θi) = p(θ1), i = 1, 2, ..., r;
 Chamando de y a nova informação;
 Pelo teorema de Bayes, teremos:
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
43
Exemplo
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
44
Solução
Calculando as probabilidade conjuntas (p(θ)p(y|θ) = p(y,θ)), teremos:
Clique para editar o estilo do
título mestre
Lembrando que do teorema de Bayes teremos a posteriori de θ e θ :
a) p(y1,θ1) = 6/15 e p(y1,θ2) = 2/15;
b) p(y2,θ1) = 3/15 e p(y2,θ2) = 4/15;
1
2
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
45
Solução
Para y1(y>0), teremos: p(y1) = 6/15 + 2/15 = 8/15;
Para y2(y<0), teremos: p(y2) = 3/15 + 4/15 = 7/15;
Clique
para
editar
o
estilo
do
Dessa forma para rendimentos positivos (y>0), teremos:
título mestre
e
Dessa forma análoga
parapara
rendimentos
negativos
(y<0), do
teremos:
Clique
editar
o
estilo
e
subtítulo mestre
Resultados e inferências para “mercado em alta” (θ1) e “mercado em baixa” (θ2) a
partir da probabilidade posteriori (modelo estático):
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Exemplos;
46
Estimadores de Bayes
 Tendo uma amostra aleatória x1, x2, ..., xn de p(x|θ), onde θ é
desconhecido;
 Se θ Є Θ, então: estimador δ(x) Є Θ;
 Erro: δ(x) – θ
 Para cada θ existirá uma possível estimativa α Є Θ;
 Perda: L(α, θ); Obs.: Quanto maior a distância entre α e θ maior a perda.
Clique para editar o estilo do
título mestre
 Perda esperada
posteriori:
Clique
para
editar o estilo do
subtítulo
mestre
A partir de agora: Escolher
a estimativa
que minimiza esta perda

esperada;
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Estimadores de Bayes;
47
Estimadores de Bayes
 Função perda quadrática: L(α, θ) = (α - θ)2;
Clique para editar o estilo do
título mestre
 Em alguns casos o estimador de Bayes para o parâmetro θ será a média
de sua distribuição atualizada, exemplo:
Suponha que queremos estimar a proporção θ de itens defeituosos em
um grande lote. Para isto será tomada uma amostra aleatória x1, ..., xn de
uma distribuição de Bernoulli com parâmetro θ. Usando uma priori
conjugada Beta(α,
β) sabemos
queeditar
após observar
a amostra
a distribuição a
Clique
para
o
estilo
do
posteriori é Beta(α + t, β + n - t), onde:
subtítulo mestre
A média desta distribuição Beta é dada por: (α + t)/(α + β + n)
Portanto o estimador de Bayes de θ usando perda quadrática é:
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Estimadores de Bayes;
48
Estimadores de Bayes
 A função de perda absoluta: L(α, θ) = |α – θ|
Clique para editar o estilo do
 Introduz punições que crescem linearmente com o erro de
título mestre
estimação;
 Pode-se mostrar
o estimador
Bayes
Cliqueque
para
editar ode
estilo
doassociado é a
mediana da distribuição atualizada de θ.
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Estimadores de Bayes;
49
Estimadores de Bayes
 Para reduzir ainda mais o efeito de erros de estimação grandes:
Clique para editar o estilo do
título mestre
 Associa uma
perda fixa
a um
erro cometido,
Clique
para
editar
o estilonão
doimportando sua
magnitude.
subtítulo mestre
•Regra de Bayes;
•Risco de Bayes;
•Inferência Bayesiana;
•Estimadores de Bayes;
50
Clique para editar o estilo do
título mestre
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
51
É um método estatístico popular usado para
calcular o melhor caminho para ajustamento
Clique
para
editardeoalguns
estilo
do
do modelo
matemático
dados.
título mestre
Modelar Dados Reais pelo
Maximum Likelihood
Gerar parâmetros do modelo para
prover uma ótima ajustagem.
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
52
Pioneiro
Clique para
 R.editar
A. Fishero estilo do
título
mestre
 (Geneticista e Estatístico)
Clique
para
editar
o
estilo
do
 Período:1912 e 1922
subtítulo mestre
•Pioneiros;
•Conceitos;
•Filtragem adaptativa;
•Filtro de Wiener;
•Algoritmo adaptativo;
53
•Modelos Lineares e Generalização de Modelos
Lineares;
Clique para editar o estilo do
•Modelagem de Equações Estruturais
título
mestre
•Psychometrics and
econometrics;
•Detecção de Eletromagnetismo ou Acústica por
editar o estilo do
time-delay Clique
of arrivalpara
(TDOA);
mestre
•Muitas situações subtítulo
no contexto
de Teste de Hipótese
etc.
•Introdução;
•Áreas Utilização
•Filtragem adaptativa;
•Filtro de Wiener;
•Algoritmo adaptativo;
54
Clique para editar o estilo do
título mestre
• EXEMPLO:
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
55
• Interesse na altura de uma população;
• Possuímos uma amostra de um número desta população (Ñ
totalidade);
• Anotamos os dados;
• Dizemos que eles são normalmente distribuídos (desconhecidos:
mean e variância);
• A amostra mean é a máxima estimativa do Likelihood do mean
desta população;
Clique para editar o estilo do
• A variância é a mais próxima para a estimação do Likelihood da
subtítulo mestre
variância desta população.
Clique para editar o estilo do
título mestre
56
• Considere uma familia Dθ de distribuição de probabilidade
parametrizada por um parâmetro θ desconhecido associado a uma
função densidade de probabilidade, denotada como fθ.
• Se temos um conjunto de n
valores desta distribuição,
e usando fθ nós podemos computar a densidade de probabilidade
desta multivariável associado aos dados observados.
Clique para editar o estilo do
título mestre
•
Como a função
de θpara
com x1, editar
..., xn fixos,
é o likelihood
Clique
oeste
estilo
do function.
subtítulo
mestre
• O método do maximum
likelihood estima
θ encontrando o valor de θ
que maximiza.
Assim a estimação maximum likelihood(MLE)
de θ:
57
• Obs: É importante considerar que os dados da distribuição sejam
independentes e identicamente distribuídos com parâmetros
desconhecidos, Isto simplifica consideravelmente o problema, pois
o likelihood pode ser escrito como um produto de n densidades de
probabilidade univariáveis.
Clique para editar o estilo do
título mestre
•
Clique para editar o estilo do
E a monotonia do logaritmo não afeta as transformações.
subtítulo mestre
Chegamos a expressão:
58
• BIAS
• O bias da estimativa maximum-likelihood pode ser um número
próximo ao resultado real.
•
Clique para editar o estilo do
Considere um casotítulo
onde n tickets
são enumerados de 1 ate n e são
mestre
colocados em uma caixa. Um deles é escolhido por sorteio.
Clique para
omaximum-likelihood
estilo do
• Se n é desconhecido,
então aeditar
estimativa
de n é
o valor descrito no ticket, mesmo conhecendo que a expectativa é
subtítulo mestre
apenas (n+1)/2.
• Em estimativas o número máximo n, será certamente maior ou igual
ao número de tickets escolhidos.
59
• Asymptotics
•
Clique
para
editar
o
estilo
do
Quando as medidas de conjunto de elementos apresentam-se de
forma identicamente
independente,
podemos por exemplo adquirir
título
mestre
elementos repetitivos ou adquiridos ao acaso. Neste caso é
interessante se obter o comportamento daquele conjunto de
estimativas
a medidapara
que se editar
aproximam
infinito. do
Clique
odoestilo
subtítulo mestre
60
• O MLE possui muitas caracteristicas que podem ser interpretadas
para representar o que é "asymptotically optimal". Estas
características incluem:
• The MLE é asymptotically unbiased,(imparcial) i.e., seu bias
tende a zero com o número de amostras tendendo ao infinito.
• The MLE é asymptotically efficient, (eficiente)i.e., ele completa o
Cramér-Rao lower bound quando o número de amostras tende ao
infinito. Significa que este método possui menor erro mean squared
ao MLE. Clique para editar o estilo do
subtítulo
• O MLE is asymptotically
normal. mestre
Com o número de amostras
crescentes, a distribuição do MLE tende para distribuião Gaussiana
com mean θ e a matriz de covariância igual ao inverso da matrix de
informação de Fisher.
Clique para editar o estilo do
título mestre
61
Pioneiro
Clique para
editar
oeestilo do
 Harald
Cramér
título
mestre
 Calyampudi Radhakrishna Rao
Clique para editar o estilo do
subtítulo mestre
•Pioneiros;
•Conceitos;
•Filtragem adaptativa;
•Filtro de Wiener;
•Algoritmo adaptativo;
62
• Na sua forma mais simples, a variância para qualquer estimativa
imparcial é pelo menos tão elevado quanto o inverso da informação
Clique
para
editar
o
estilo
do
Fisher. Uma estimativa impessoal que completa com êxito o lower
bound é chamada eficiente.
Desta
maneira a solução conclui o mais
título
mestre
baixo erro mean squared entre todos os métodos imparciais e é
consequentemente a mínima variância imparcial.
•
Clique para editar o estilo do
O Cramér–Rao bound
possui 3 casos
gerais. Um caso em que o
subtítulo
mestre
parâmetro é escalar e sua estimativa é impessoal. Caso
multivariado e caso geral escalar.
• Todos os casos possuem regularidades em suas condições que
mantém comportamento bem distribuído.
63
• Suponha θ sendo um parâmetro determinístico desconhecido que
será mensurado e estimado ao valor de x, distribuído de acordo
com algumas funções de densidade de probavilidade f(x;θ). A
variancia de qualquer estimativa imparcial de θ é então “saltado”
pelo inverso da informação de Fisher I(θ):
Clique para editar o estilo do
título mestre
• Onde a informação
Fishereditar
I(θ) é definida
por:
Cliquedepara
o estilo
do
subtítulo mestre
• E
é o logarítmo natural da função likelihood e
denota o valor esperado.
64
• A eficiencia é uma estimativa imparcial que mensura o quao
próximo esta variância da estimativa se aproxima deste lower
bound; a eficiencia estimativa é definida como:
Clique para editar o estilo do
título mestre
• No mínimo possivel de variância para uma estimativa imparcial
dividida por sua atual variância. O Cramér–Rao lower bound deste
para editar o estilo do
modo nosClique
dá:
subtítulo mestre
65
REFERÊNCIAS
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Ciências, Ed. Thomson, 6ª edição, 2006
• Freud J.E. & Simon G.A., Estatística Aplicada economia
administração e contabilidade, Ed. Bookman, 9ª edição, 2000
• Meyer P.L, Probabilidade aplicações a Estatística, 2ª edição,
Ed. LTC.
• Papoulis A. & Pillai S.U; Probability, Random Variables and
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Stochastic
Processes,
Ed. editar
Mc GrawoHill
subtítulo
• Bussab W.O. & Morettin
P.A.; mestre
Estatística Básica; 5ª edição,
ed. Saraiva, 2004
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título mestre
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