Exercício resolvido

Capítulo
12
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Trigonometria no triângulo
retângulo e em um
triângulo qualquer
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Semelhança de triângulos retângulos
Observe que os triângulos retângulos BGF, BED, BAC e
BPT são semelhantes, pois têm ângulos correspondentes.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.1
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Semelhança de triângulos retângulos
Assim, podemos escrever a seguinte proporção:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.1
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Seno, cosseno e tangente do ângulo a
medida do cateto oposto a a
sen a =
medida da hipotenusa
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
cos a =
medida do cateto adjacente a a
medida da hipotenusa
tg a =
medida do cateto oposto a a
medida do cateto adjacente a a
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.2
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Seno, cosseno e tangente do ângulo a
Exemplos
a) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo
a do triângulo retângulo ABC a seguir.
Considerando o ângulo a, o cateto oposto é
adjacente é
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
e a hipotenusa é
.
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.3
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
, o cateto
Seno, cosseno e tangente do ângulo a
Exemplos
a) Aplicando as definições, obtemos:
sen a =
cos a =
tg a =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
medida do cateto oposto a a
medida da hipotenusa
= 3 = 0,6
5
medida do cateto adjacente a a
= 4 = 0,8
medida da hipotenusa
5
medida do cateto oposto a a
3
=
= 0,75
medida do cateto adjacente a a
4
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.3
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Seno, cosseno e tangente do ângulo b
Exemplos
b) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo b.
Em relação ao ângulo b, o cateto oposto é AB, o cateto adjacente
é AC e a hipotenusa é CB.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.4
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Seno, cosseno e tangente do ângulo b
Exemplos
b) Aplicando as definições, obtemos:
sen b =
cos b =
medida do cateto oposto a b
medida da hipotenusa
= 4 = 0,8
5
medida do cateto adjacente a b
= 3 = 0,6
medida da hipotenusa
5
medida do cateto oposto a b = 4
tg b =
3
medida do cateto adjacente a b
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.4
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
1,33
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, as razões
trigonométricas que envolvem os ângulos agudos a e b são:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
c
a
sen a = b
a
sen b =
cos a = c
a
cos b = b
a
tg a = b
c
tg b =
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.5
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
c
b
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Os ângulos agudos a e b são complementares, pois a
soma de suas medidas é 90º.
Assim, podemos escrever b em função de a: b = 90º – a.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.5
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Note também que sen a =
b
a
b
e cos b = a , então temos:
sen a = cos b.
Substituindo b por 90º – a na última igualdade, temos:
sen a = cos b = cos (90º − a)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.5
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Observe também que cos a c e sen b = c , então temos:
a
cos a = sen b.
a
Substituindo b por 90º – a nessa igualdade, temos:
cos a = sen b = sen (90º − a)
Também vale a relação:
sen2 a + cos2 a = 1
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.5
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Demonstração
No triângulo ABC, sabemos que sen a =
b
c
e cos a =
.
a
a
Assim:
Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo ABC temos:
a2 = b2 + c2 (II)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.6
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Demonstração
De (I) e (II), podemos escrever:
2
2
2
sen2 a + cos2 a = b + c = a = 1
a2
a2
Portanto, quaisquer que sejam as medidas dos ângulos
agudos de um triângulo retângulo, vale a igualdade:
sen2 a + cos2 a = 1
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.6
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Retomando o triângulo ABC, vamos relacionar o seno e o
cosseno do ângulo agudo a com sua tangente.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.7
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Sabemos que sen a =
, cos a =
e tg a =
; então
podemos escrever b em função de sen a:
Também podemos escrever c em função de cos a:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.7
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Substituindo (I) e (II) na razão que fornece a tangente
de a, temos:
Assim, concluímos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.7
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Seno e cosseno de ângulos
complementares
sen a = cos (900 – a)
cos a = sen (900 – a)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Seno e cosseno
de um ângulo
sen2 a + cos2 a = 1
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.8
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Seno, cosseno e
tangente de um
ângulo
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
Exemplo
Vamos determinar o seno, o cosseno e a
tangente dos ângulos agudos de um
triângulo retângulo cujos catetos medem
6 cm e 4 cm.
Vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras:
a2 = 62 + 42 ⟹ a2 = 36 + 16 ⟹ a =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.9
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Relações entre seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.9
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
R1. Na dança folclórica do trança-fitas,
geralmente se usa um mastro de
3 m de altura. Para certa passagem
da dança, é preciso formar um
ângulo de 30º entre a fita esticada
(com uma ponta na extremidade superior do mastro e a
outra ponta no chão) e o piso horizontal. Sabendo que
sen 30º = 0,5, determinar o comprimento da fita e a
distância da ponta ao mastro.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.10
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
JUCA MARTINS/OLHAR IMAGEM
Exercício resolvido
Exercício resolvido
R1.
Resolução
No esquema a seguir, c representa o comprimento da
fita e d, a distância pedida.
Então:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.10
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R1.
Resolução
Pelo teorema de Pitágoras:
d2 + 32 = 62 ⇒ d2 = 27 ⇒ d =
⇒ d ≃ 5,2
Portanto, a fita tem 6 metros de comprimento e a sua ponta
fica a 5,2 metros do mastro, aproximadamente.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.10
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R2. Dado sen a =
, com o a agudo, determinar cos a.
Resolução
Aplicando a relação sen2 a + cos2 a = 1, temos:
Como a é agudo, a pode ser um dos ângulos de um triângulo
retângulo, logo, cos a e sen a são razões entre os lados do
triângulo e, portanto, são positivos. Então, cos a =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.11
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Ângulos notáveis
Exemplo
Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo de 45º.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 = x2 + x2, ou seja,
y=x
. Usando as definições de seno, cosseno e tangente, temos:


CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.12
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Ângulos notáveis
Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos
de 60º e 30º. Pela figura, temos:
sen 60º =
; cos 60º =
;
Como os ângulos de 30º e 60º são complementares, resulta:



CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.12
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Ângulos notáveis
30o
45o
Seno
Cosseno
Tangente
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
1
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.13
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
60o
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
a) Vamos imaginar que um foguete foi lançado formando com o solo
um ângulo de 45º. Depois de percorrer 1.000 m em linha reta, a
que altura o foguete estava do chão?
Para melhor visualizar a situação, é interessante fazer um esboço:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.14
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
a) Neste caso, para calcular a altura (h) do foguete, usamos o
seno de 45º:
Considerando
= 1,41, obtemos: h = 705
O foguete estava a 705 m do chão.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.14
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
b) Uma das extremidades de um cabo de aço está presa ao
topo de um poste, formando um ângulo de 30º, enquanto a
outra extremidade está fixada no chão a 5 m do pé do
poste. Qual é o comprimento (c) do cabo de aço? Qual é a
altura (h) do poste?
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.15
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
b) Neste caso, para calcular o comprimento (c) do cabo, usamos o
seno de 30º.
O cabo de aço mede 10 m.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.15
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
b) Para determinar a altura (h) do poste, usamos a tangente de 30º.
Considerando
, obtemos: h = 8,65
A altura do poste é 8,65 m.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.15
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
c) Um barqueiro pretendia ir de uma margem à outra de um rio pela
travessia mais curta possível. No entanto, a correnteza o arrastou
24 m além do atracadouro. Do local aonde o barco chegou,
avista-se o ponto de partida de um ângulo de 60º em relação à
margem onde o barqueiro está. Qual é a largura (r) do rio?
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.16
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Aplicações das razões trigonométricas
Exemplos
c) Para melhor visualizar a situação, fazemos um esboço:
Neste caso, para calcular a largura, usamos a tangente de 60º:
Considerando
= 1,73, obtemos: r = 41,52.
Logo, a largura do rio é 41,52 m.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.16
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R3. Determinar a medida dos outros dois lados
do esquadro de 60º.
Resolução
O lado oposto ao ângulo de 60º mede aproximadamente
26 cm e o menor lado adjacente mede 15 cm.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.17
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R4. Determinar a medida de CB, no triângulo abaixo, sabendo
que DE = DC e AB = 1.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.18
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R4.
Resolução
Como DE = DC, então:
No triângulo DCE temos:
No triângulo ABC, os ângulos a e b são complementares,
então b = 45º.
Logo, o triângulo ABC é retângulo isósceles e CB = 1.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.18
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R5. Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi
escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura.
Determinar as medidas de x e de y.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.19
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R5.
Resolução
Δ ABC: tg 30º =
(I)
Δ ABD: tg 60o =
(II)
 Substituindo (II) em (I), obtemos:
Daí: y = 1 m
Como x =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
, resulta:
m
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.19
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Aplicações das razões trigonométricas
e/ou calculadora científica
Esporte. Sabendo que as distâncias oficiais entre as balizas
de um campo de futebol são 2,44 m, entre a baliza horizontal
e o solo, e 7,32 m, entre as balizas verticais, e que a marca do
pênalti (B) está a 11 m do meio (P)
da linha de gol, vamos determinar
o maior ângulo, em relação à reta
,
Com que um jogador pode cobrar um
pênalti, chutando rasteiro, e ter a
possibilidade de marcar um gol.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.20
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Aplicações das razões trigonométricas
e/ou calculadora científica
Distância entre as balizas verticais: 7,32 m
Distância da marca do pênalti até o meio da linha de gol: 11 m
Metade da distância entre as balizas verticais: 7,32 m = 3,66 m
2
7,32
tg a =
= 0,3327
2
Então, para ter a possibilidade de, chutando rasteiro, marcar o
gol, o jogador deve chutar a bola com um ângulo de menos de
18º com a reta que passa pela marca do pênalti e pelo meio
da linha do gol.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.20
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R6. Um fio de 15 m de comprimento, esticado, eleva uma pipa
até a altura de 6,8 m. Qual é o ângulo formado entre o fio
e o solo?
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.21
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R6.
Resolução
Vamos determinar o seno de a:
Consultando a tabela, temos
Então, o fio forma um ângulo de aproximadamente 27º
com o solo.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.21
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R7. Numa determinada hora do dia, a luz do sol incide sobre
uma estaca fincada verticalmente no solo. Os raios
solares formam com a estaca um ângulo de 75º, e o
comprimento da sombra projetada no solo é 3,5 m. Qual
é a altura dessa estaca?
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.22
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R7.
Resolução
De acordo com o esboço abaixo, devemos usar a tangente
de 75º.
Consultando a tabela, tg 75º = 3,7321. Logo:
m
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.22
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R8. No triângulo ABC abaixo, determinar as medidas x e y.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.23
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R8.
Resolução
De acordo com a figura e com a tabela de razões
trigonométricas, temos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.23
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R9. Qual é a medida aproximada do ângulo de uma rampa
para pedestres com inclinação de 10% que liga o
pavimento térreo ao primeiro andar de um prédio?
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.24
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R9.
Resolução
Uma rampa ter inclinação de 10%, ou 0,1, significa que a
tangente do ângulo agudo que a rampa forma com o piso
inferior é igual a 0,1. Assim, de acordo com o problema,
tg a = 0,1. Pela tabela de razões trigonométricas, a tangente
mais próxima desse valor é 0,1051, que corresponde ao
ângulo de 6º.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.24
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R10. A construção de um tipo de rampa para skatistas
obedece ao seguinte padrão: a inclinação é de 23º com o
solo, o comprimento horizontal é 1,70 m e a plataforma
superior tem 0,30 m. Qual é a altura dessa rampa?
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.25
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R10.
Resolução
Vamos iniciar fazendo um esboço.
Daí segue que:
Logo, a rampa tem aproximadamente 0,59 m de altura.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.25
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R11. Em certo ponto de uma das margens de um rio de
margens paralelas, avista-se na outra margem, bem
em frente, em linha reta, uma determinada árvore.
Caminhando 200 m pela margem, avista-se essa mesma
árvore sob um ângulo de 60º. Qual é a largura
aproximada do rio?
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.26
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R11.
Resolução
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.26
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R12. Um jogador de futebol, ao cobrar um escanteio,
coloca, em um chute rasteiro e em linha reta, a bola
nos pés de um companheiro de time que está sobre a
marca de pênalti na área adversária. Sabendo que a
linha de fundo mede 75 m e a distância entre o meio
dessa linha e a marca de pênalti é 11 m, determine
qual foi o ângulo do chute em relação à linha de fundo.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.27
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R12.
Resolução
A marca de pênalti está centralizada em frente ao gol, à
distância de 11 m. Do canto de onde é cobrado o escanteio
até o meio da linha do gol, que está situado em frente à
marca de pênalti, temos 37,5 m de distância. Portanto, para
determinar o ângulo, devemos calcular sua tangente.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.27
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Seno e cosseno de ângulos obtusos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.28
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Exemplos
a) Vamos determinar o valor do seno de 150º.
sen 150º = sen (180º – 150º) = sen 30º
Logo: sen 150º =
b) Vamos determinar o valor do cosseno de 150º.
cos 150º = –cos (180º – 150º) = –cos 30º
Portanto: –cos 150º = –
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.28
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos senos
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles,
isto é:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.29
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos senos
Exemplos
a) Vamos fazer um esquema para ilustrar a situação e determinar
a medida do ângulo
e as distâncias OC e PC (comprimento
do fio).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.30
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos senos
Exemplos
a) Para calcular a medida do ângulo
med(
, fazemos:
) = 180º – (49º + 30º) = 101º
Aplicando o conceito do seno de um ângulo obtuso, temos:
sen 101º = sen (180º – 101º) = sen 79º
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.30
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos senos
Exemplos
a) Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos:
sen 79º ≃ 0,98 e sen 49º ≃ 0,75
Aplicando a lei dos senos, temos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.30
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos senos
Exemplos
a)
Assim, a medida do ângulo
é 101º, a distância OC é
aproximadamente 43,12 m e o comprimento PC do fio é,
aproximadamente, 33 m.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.30
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos senos
Exemplos
b) Dois lados de um terreno triangular
medem 50 m e formam entre si
um ângulo de 80º. Sabendo que
o proprietário pretende construir
uma cerca ao redor do terreno,
vamos calcular a metragem total
da cerca. Observe a representação
Como o triângulo é isósceles,
os ângulos da base medem 50º.
dessa situação na figura.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.31
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos senos
Exemplos
b) Consultando a tabela de razões trigonométricas, temos:
sen 50º = 0,7660 e sen 80º = 0,9848
Agora vamos aplicar a lei dos senos:
Logo, para cercar todo o terreno, serão necessários,
aproximadamente, 50 m + 50 m + 64,3 m = 164,3 m de cerca.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.31
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R13. Calcular as medidas do lado e da diagonal maior de um
losango cuja diagonal menor mede 5 cm e cujos ângulos
obtusos medem 130º.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.32
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R13.
Resolução
Em um losango, cada diagonal está
contida nas bissetrizes dos ângulos
internos, cujos vértices são extremidades
dessa diagonal.
Na figura ao lado, a diagonal
divide o
losango em dois triângulos isósceles
congruentes; assim, no triângulo ABD:
med(Â) = 180º – (65º + 65º) = 50º
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.32
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R13.
Resolução
Consultando a tabela de razões
trigonométricas e aplicando a lei dos
senos no triângulo ABD, temos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.32
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R13.
Resolução
Aplicando o teorema de Pitágoras ao
triângulo AED, temos:
Logo, o lado e a diagonal maior do
losango medem cerca de 5,9 cm e
10,7 cm, respectivamente.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.32
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de
um lado é igual à soma dos quadrados das medidas
dos outros lados menos duas vezes o produto dessas
medidas pelo cosseno do ângulo formado por esses
lados, isto é:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.33
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos cossenos
Exemplos
a) Vamos fazer um esquema para ilustrar a
situação e calcular a distância entre os
pontos de decolagem e de aterrissagem.
Sabemos que um avião percorreu 90 km
em direção ao norte, mudou de direção
por um ângulo de 35º, no sentido horário,
e depois percorreu 115 km até aterrissar.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.34
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos cossenos
Exemplos
a) Aplicando o conceito de cosseno de um ângulo
obtuso, temos:
cos 145º = –cos (180º – 145º) = –cos 35º
Consultando a tabela trigonométrica, segue:
–cos 35º = –0,8192
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.34
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos cossenos
Exemplos
a) Agora vamos aplicar a lei dos cossenos:
x2 = 1152 + 902 – 2 ∙ 115 ∙ 90 ∙ cos 145º
x2 = 13.225 + 8.100 – 2 ∙ 115 ∙
∙ 90 ∙ (–0,8192)
x2 = 38.282,44
x=
x ≃ 195,66 km
Assim, a distância entre os pontos de decolagem
e de aterrissagem é, aproximadamente, 195,66 km.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.34
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos cossenos
Exemplos
b) Vamos determinar as medidas a, x e y no triângulo abaixo.
Aplicando o conceito de cosseno de um ângulo obtuso, temos:
cos 120º = –cos (180º – 120º) = –cos 60º
Então: cos 120º = –0,5
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.35
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos cossenos
Exemplos
b) Agora vamos aplicar a lei dos cossenos:
Assim, podemos determinar a medida y:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.35
12.1
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Lei dos cossenos
Exemplos
b) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
é 180o, temos:
Logo: a =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.35
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Área de superfície triangular
No triângulo retângulo AHB da figura,
Substituindo h na fórmula da área:
área =
Do mesmo modo, podemos obter:
área =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
e área =
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.36
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Área de superfície triangular
Em uma superfície (ou região) triangular, a área é igual
ao semiproduto das medidas de dois de seus lados pelo
seno do ângulo determinado por eles, isto é:
área =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
, área =
e área =
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.36
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Área de superfície triangular
Exemplo
Vamos calcular a área de uma superfície triangular (ou de um
triângulo), sabendo que dois de seus lados medem 4 cm e 6 cm
e o ângulo formado por eles mede 30º.
Temos: sen 30º = 0,5
Aplicando a fórmula da área:
área =
=6
Então, a área do triângulo é 6 cm2.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.36
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
Exercício resolvido
R14. Determinar a área do triângulo ABC da figura.
Resolução
sen 48º =
(5,4)2 ≃ 42 + c2  c ≃ 3,6
área ≃
≃ 13,18
A área do triângulo, portanto, é aproximadamente 13,18 cm2.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
ANOTAÇÕES EM AULA
12.1
12.37
Capítulo 12 – Trigonometria no triângulo
Capítulo 12 – Trig. no triâng. ret. e num triâng. qualquer
retângulo e em um triângulo qualquer
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
Ilustração dos gráficos: Adilson Secco
EDITORA MODERNA
Diretoria de Tecnologia Educacional
Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida
Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio
Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes
Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin
Editor de arte: Fabio Ventura
Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini
Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres
Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres
© Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados.
EDITORA MODERNA
Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho
São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904
Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510
Fax (0__11) 2790-1501
www.moderna.com.br
2012
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA