Aula_Bioestatistica_2

Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo
Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde
1
Probabilidade
 Experimento Aleatório
 Espaço Amostral
 Eventos
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2
Experimento Aleatório
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que,
mesmo repetidos varias vezes sob condições
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
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3
Espaço Amostral
A cada experimento correspondem, em geral, vários
resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda,
há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer
coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados
possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
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4
Espaço Amostral
Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome
de espaço amostral ou conjunto universo,
representados por S ou .
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5
Eventos
Chamamos de eventos qualquer subconjunto do espaço
amostral  de um experimento aleatório.
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6
Probabilidade
Procura quantificar as
determinada situação.
incertezas
existentes
em
Não é possível fazer inferências estatísticas sem utilizar
alguns resultados da teoria das probabilidades.
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7
Objetiva: Clássica
Def.: Se um evento pode ocorrer em N maneiras
mutuamente excludentes e igualmente prováveis, e se m
dessas ocorrências tem uma característica E, então a
probabilidade
de
ocorrência
de
E
é:
P(E) = m/N
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8
Freqüência relativa
Def.: Se algum processo é repetido um grande número de
vezes, n, e se algum evento com característica E ocorre m
vezes, a freqüência relativa m/n é aproximadamente
igual à probabilidade de E: P(E)
Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(E).
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9
Propriedades Gerais
Seja  um experimento aleatório e  espaço amostral
associado a . A cada evento A associa-se um número
real representado por P(A) que é denominado
probabilidade de A que satisfaça às seguintes
propriedades:
0 ≤ P(A) ≤ 1
P() = 1
Se A e B são eventos mutuamente
exclusivos então:
P(A U B) = P(A) + P(B)
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10
Probabilidade com Eventos
Várias conseqüências relacionadas a P(A) decorrem
das condições citadas anteriormente.
 Se A for o evento vazio (), então:
P(A) = P() = 0
 Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
 Se for o evento complementar de A então:
P(A) = 1 – P(A)
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Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento
.
Denotaremos por P(B|A) a probabilidade
condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido.
P( A  B)
P( B | A) 
, desde que P( A)  0.
P( A)
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12
Exemplo:
Resultado do desempenho de um novo teste de diagnóstico para câncer
de mama em 200 pacientes com nódulo mamário único.
Biópsia
Novo Positivo
Teste Negativo
Positivo
Negativo
65
70
135
35
30
65
100
100
200
Sensibilidade = P(Novo Teste+| Biópsia +) = 65/100
Especificidade = P(Novo Test -| Biópsia -) = 30/100
VPP (do teste) = P(Biopsia +|NovoTest +) = 65/135
VPN (do teste) = P(Biópsia -|NovoTest -) = 30/65
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13
Independência de Eventos
Dado dois eventos A e B de um espaço amostral ,
diremos que A independe de B se:
P(A | B) = P(A)
Isto é, independe de B se a ocorrência de B não afeta a
probabilidade de A.
Dois eventos A e B são chamados independentes se
P(A  B) = P(A) x P(B).
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14
Variável Aleatória
Quando os valores assumidos por uma variável são o
produto de fatores casuais e estes não podem ser preditos
com exatidão, esta variável é chamada de aleatória.
Exemplo: número de alunos aprovados no primeiro
período 2014 da UFAM no curso de Odontologia.
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15
Variável Aleatória
Se a variável aleatória pode assumir somente um
particular conjunto de valores (finito ou infinito
enumerável), diz-se que é uma variável aleatória
discreta.
Uma variável aleatória é dita contínua se pode assumir
qualquer valor em um certo intervalo.
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16
Função de Probabilidade
É a probabilidade de que uma variável aleatória “X”
assuma o valor “x”. É representada por P(X = x) ou P(x) e
pode ser:
 Discreta
 Contínua
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Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta
É a função de probabilidade no ponto, ou seja, é o
conjunto de pares
(xi ; P(xi)), para i = 1, 2, ..., n, ...
Para cada possível resultado de x teremos:
(i)
0 ≤ P(x) ≤ 1
(ii)
 Px i   1

i1
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18
Esperança e Variância de uma variável aleatória
discreta
Esperança de X,
EX    x iPx i 

i1
Variância de X,
2
Var X    x i  EX  .P x i 

i1
ou
Var(X) = E(X²) – [E(X)]²
onde EX2    x i2 .Px i 

i 1
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19
Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória
Contínua
É uma função de probabilidade quando X é definida
sobre um espaço amostral contínuo.
Se quisermos calcular a probabilidade de X assumir um
valor x entre “a” e “b” devemos calcular:
Pa  x  b   f x dx
b
a
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20
Distribuição de Probabilidade de uma Variável Aleatória
Contínua
f(x)
x
a
b
Onde a curva limitada pela área em relação aos
valores de x é igual a 1
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21
Função de Densidade de Probabilidade
A função f(x) é uma função de densidade de
probabilidade (f. d. p.) para uma v. a. contínua X,
definida nos reais quando
(i) f x   0;
(ii)

 f x dx  1;

(iii) Pa  x  b    f x  dx.
b
a
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Distribuições de Probabilidade
 Binomial
 Poisson
 Normal
 Normal Padrão
 Qui-quadrado
 t-student
 F de Snedecor
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Distribuição Binomial
Um experimento aleatório é
chamado
binomial se em n repetições:
1) Os ensaios são independentes;
2) Cada resultado do ensaio pode assumir somente
uma de duas possibilidades: sucesso ou fracasso;
3) A probabilidade de sucesso em cada ensaio,
denotado por p, permanece constante.
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24
Distribuição Binomial
A probabilidade de obtermos exatamente x
sucessos em n tentativas é:
P  X  x    n  p x(1  p)n  x
x
x  0 ,1,...,n.
E(X) = np e Var(X) = np(1 – p)
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25
Exemplo:
Uma mulher engravida 20 vezes. Qual a probabilidade de
nascerem 8 meninas?
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26
Solução:
Seja X: número de sucessos (meninas);
m = nascer menina.
1
X = 0, 1, 2, ..., 20  p = P(m) =
2
1

 X~ B  20, 
2

8
12
 20  1   1 
P(X = 8) =       0,12013
 8  2   2 
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27
Exemplo:
Suponha que 30% dos indivíduos de uma população
sejam contrárias a um projeto de saneamento municipal.
Se sortearmos 10 indivíduos desta população (amostra)
qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4
indivíduos sejam favoráveis?
Seja X o nº de indivíduos favoráveis;
10 
4
6
P(X = 4) =  0,7  0,3  0,0367569  3,7%
4
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28
Distribuição Normal
A distribuição normal é uma distribuição em forma
de sino que é usada muito extensivamente em
aplicações estatísticas em campos bem variados. Sua
densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por:
1
 1
2


f x  
exp 
x


,   x  
2

 2
 2

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29
Distribuição Normal
Sua média é  e sua variância é 2. Quando X tem
uma distribuição normal com média  e variância 2,
escrevemos, de forma compacta, X  N (,2).
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30
Distribuição Normal
Características:
Simétrica em relação à média  ;
A média, moda e mediana são iguais;
A área total sob a curva é igual a 1, 50% à esquerda e
50% à direita da média.
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31
Distribuição Normal
A área entre  - 1 e  + 1 é aproximadamente 68%
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32
Distribuição Normal
A área entre  - 2 e  + 2 é aproximadamente 95%
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33
Distribuição Normal
A área entre  - 3 e  + 3 é aproximadamente 99,7%
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34
Distribuição Normal
A distribuição normal é completamente determinada
pelos parâmetros  e 
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35
Distribuição Normal Padrão
Caracterizada
pela
média igual a zero e desvio
padrão igual a 1.
Se X tem distribuição
normal com média  e
variância 2 então:
Z
X  

f z  
 z2 
1
exp 
,    z  
2
 2 
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36
Distribuição Normal
Exemplo: (Predição de uma valor) Suponha uma população normal com
colesterol médio de 200mg% e desvio padrão de 20mg%. Qual é a
probabilidade de um indivíduo sorteado ao acaso desta população apresentar
um colesterol entre 200 e 225 mg%?
A estatística Z mede quanto um determinado
valor afasta-se da média em unidades de
desvio padrão
(quando coincide c/ a média, o escore é Z = 0)
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37
Distribuição Normal
Consultando a Tabela de Distribuição normal, ou um
programa estatístico vemos que
a probabilidade de Z assumir valor entre 0 e Z = 1,25 é
0,3944 ou 39,44
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38
Exemplo:
Seja X: N(100, 25). Calcular:
 = 100 e  = 5 →
X  100
Z
5
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39
Solução:
a) P(100  X  106 )
P(100  X  106 ) =
106 - 100 
 100 - 100
P
Z

5
5


= P(0  Z  1,2 )
= 0,384930
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40
Solução:
b) P(89  X  107)
P(89  X  107) =
107 - 100 
 89 - 100
P
Z

5
5


= P(-2,2  Z  1,4)
= P(-2,2  Z  0) + P(0  Z  1,4)
= 0,486097 + 0,419243
= 0,90534
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41
Exemplo:
Sendo X: N(50, 16), determinar X tal que:
 = 50,  = 4
a) P(X  X) = 0,05
Procurando no corpo da tabela 0,45 (0,5 – 0,05),
encontramos: Z= 1,64
como
Xα  μ
Zα 
σ
→
X α  50
1,64 
4
 X= 56,56 P(X  56,56) = 0,05
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42
Solução:
b) P(X  X) = 0,99
Procurando no corpo da tabela 0,49 (0,5 – 0,01),
encontramos: Z= 2,32
X α  50  X = 59,28
2,32 

4
P(X  59,28) = 0,99
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43
Distribuição 2 (Qui-quadrado)
Uma v. a. contínua Y, com valores positivos, tem uma
distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade
(denotada por χ²(n) ), se sua densidade for dada por
1

y n 21e  y 2 , y  0

f y ; n    n 22n 2

y  0.
0,
E(Y) = n, Var(Y) = 2n.
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44
A Distribuição 2 (Qui-quadrado) pode ser vista
como:
 O quadrado de uma v.a. com distribuição normal
padrão é uma v.a. com distribuição 2(1) ( seja
Z~N(0,1) e considere Y = Z2. Então Y~2(1) );
 A distribuição 2n é a distribuição da soma de n
variáveis normais independentes padronizadas.
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45
Distribuição t de Student
Se X  N(0, 1) e Y  2n e X e Y são independentes, então
t=
X
tem densidade dada por
Y /n
n  1 2
 n 1 2
2
1  t n 
f t ; n  
,    t  .
n 2 n
tal v. a. tem distribuição t com n graus de liberdade.
n
E(t) = 0, Var(t) =
.
n2
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46
A distribuição t é uma distribuição simétrica
como a normal, um pouco mais achatada e com
caudas mais longas que a normal.
Quando o tamanho da amostra cresce, a
distribuição t se aproxima da normal.
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47
Distribuição F
2
2


Se Y1  n1 e Y2  n e Y1 e Y2 são independentes, então
2
Y1 / n1
W=
Y2 / n2
tem densidade dada por
n1  n2  2  n1
g w ; n1 , n2  

n1 2n2 2  n2



n1 2
w n1 2  2
n1  n2  2 , w  0.
1  n1.f n2 
tal v. a. tem distribuição F com graus de liberdade n1 e
n2. Escrevemos WF(v,r).
n2
2n2 n1  n2  2 
E(W) =
, Var(W) =
2
n2  2
n1 n2  2  n2  4 
2
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48
Distribuições de Probabilidade
0
1
2
3
4
5
6
0,0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,3
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,4
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,5
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,6
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,7
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,8
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,9
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
1,0
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
1,1
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
1,2
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
1,3
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
1,4
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
Probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,25
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49
Tipos de Estimações de Parâmetros
i) Estimação Pontual
ii) Estimação Intervalar
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50
Estimador e estimativa
População:
Amostra:
Média =
µ
Variância =
σ²
Proporção =
π
Média =
X
estimador de µ
Variância =
S²
estimador de σ²
Proporção =
p
estimador de π
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51
Estimação intervalar
Limitação
da
estimação
pontual

desconhecimento da magnitude do erro que se
está cometendo;
Surge a idéia da construção de um intervalo que
contenha, com um nível de confiança conhecido, “
valor verdadeiro do parâmetro”;
baseado na distribuição amostral do estimador
pontual.
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52
Erro Máximo da Estimativa
 Representa a diferença máxima (erro) que será
permitida entre a estimativa pontual ( X ) e o valor
verdadeiro do parâmetro que está sendo estudado (μ).
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53
Erro
Erro  X  
 X  Z 2

X
n
LI – Limite Inferior
*

S  X  Z 2

n
LS – Limite Superior
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54

Intervalo de Confiança da Média Populacional

LI – Limite Inferior
LS – Limite Superior
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55
Intervalo de confiança com variância
desconhecida
População
X
(µ, σ²)
amostra 1
Amostra
n1
X 1  1, 96 S x
X
X
 1,96 
X 2  1, 96 S
X  1,96 
x
X1
n2
amostra 2
Amostra
µ
x
X2
x
amostra k
Amostra
nK
X
k
 1 , 96 S
Xk
x
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95% dos intervalos
Contêm µ
56
Estimação Intervalar
 É o intervalo definido pela estimativa
pontual mais ou menos o erro máximo
da estimativa.
X 
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57
Média populacional, quando σ é
desconhecido
 IC para média;
 Estatística de t de Student.
X 
t 
S
n
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58
Intervalo de confiança da média
 Substituindo o t
P(t / 2  t  t / 2 )  1  
P ( t / 2
X 

 t / 2 )  1  
S
n
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59
Intervalo de Confiança da média
 Na tabela de t de Student
S
S 

P  X  t( n1; / 2)
   X  t( n1; / 2)
  1 
n
n

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60
Amostra de tamanho n ≤ 30
 Para amostra de tamanho n ≤ 30 da população de interesse;
 Calcule os valores de X e S;
 Escolha o valor do coeficiente de confiança 1 – α ;
 Determine os valores de t(α/2;n – 1) apartir da tabela da
distribuição t de Student;
 Calcule os limites do intervalo de confiança.
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61
Intervalo de Confiança da média
 Com um nível de confiança
(1   ) 100%
S
S 

; X  t( n1; / 2)
 X  t( n1; / 2)

n
n

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62
Encontre: média e desvio padrão
n
 Média
X 
X
i 1
i
n
 Desvio Padrão
n
S 
X
i 1
2
i
 n

  Xi 

  i 1
n
n 1
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2
63
Como calcular o Intervalo de Confiança da
média ?
 Os intervalos de confiança da média
X

  t( n1; / 2)
S
n
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64
Encontre o valor de t de Student
gl
n-1
n-1
α
0,05
0,01
2
4,303
9,925
...
...
...
8
2,306
3,355
...
...
...
1,960
2,576

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65
Como calcular o intervalo de confiança
da média?
 Os intervalos inferior e superior
X

Limite Inferior  X  
Limite Superior  X  
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Exemplo
Uma amostra de tamanho 9, extraída de uma
população normal com X = 1,0 e S = 0,264.
Construir intervalos de 95% e 99% de confiança para
média populacional.
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Resultado
 Para 1 – α = 95%  α = 0,05; α/2 = 0,025
 graus de liberdade = 9 – 1 = 8, X = 1,0 e S = 0,264.
0, 264
  2,306
 0, 2029
9
X

[0,797; 1,203].
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Resultado
 Para 1 – α = 99%  α = 0,01; α/2 = 0,005
 graus de liberdade = 9 – 1 = 8.
 Intervalo: ∆  [3,355(0,264/3)] =0,088
 LI=0,912
 LS=1,088
 [0,912; 1,088].
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Resultado
 Para 1 – α = 95%  α = 0,05; gl = 9 – 1 = 8.
 Intervalo:  [0,797; 1,203].
 Para 1 – α = 99%  α = 0,01; gl = 9 – 1 = 8.
 Intervalo:  [0,705; 1,295].
 Nota: aumentando o nível de confiança, o tamanho do
intervalo também aumenta.
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Estimação da média
 Estimativa por ponto, a qual consiste em apenas um valor da
média=1;
 O intervalo de confiança para o parâmetro (μ), estamos
fazendo uma estimativa por intervalo.
 Intervalo de 95% de confiança [0,797; 1,203];
 Intervalo de 99% de confiança [0,705; 1,295];
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Tabela 1 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro
(físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época
seca.
São Raimundo
Educandos
Tarumã
Parâmetros Químicos e
Biológicos
Inferior
Superior
Inferior
Superior
Inferior
Superior
Limites do
CONAMA 357
pH
5,88
7,15
5,14
6,66
4,69
5,23
6a9
Cond. Elétrica
73,8
233,92
109,46
283,38
8,37
10,7
-
Turbidez
12,36
38,14
4,14
21,03
0
23,84
<40unt
O2
0,91
3,9
1,49
2,92
5,47
6,97
>6mg/L
NO3
0,1
0,25
0,08
0,3
0,02
0,06
10,0m/L
NH4
0,37
4,11
3,48
6
0
0,07
-
Ferro Total
0,31
1,56
0,61
2,83
0,06
0,37
-
Ferro Dissolvido
0,01
0,15
0
1,14
0,01
0,08
0,3mg/L
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Tabela 2 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro
(físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época
chuvosa.
São Raimundo
Educandos
Tarumã
Parâmetros Químicos e
Biológicos
Inferior
Superior
Inferior
Superior
Inferio
r
Superior
Limites do
CONAMA 357
pH
5,32
7,1
5,15
6,66
4,6
5,24
6a9
Cond. Elétrica
66,63
218,18
92,88
249,76
6,99
13,8
-
Turbidez
2,99
31,67
68,09
274,55
0,19
12,98
<40unt
O2
1,16
2,69
1,52
4,65
6,65
7,73
>6mg/L
NO3
0,04
0,26
0,01
0,52
0,02
0,04
10,0m/L
NH4
1,26
6,44
1,59
5,35
0,13
0,21
-
Ferro Total
0,87
4,02
0,87
4,01
0,07
0,38
-
Ferro Dissolvido
0,04
0,12
0,06
0,2
0,02
0,06
0,3mg/L
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Teoria da estimação
Estimação por intervalo
 Intervalo de confiança para a média da população quando 
é conhecido.
 Intervalo de confiança para a média da população quando 
é desconhecido.
 Intervalo de confiança para a variância da população.
 Intervalo de confiança para o desvio-padrão da população.
 Intervalo de confiança para uma proporção populacional
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Exercício prático
 Considerando-se que uma amostra de cem elementos
extraídas de uma população aproximadamente normal, cujo
desvio-padrão é igual a 2,0, forneceu média x =35,6,
construir um intervalo de 95% de confiança para a média
dessa população
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