O Átomo de Bohr - Instituto de Física / UFRJ

O Modelo Atômico de
Bohr
A estrutura do átomo revelada.
O Espectro Atômico
Radiação Contínua
Hidrogênio
Hélio
Mercúrio
O Espectro Atômico
A assinatura do átomo

Produção e observação do espectro:





Descarga elétrica passa através de gás
monoatômico contido em um tubo.
Colisões com elétrons e mesmo entre si
levam os átomos a energias mais altas.
Ao retornarem para o estado normal os
átomos liberam esse excesso de energia na
forma de radiação eletromagnética.
Ao passar por uma rede de difração (ou
prisma) o espectro é separado em seus
comprimentos de onda e registrado em uma
placa fotográfica para medição.
A natureza do espectro atômico:

Ao contrário do espectro contínuo emitido por
corpos sólidos a altas temperaturas, o
espectro atômico revela-se como um
conjunto discreto de comprimentos de onda.

Emissão característica:



Átomos de diferentes elementos revelam
espectros discretos específicos.
Informação de grande importância
prática na identificação atômica.
Contudo apresenta em geral grande
complexidade com espectros de
centenas de linhas.
O átomo de Hidrogênio
A Série de Balmer
 n2 

  0   2
n 4


O espectro atômico do Hidrogênio




O espectro do H é o mais simples.
Parte do espectro característico do H se
localiza na região do visível.
Observa-se que os ’s diminuem em
separações cada vez menores, indicando
uma série que converge para um valor limite
0= 364,56 nm.
J. Balmer (1885) estabeleceu
empiricamente a fórmula que reproduz os
valores da série de linhas para n= 3, 4, 5 ...
A fórmula de Rydberg


J.R. Rydberg (1890) desenvolveu uma
forma mais conveniente de expressar
as séries em termos do recíproco do
comprimento de onda ( = 1/)
Para a série de Balmer:

1 
 1
 RH  2  2 

2 n 
1
RH= (10.967.757  1) m-1
(por medidas espectroscópicas)


O Átomo de Bohr
Modelo para o átomo de um elétron

Os postulados de Bohr (1913)
1.
2.
3.
4.
O elétron orbita o núcleo em movimento
circular sob a ação da força
coulombiana conforme as leis da
mecânica clássica.
Só é possível ao elétron mover-se em
órbitas para as quais o seu momento
angular seja múltiplo inteiro de ћ (h/2).
Apesar do elétron estar constantemente
acelerado, ele não irradia.energia
eletromagnética na órbita permitida .
Radiação eletromagnética só é liberada
quando o elétron “salta” de forma
descontínua de uma órbita com energia
Ei para outra com energia Ef, tal que a
frequência da radiação emitida é dada
por: = (Ei – Ef)/h.

Desenvolvimento do modelo






Núcleo: carga +Ze e massa M
Elétron: carga –e e massa m (m << M)
em órbita circular de raio r.
Fc= mv2/r = (1/40).Ze2/r2
L= mvr= cte.
Quantização: L= n.ћ (n= 1, 2, 3 ...)
Raio e velocidade das órbitas
n 2 2
r  40
mZe2

Ze 2
v

40 n
1
Energia total

E= U + K
Ze 2
U 
40 r
Ze 2
K
80 r
A solução de Bohr
Átomo nuclear estável e espectro explicados
Níveis discretos de energia

mZ 2e 4
1
En  

(40 ) 2 2 2 n 2
O Espectro atômico discreto

Salto quântico do nível ni  nf

1



c
E  E   

i
f
hc
k

1  mZ 2e 4  1
1 


 4  4 3c  n 2 n 2 
0 
i 

 f
2
 1
1 
 R Z 2  2  2 
n


 f ni 
1
Constante de Rydberg calculada pelo
modelo para o H, com os valores
conhecidos das constantes universais:
me4
R  2 3  1,096897 107 m
8 0 h c
A solução de Bohr
A precisão do modelo para o átomo de Hidrogênio

Núcleo de massa finita
Até para o H (M  2000.m), a aproximação
M   é bastante razoável.
Contudo pode-se adotar a correção de
massa finita do núcleo com (M  1836.m),
substituindo o valor da massa do elétron
pela sua massa reduzida nas equações:

 m.M/(m+M)

A Cte. de Rydberg corrigida:

RM R./m= 10.968.100 m-1



Valor que concorda com dados de
medidas espectroscópicas em cerca de
3 partes por 100.000!
RH= (10.967.757  1) m-1
Como apresentado antes.

O caso do Deutério (D)



Isótopo do H com 1 neutron: MD 2M
Produz um deslocamento das linhas ()
do espectro para valores ligeiramente
menores.
Linha H (vermelha) da série de
Balmer para D:
O Experimento de Franck-Hertz
Comprovação independente dos estados quantizados
de energia do átomo

J. Franck e G. Hertz (1914)


Tradução comentada - Copyright ©
Michael Richmond
Simulação do Experimneto de FranckHertz
Generalização das Regras de Quantização
Casos particulares
Planck: E= nh
Bohr: L= nћ
•
Caso do OHS unidimensional
Partícula submetida a uma força tipo: F= -kx
Energia total:

Regras de Wilson e Sommerfeld
(1916)

Para todo sistema físico, cujas coordenadas
sejam funções periódicas do tempo, a
condição de quantização de cada
coordenada será tal que:
 p dq  n h
q
E= K + V
px2 k.x 2
px2
x2
E

1 

2m
2
2mE 2 E / k
Neste caso:
e como
 px dx 
2E
 nh
k m
k m  2
q
Sendo q a coordenada em questão e pq o
momento associado a q.
Integração sobre um ciclo da coordenada.
Temos finalmente:
E

 nh
Reproduzindo a Lei de quantização de Planck.
Generalização das Regras de Quantização
•
Caso da partícula em órbita circular
Elétron atômico em órbita de raio r.
Momento angular:
L= mvr= cte.
 p dq   Ld
Neste caso:
•
Interpretação de de Broglie (1924)
Para a regra de quantização de Bohr.
L= mvr = pr = nh/2π
mas, p= h/λB
q
então: 2πr= nλB (n= 1, 2, 3 ...)
Assim:
2
L  d  2L  nh
0
Temos finalmente:
Ln
h
2
Reproduzindo a lei de quantização de Bohr.
As órbitas permitidas, aos elétrons
atômicos, são aquelas para as quais a
circunferência contém, exatamente um
número inteiro de comprimentos de onda
de de Broglie.
As ondas de de Broglie e as órbitas de Bohr
O Modelo de Sommerfeld
A estrutura fina do átomo de hidrogênio

Órbitas elípticas
Semi-eixo maior: a
Semi-eixo menor: b
Distância entre focos: F1-F2= 2c
Excentricidade: e= c/a

Regras de Quantização
 Ld  n h  L  n   (n  1,2,3...)
 p dr  n h  L(a / b  1)  n   (n
r
r
r
r
 0,1,2,3...)
E uma 3ª equação p/força centrípeta.
O Modelo de Sommerfeld
A estrutura fina do átomo de hidrogênio

A solução de Sommerfeld
Para átomo de um elétron de massa reduzida μ.

Forma e tamanho das órbitas:
n
n 2 2
a  40
b  a
2
Ze
n

Números quânticos:
n= nθ + nr
nθ= 1, 2, 3 ...n

(principal)
(azimutal)
Energia total:
Z 2 e 4
1
E

40 2 2 2 n 2
Estados degenerados de energia (mesmo n).
Ou seja, mesma energia para diferentes órbitas
com mesmo nº quântico principal.
O Modelo de Sommerfeld
Removendo a degenerescência

Correção relativísticas da me

A estrutura fina do hidrogênio
Cálculo de Bohr mostrou que: v/c ≈ 10-2
produz correções de ≈ (v/c)2 em me e E
Que é da ordem (10-4) de separação das
linhas de estrutura fina, observadas no
espectro do hidrogênio!

Velocidade média dos elétrons
Dependerá da elipcidade da órbita (nθ)

Recalculando a Energia total:
Z e
1   Z
E

1 
n
40 2 2 2 n 2 
2 4
2
2
 1
3 
  
 n 4n 
e2
1
  7,297 103 
Onde,  
40 c
137
1
É a constante de estrutura fina.
As transições observadas são
representadas pelas setas de linha cheia.
Transições permitidas são definidas pela
seguinte regra de seleção:
nθi – nθf =  1
O Princípio da Correspondência
Uma justificativa para as regras de seleção

Enunciado de Bohr (1923)
1.
2.
As previsões da teoria quântica para o comportamento de
qualquer sistema físico deve corresponder às previsões da
física clássica no limite em que os números quânticos que
especificam o estado do sistema se tornem muito, muito
grandes.
Uma regra de seleção deve ser verdadeira para toda a faixa
do número quântico considerado. Assim, qualquer regras
que sejam necessárias para obter a correspondência no
limite clássico (n grande) se aplica igualmente no limite
quântico (n pequeno).