6.a Aula _N8SC3_Relação entre a Equação de Estado e a

Sistemas de Controle III
N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
6.a Aula: Relação entre a Equação de Estado e a Transformada de Laplace
Solução da Equação de Estado com Condições Iniciais
(Resposta Temporal)
 Se A é uma matriz n x n , onde n  2 e b é um vetor coluna com n elementos,
a solução da equação (1):
.
x  Ax  bu
(1)
 Com as condições iniciais (2):
x0  x(t0 )
(2)
 Será dada por (3):
t
x(t )  e x0   e A(t  )bu ( )d
At
0
(3)
Aplicação em Análise de Circuito
1) Dado o circuito RLC série. Determine a corrente iL(t) no indutor e a tensão
vC(t) no capacitor. Condições iniciais são dadas:
Dados:
VS  0 (t )  1V
Condições iniciais:
RS  1
i L (0 )  0
LS  1/ 4 H
CS  4 / 3 F
vC (0 )  0.5V
1. Equação de estado, calculada anteriormente:
. 
 x1    4 4   x1    4  (t )
 .  3 / 4 0   x 2  0  0
 x2 
2. Matriz de Transição, também calculada anteriormente:
`0.5e  t  1.5e 3t 2e t  2e 3t 

e At   3  t 3 3t

e  e
1.5e  t  0.5e 3t 
 8

8
3. Solução da equação com as condições iniciais dada:
t
x(t )  e x0   e A(t  )bu ( )d
At
(3)
0
4. Tem-se:
 4 4 
A

3
/
4
0


iL (0)  0 
x0  



v
(0)
1/
2


 C 
4
b 
0 
5. Calculando-se o primeiro termo da equação (3):
`0.5e  t  1.5e 3t 2e t  2e 3t 
0 
At


e x0 


 3 e  t  3 e 3t
1.5e  t  0.5e 3t  1/ 2 
 8

8
6. Primeiro termo da equação (3):
t
3t



e

e
At
e x0  
t
3t 
0.75
e

0.25
e


6. Caculando-se a Integral (Int) do segundo termo da equação (5):
 4  1 
b      4
0  0
`0.5e (t  )  1.5e3(t  ) 2e (t  )  2e3(t  ) 
1 


Int  
4d
 ( t  )
3( t  )   
 3 e (t  )  3 e3(t  )
0
1.5e
 0.5e

0
 8

8
t
 0.5e (t  )  1.5e3( t  ) 
 4d
Int    3  (t  ) 3 3(t  )
 e


e
0
 8

8
t
7. Integral em relação a

:
 ( t  )
3( t  )
t
 0.5e

 0.5e
Int  4 
 ( t  )
3( t  ) 
 0.125e
0.375e
 0
 0.5e t  0.5e 3t

 0.5  0.5 
Int  4 
4

t
3t 
0.375

0.125


0.375e  0.125e 
0.5e  t  0.5e 3t

Int  4 
t
3t 
0.25  0.375e  0.125e 
Substituindo-se os valores encontrados na equação (3) Solução da
Equação de Estado com Condições Iniciais:
t
x(t )  e x0   e A(t  )bu ( )d
At
(3)
0
t
3t

0.5e  t  0.5e 3t

 x1   e  e
 4
x   
t
3t 
t
3t 
 2  0.75e  0.25e 
0.25  0.375e  0.125e 
t
3t

 x1   e  e
x   
t
3t 
 2  1  0.75e  0.25e 
 Assim sendo:
a) Corrente no indutor iL(t):
t
x1  iL  e  e
3t
b) Tensão no capacitor vC(t):
x2  vC  1  0.75e t  0.25e 3t
 Outros valores podem ser computados, como por exemplo :
c) Tensão no indutor vL(t):
diL 1 d t 3t
1 t 3 3t
vL  L

(e  e )   e  e
dt 4 dt
4
4
d) Use um script no MATLAB para determinar a curva da tensão no
capacitor vC(t):
Solução:
e) Obter a curva de tensão anterior, no SIMULINK, utilizando o bloco
“State-Space”, o bloco de função “unit step” como entrada e o bloco
“Scope” para visualizar a forma de onda. Parametrizar o bloco “StateSpace” com:
A :[4 -4; 3/4 0]
B: [4 0]'
C : [0 1]
D: [0]
Initial conditions: [0 0.5]
Solucao:
2) Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema. Onde u(t) é a funcao
degrau unitário ocorrendo t=0, ou u(t) = 1t.
. 
 x1    0 1   x1   0  [  ]
 .   2 3  x2  1 
 x2 
Solucao:
0 1
A

 2 3
0 
B 
1 
Calculando a matriz de transicao de estado:
t
2t

2
e

e
e At  
t
2t

2
e

2
e

et  e2t 
t
2t 
e  2e 
A resposta á entrada degrau unitário é entao obtida como:
 ( t  )
2( t  )

2
e

e
x(t )  e At x0   
 ( t  )
2( t  )

2
e

2
e
0
t
e (t  )  e2(t  )  0
[1]d
 ( t  )
2( t  )   
e
 2e
 1 
 x1 (t )   2e  t  e 2t
 x (t )   
t
2 t

2
e

2
e
 2  
 1  t 1 2t 
x
(0)

 1   e  e 
e e
 2
2

t
2 t  


e  2e   x2 (0) 
t
2 t
e  e

t
2 t
e At
t

0
Se o estado inicial é zero, ou x(t) = 0. Entao, x(t) pode ser simplificado:
 1  t 1 2t 
 x1 (t )    e  e 
2
 x (t )    2

 2   e  t  e 2 t


2.o Método da Computação da Matriz de Transição de
Estado
A matriz de estado
e
At
pode ser computada a partir da Transformada Inversa
de Laplace.
 Considere a equação de estado (1):
.
x  Ax  bu
(1)
 Aplicando-se Laplace em ambos os lados da equação de estado dada:
sX ( s)  x(0)  AX ( s)  bU ( s)
(5)
( sI  A) X ( s )  x(0)  bU ( s )
(6)
1
(
sI

A
)
 Multiplicando-se ambos os lados da equação por
:
X (s)  (sI  A)1 x(0)  (sI  A)1 bU (s)
(7)
 Comparando-se (7) com a Solução da Equação de Estado com
Condições Iniciais (3):
t
:
x(t )  e x0   e A(t  )bu ( )d
At
0
(3)
 Por similaridade observa-se que o lado direito da equação (7) é a
Transformada de Laplace da Solução da Equação de Estado com
Condições Iniciais (3).
Assim
pode-se
:
computar
a
matriz
de
diretamente da Transformada Inversa de ( sI  A)1 :
1
e L
At
(sI  A) )
1
(8)
transição
de
estado
 Exercício:
1) Obtenha a matriz de transição de estado do sistema abaixo. Obtenha
também a inversa da matriz de transição de estado:
. 
 x1    0 1   x1 
 .   2 3  x2 
 x2 
Solucao:
0 1
A


2

3


e At  L1 ( sI  A) 1
Como:
1 0  0 1   s 1 
sI  A  s 
   2 3   2 s  3
0
1

 
 

A inversa será dada por:
 s  3 1
1
( sI  A) 
( s  1)( s  2)  2 s 
1
s3

 ( s  1)(( s  2)

2

 ( s  1)( s  2)

1

( s  1)( s  2) 

s

( s  1)( s  2) 
A matriz de transicao será dada por:
t
2t

2
e

e
e At  
t
2t

2
e

2
e

et  e2t 
t
2t 
e  2e 
A inversa da matriz de transicao será :
e At
 2et  e2t

t
2t

2
e

2
e

et  e 2 t 
t
2t 
e  2e 