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TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
Aula 9: 29 e 30/03/2012
Casos especiais de escoamento
 8.1. Sistemas não isotérmicos
 8.2. Diâmetro equivalente
 8.3. Diâmetro econômico
 8.4. Gráfico de Karman
1
CASOS ESPECIAIS DE ESCOAMENTO
8.1. Sistemas não isotérmicos
Os métodos para cálculo do fator de atrito descritos até
agora são aplicáveis aos casos onde não há
transferência de calor (aquecimento ou resfriamento)
entre a parede e o fluido.
No entanto, quando um fluido é aquecido ou
resfriado durante o escoamento, existe uma
alteração nas suas propriedades físicas e o perfil
de velocidades muda com o gradiente de
temperatura existente no sistema.
2
Sistemas não isotérmicos
Este fenômeno é mais pronunciado nos líquidos
cujas
propriedades
reológicas
variam
sensivelmente com a temperatura.
Existem teorias bastante elaboradas para o efeito
da transferência de calor sobre a distribuição de
velocidades, porém para cálculos de engenharia
pode-se utilizar um método simples tanto para
gases como líquidos.
3
Descrição do método:
a) Calcular o número de Reynolds com valores de
parâmetros reológicos e densidade à temperatura
média. A temperatura média é a média aritmética das
temperaturas médias do fluido na entrada e saída da
tubulação.
Tentrada  Tsaída
T
2
ReT
Newtoniano:
ρ
Lei da potência:
ρ
T
T
μ
K
T
T
n
4
b) Com o valor do número de Reynolds e
com o parâmetro de rugosidade do tubo é
possível obter o fator de atrito (Fanning ou
Darcy) à temperatura média aritmética.
ReT

D
Fluido Newtoniano – Reg. Turbulento
Diagrama de Moody
ou Diagrama de Dodge-Metzner
f FT
Fluido de Lei da Potência – Reg. Turbulento
5
c) O fator de atrito obtido é corrigido mediante
uma correlação da viscosidade que leva em conta
o tipo de processamento térmico
 P 
f Fcorrigido  f F T  
  
B
onde:
P 
viscosidade do fluido à temperatura da parede do tubo
  T 
viscosidade do fluido à temperatura media aritmética
 kP 
f Fcorrigido  f F T  
Valido para k, índice de consistência do fluido.
 kT 
B
6
Valor da constante B para a correção do fator de
atrito em sistemas não-isotérmicos
B
Tipo de processo
térmico
Aquecimento
Resfriamento
Regime laminar
Re < 2100
0,38
0,23
Regime turbulento
Re > 2100
0,17
0,11
7
EXERCÍCIO:
Considere um fluido lei da potência escoando com vazão de 152
m3/h em um tubo liso de diâmetro interno de 2,5”.
A temperatura do fluido na entrada do tubo é de 20⁰C e, após
passar por um sistema de aquecimento, alcança 50⁰C na saída
do tubo. Na parede do tubo a temperatura é de 60⁰C.
Obtenha o fator de atrito para este sistema.
Dados: 17⁰Brix (considere que o Brix não varia com T)
8.2. Diâmetro Equivalente em tubos não cilíndricos
Até agora vimos o cálculo das perdas por atrito em tubos de
seção cilíndrica, no qual o líquido ocupa totalmente a área de
escoamento. Em tubos ou canais cuja seção não é
circular ou onde o escoamento ocorre em dutos
parcialmente cheios, se o escoamento é turbulento e
o fluido newtoniano, as técnicas anteriormente descritas
podem ser usadas, apenas se usa o diâmetro equivalente.
O diâmetro equivalente é definido, tradicionalmente,
como 4 vezes o raio hidráulico.
Deq  4 RH
9
Por sua vez, o raio hidráulico pode ser definido como:
RH 
Área da seção transversal de escoamento
Perímetro molhado
Portanto:
 Área da seção transversal de escoamento 
Deq  4 

Perímetro molhado


O perímetro molhado é a porção da parede numa seção
transversal do tubo, na qual existe contato com o fluido.
10
Diferentes situações de cálculo do diâmetro equivalente:
Tubo circular cheio
Deq 
 Área da seção transversa l de escoamento 

4 
Perímetro molhado


2
D

4
Deq  4
D
Deq  D
11
Tubos circulares concêntricos (área anular):


2
2
 Dext  Dint   Dext 2  Dint 2   D  D  D  D 
4
4
int
ext
int


Deq  4
 ext
 Dext   Dint
Dext  Dint
Dext  Dint
Deq  Dext  Dint
Tubo de seção quadrada:
L2
Deq  4
4L
Deq  L
12
Tubo circular cheio até metade
D eq
4
1
 
1 D 2
2 4
1 D
2
=D
13
Nesse caso, a energia de atrito total é calculada através da
equação de Fanning usando o diâmetro equivalente:
2

 2
L
v
Eˆ f   f F
2v   k f

 D 
2
eq 

O fator de atrito será obtido do diagrama de Moody
 vDeq
Re 

* A velocidade nas equações é a velocidade
média efetiva, calculada sem usar o diâmetro
equivalente:
V
vazão volumétrica
v 
A área transversal de escoamento real
14
Por exemplo, no caso de líquido dentro do anel
existente entre dois tubos concêntricos, a velocidade
efetiva é:
v
vazão volumétrica
área transversal do anel

V


4
2
2
Dext
 Dint

15
Exemplo: Diâmetro equivalente
Deseja-se saber qual será o tipo de tubulação que dará
menor perda de carga para a distribuição de ar: seção
circular ou quadrada? Suponha área de seção com 1 m2;
modelo newtoniano; relacione as perdas de carga
através de:
^
^
E f cir . / E f quad .
16
Supondo inicialmente que a velocidade seja a
mesma o fator de fricção muito similar, temos
^
E fcil.
^
E fqua.
_2 


L v 
 fF

 Dcil. 2  D
qua.




2
_ 
Dcil.


L v 
 fF

 Dqua. 2 


Agora, precisamos encontrar os diâmetros
das seções
17
Supondo uma área de seção de 1m2
Seção circular
A = π R2
1 = π R2
R = 0,5641 m
D = 1,128 m
Seção quadrada
A = L2
1 = L2
L = 1m
D eq = 1m
 Área da seção transversal de escoamento 
Deq  4 

Perímetro molhado


L2
Deq  4
4L
Deq  L
18
^
E fcil.
^
E fqua.

Dqua.
Dcil.
1

 0,88
1,128
A energia perdida por atrito por unidade de
massa em uma tubulação com seção
circular é, geralmente, 12% menor que na
seção quadrada.
19
8.3 VELOCIDADE E DIÂMETRO ECONÔMICO
A escolha do diâmetro da tubulação deve levar em
consideração os parâmetros econômicos e a disponibilidade
de diâmetros dos tubos comerciais.
Na escolha do diâmetro, dois fatores são importantes:
O custo da tubulação a ser instalada (custos fixos ou
depreciação do investimento inicial). Este custo aumenta a
medida que se escolhe diâmetros maiores.
O custo operacional do sistema, ou seja, a energia gasta no
bombeamento do fluido diminui com o aumento do diâmetro da
tubulação (custos operacionais).
20
Custo total
Custo da
tubulação
$/ano por
metro de
tubulação
Custo de bombeamento
D ótimo
Diâmetro
Figura: Determinação do diâmetro ótimo
A soma dos custos fixos mais os operacionais
apresenta um valor mínimo que é denominado
diâmetro econômico, aquele que minimiza os
custos totais de uma tubulação.
21
O diâmetro econômico pode ser determinado através
de duas metodologias:
1. Através de equações obtidas da derivação da
equação resultante da soma dos custos fixos e
dos operacionais. Este método exige dados reais de
tubulações e a obtenção de equações, porém fornece
o verdadeiro valor do diâmetro ótimo. No caso de
sistemas complexos de alto custo, este método é o
método a ser seguido.
2. Através da velocidade aconselhável ou velocidade
econômica. Este método é adequado para
pequenas e médias instalações e será o método que
usaremos nesta disciplina.
22
Obtenção do diâmetro econômico através da equação de
custos mínimos
Solução para fluidos newtonianos:
Denn, M.M.(1980) Process fluid mechanics, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, NJ.
Solução para fluidos newtonianos, da lei da potência e plásticos
de Bingham
Darby, R. & Melson, J.D. (1982). Direct determination of optimum
economic pipe diameter for non-Newtonian fluids, J. Pipelines, 2, 1121.
Solução para fluidos Herschel-Bulkley
Garcia, E.J. & Steffe, J.F. (1986) Optimum economic pipe diameter for
pumping Herschel-Bulkley fluids in laminar flow, Journal of Food
Process Engineering, 8, 117-136.
23
Obtenção do diâmetro econômico através da
velocidade econômica
Usa-se a velocidade aconselhada para um dado regime
de escoamento, considerando a viscosidade ou a
densidade. Com essa velocidade calcula-se o diâmetro.
Este método se baseia no fato de que as velocidades de
fluidos que escoam em tubos com diâmetros econômicos,
estão dentro de uma estreita faixa de valores.
Esses valores de velocidade variam em função da
densidade, quando o escoamento é turbulento e da
viscosidade, quando o regime é laminar.
24
Tabela: Valores de velocidade econômica para tubos com
diâmetro igual ou inferior a 4 polegadas.
óleo
Líquido viscoso
Escoamento Laminar
μ (cP)
v (m/s)
10
1
100
0,3 - 0,8
1000
0,1 - 0,24
água
Escoamento Turbulento
 (kg/m3 )
0,12
1,2
v (m/s) 12,5 - 15,5 5,5 - 7,7
12
800
1200
3,2 - 4,0
1,6 - 2,0
0,79 - 1,0
25
Escolhida a velocidade aconselhável através da tabela
anterior, para um fluido de densidade ou viscosidade
conhecidas, o diâmetro econômico será obtido pela
expressão:
Deco
4m
4V


veco
veco
Após o cálculo do diâmetro econômico, se consulta o
catálogo de tubulações para determinar a dimensão real do
tubo. O diâmetro escolhido corresponde a um dos
diâmetros-padrão e gera a velocidade efetiva.
26
Regra prática para a determinação do diâmetro ótimo
(válido para linhas de recalque):
A partir do diâmetro econômico calculado, procurase em tabelas de tubulações comerciais o valor do
diâmetro interno mais próximo.
No caso das linhas de recalque, pode-se escolher o
valor do diâmetro interno igual ou inferior ao
diâmetro econômico.
No caso de linhas de sucção devemos usar outro
critério, pois a perda de carga na sucção é crítica e
precisamos escolher diâmetros maiores que o
diâmetro econômico. E, também, linhas de
comprimento com o menor comprimento possível.
27
Exemplo: Diâmetro econômico
Deseja-se transportar óleo de soja a uma vazão
de 1,72 litros/s.
• Qual diâmetro
empregado?
de
tubulação
deve
ser
• Qual a velocidade real do sistema?
Dados:
ρ = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3
μ = 0,0336 kg/m.s
28
Supondo regime turbulento para o fluido
newtoniano, com o auxílio da tabela abaixo
podemos estimar uma velocidade econômica
de 1,5 m/s.
ρ = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3
0,12
1,2
 (kg/m3 )
v (m/s)
12,5 - 15,5 5,5 - 7,7
12
3,2 - 4,0
800
1,6 - 2,0
1200
0,79 - 1,0
O diâmetro econômico é calculado por:
Deco
4m
4V


veco
veco
Deco = 3,82.10-2 m
Deco = 1,5 in
29
Agora, devemos verificar se nossa suposição inicial (regime
de escoamento turbulento) está correta:
Re = Dvρ/μ
Re > 4000 = regime turbulento
Re = 1620
Regime laminar!
Suposição inicial não satisfeita !
Recalcular como regime laminar !
30
Supondo regime laminar para o fluido newtoniano,
com o auxílio da tabela abaixo podemos estimar uma
velocidade econômica de 0,9 m/s (lembrando que
0,0336 kg/m.s = 33,6 cP).
μ = 33,6 cP
 (cP)
10
100
1000
v (m/s)
1
0,3 - 0,8
0,1 - 0,24
O diâmetro econômico é calculado por:
Deco
4m
4V


veco
veco
Deco = 4,93.10-2 m
Deco = 1,94 in
31
Agora, devemos verificar se nossa suposição inicial
(regime de escoamento laminar) está correta:
Re = Dvρ/μ
Re < 2100 = regime laminar
Re = 1254 Considera-se regime laminar !
Suposição inicial satisfeita !
Agora, pode-se escolher um diâmetro comercial através
de um catálogo.
32
Deco = 4,93.10-2 m
Deco = 1,94 in
Tubo selecionado, considerando série 80:
Dinterno = 1,939 in = 0,04925 m
Dnominal = 2 in = 0,05080 m
33
Cálculo da velocidade real do sistema:
A vazão é conhecida e não se altera:

V  1,72.103 m3 / s

V
Então, a velocidade real é obtida com: v 
A
Onde, para o cálculo da área usa-se o diâmetro interno do
tubo comercial selecionado: Dinterno = 1,939 in = 0,04925 m
Velocidade real = 0,903 m/s
34
Exercício para fazer em sala e entregar:
Deseja-se transportar um fluido a uma vazão de
3 litros/s.
• Qual diâmetro
empregado?
de
tubulação
deve
ser
• Qual a velocidade real do sistema?
Dados:
ρ = 1200 kg/m3
μ = 10 cP
35
Tabela: tubos comerciais
36
8.4. Gráfico de Karman (fluidos newtonianos)
Geralmente se conhece a vazão, o diâmetro, as características do fluído
(μ e ) e do meio (rugosidade) e pode-se calcular Re.
Com esses valores obtém-se o fator de fricção com o gráfico de Moody
e se calcula a energia perdida no atrito com a parede.
Em certas ocasiões a energia utilizada para vencer o atrito viscoso
(Ef) é pré-determinada e se conhece o diâmetro. Neste caso para
calcular a vazão se utiliza o método interativo aproveitando o gráfico
que correlaciona o número de Karman (λ) com 1/fD
  Re
fD

Número de Karman
A velocidade é calculada com a
equação obtida da definição de energia
friccional:
^

v


_
1
fD
 2E f
.
 L
  
D
37
Gráfico de Karman
1
fD

D

38
Exemplo:
Água a 43ºC flui através de um tubo de aço comum ( = 4,6.10-5m),
de diâmetro nominal de 2” e comprimento de 20m. Os manômetros
indicam 30 psig no início da tubulação e 15 psig no final. A diferença
de altura é 3 m.
Aplicando o balanço de energia temos:
P.1

_2
_2
P1
^
v1
P2
v2 ^
 g .z1 
 W p   g .z 2 
Ef

2

2
P1
P.2
5m

P2
P1  P2
2m

_2
 g.( z1  z 2 )  f D
Lv
D 2
_
Reagrupando
temos:
1

fD
v
 P1  P2

2
 g z1  z 2 



L/D
Eq. 1
39
_
1

fD
v
^
P  P

2  1 2  g z1  z 2 
 

L/D
fD
Inserindo no número de Karman
  Re
1 2E f
  .
......[1]
v   L 
 
D

f D obtemos:
^
Re
fD
D v  1 2Ef

 .
 v   L 
 
D

D

 P1  P2

2
 g z1  z 2 
 

L/D
Eq. 2
40
Calculando cada termo da equação 2:
m
m2
g ( z1  z2 )  9,8 2 x 3 m  29,40 2
s
s
P
15 psig
Pa
m2

 6895
103,425 2
 1000 kg
psig
s
m3
L
20 m

 371,745
D 0,0538m
kg
0,0538 m 1000 3
D
s
m

 89666,67

m
3  kg 
0,6 x 10 

 m.s 
41
Substituindo os valores na equação 2:
103,425 m2/s2
29,40 m2/s2
89666,67 s/m

D

 P1  P2

2
 g z1  z 2 
 

L/D
  75798,84
371,745
42
Gráfico de Karman

1
7
fD
0.000046m

 0,000855
D
0.0538m
  75798,84
43
Do gráfico de Karman:
1
7
fD
Agora podemos calcular
através da equação 1:
 11
v  
 ff D
D

_
^
 2 E f
.
  L 
  
D
a
velocidade
média
_
m
v  5,92
s
44