Curso EB IST 2008 v0.1

Reconstrução Tomográfica em TC e em
Medicina Nuclear
•
•
Conceito de projecção e sinograma
Métodos de retroprojecção filtrada
– Noção de retroprojecção
– Filtragem no domínio espacial e no
domínio das frequências
– A Transformada de Fourier
– Teorema da secção central
•
Métodos iterativos
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01
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
1 Introdução
• As técnicas tomográficas TC e de Medicina Nuclear
(TCES – Tomografia Computadorizada de Emissão
Simples – e TEP – Tomografia de Emissão de Positrões)
permitem obter imagens segundo cortes axiais (tomos –
do grego tomo, que significa secção).
• A TC é uma modalidade de imagem médica baseada na
determinação dos coeficientes de atenuação da
radiação X, a qual é produzida exteriormente ao objecto
que se pretende estudar.
Imagens de transmissão.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
1 Introdução
• Já nas modalidades de imagiologia médica da Medicina
Nuclear, a fonte de radiação é interna ao próprio
indivíduo. Neste caso, pretende-se determinar a
distribuição espacial de moléculas marcadas com
isótopos radioactivos (radioisótopos).
Imagens de emissão.
Na base da obtenção de imagens tomográficas, estão
princípios, de natureza conceptual ou matemática, que é
necessário compreender.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
1 Introdução
• Fonte e imagens: as fontes de radiação podem ser
internas ou externas ao paciente.
Externa (RX)
Transmissão (RX)
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Interna (TCES)
Emissão (TCES)
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1 Introdução
• As imagens são então referidas como imagens de
transmissão ou de emissão:
Externa (TC)
Transmissão (TC)
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Interna (TEP)
Emissão (TEP)
05
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
1 Introdução
Externa
Transmissão (TC)
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Interna
Emissão (TEP)
06
Imagens:
http://www.griffwason.com/gw_images/
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1 Introdução
• Representação do objecto: pode ser projectiva (RX) ou
tomográfica (TC, TCES, TEP, IRM):
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
1 Introdução
Projectiva
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Tomográfica
08
Imagens:http://www.med.harvard.edu/JPNM/TF95_96/Sept26/ChestCT.GIF/
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2 Conceito de projecção e sinograma
• O princípio da reconstrução tomográfica foi apresentado
em 1917, por Johann Radon, um matemático austríaco,
que demonstrou que um objecto (3-D) poderia ser
reconstruído a partir de múltiplas projecções (2-D)
obtidas segundo ângulos diferentes.
• A descoberta de Radon só pôde, todavia, ser
implementada no final da década de 60, com a melhoria
das capacidades de cálculo dos computadores da
época. A aplicação à imagiologia só ocorreu na década
de 70, quando Hounsfield e Cormack apresentaram o
primeiro aparelho de TC.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
2 Conceito de projecção e sinograma
• Na base da reconstrução tomográfica está o conceito de
projecção, que é idêntico ao conceito de “incidência”.
Considere que obtém várias radiografias em torno de
uma pessoa (i.e., segundo vários ângulos). Se os
ângulos variarem de 10º em 10º, obteremos então 36
radiografias, para os ângulos 0º, 10º, 20º, ..., 350º.
Considere agora que para cada uma
radiografias, selecciona apenas as subregiões compreendidas entre as linhas
vermelhas mostradas na figura à direita.
neste caso, ficamos com 36 projecções
1-D, as quais constituirão um sinograma.
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das
36
10
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2 Conceito de projecção e sinograma
90º
0º
180º
270º
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
2 Conceito de projecção e sinograma
Alinhando
todas
as
projecções ao longo de
uma matriz, obtemos um
sinograma. No sinograma,
cada linha corresponde à
projecção 1-D obtida para
um determinado ângulo,
enquanto cada coluna
indica a distância medida
em relação ao centro da
imagem.
Chama-se
sinograma porque uma
estrutura quente aparece
como uma função seno.
0º
90º
180º
270º
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2 Conceito de projecção e sinograma
r1
r1, =45º
=180º
r2
r2, =225º

Reconstrução Tomográfica em TC e MN
2 Conceito de projecção e sinograma
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Imagens: Toga e Mazziotta, Human Brain Mapping,1996
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2 Conceito de projecção e sinograma
Sinograma do miocárdio, correspondente
à slice indicada à direita. Imagem da
direita reconstruída através do método de
FBP (filtered back-projection). É possível
observar a grande quantidade de
artefactos presentes na imagem da
direita.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Noção de retroprojecção:
A reconstrução tomográfica pode ser através de
métodos de retroprojecção filtrada, vulgarmente
designados FBP, do inglês filtered back-projection.
Veremos neste ponto em que consiste a retroprojecção,
chamando, no entanto, a atenção para o facto da
retroprojecção, por si só, não ser suficiente para obter
imagens tomográficas de boa qualidade. Como
veremos, é necessário filtrar as projecções antes da
retroprojecção, o que será explicado mais adiante.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Vejamos agora como se processa efectivamente a
retroprojecção. Para cada pixel da imagem de
coordenadas linha-coluna [m, n], a contribuição da
projecção obtida segundo o ângulo , medido em
relação à vertical, é calculada determinando o valor de r
(distância ao centro da projecção), através da
expressão: r  n cos   m sin 
• Note que o ponto r é calculado em
relação ao centro da projecção que
retroprojecta sempre para o centro
da imagem. Neste caso, as coordenadas m e n podem ser negativas.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Vejamos então as coordenadas (linha-coluna) dos
diversos pontos:
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Exercício 3.01:
Verifique a concordância da expressão anterior para
=0º, =90º, =180º e =270º.
• Note agora que sendo a projecção dada por uma
variável discreta, é improvável que para qualquer ângulo
 diferente de 0º, 90º, 180º e 270º o valor de r seja um
inteiro. Neste caso, o valor da retroprojecção, v(r), para
o pixel [m, n], com coordenadas [m+0,5 , n+0,5], é
calculado por interpolação da projecção. Existem
diversos métodos de interpolação à escolha, sendo os
mais usuais o de vizinho mais próximo ou o linear.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• No caso da interpolação por vizinho mais próximo, o
valor da retroprojecção, para o pixel [m, n], é dado por:
v(r )  p round(r  0,5)  0,5
em que round() corresponde à função arredondamento
e p à variável (discreta) projecção obtida segundo um
ângulo .
No caso de interpolação linear, o valor da retroprojecção
para o pixel [m, n], seria dado por:
v  p trunc(r  0,5)  0,5(trunc(r  0,5)  1  (r  0,5)) 
 p [trunc(r  0,5)  1  0,5]( r  0,5  trunc(r  0,5))
em que trunc() corresponde à função de truncagem.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Exemplos da função trunc:
trunc(0,8)=0; trunc(2,2)=2;
trunc(-0,4)=-1; trunc(-1,7)=-2
• Exercício 3.02:
Considere um sinograma dado pela matriz representada
à direita e acima. Calcule a contribuição da
retroprojecção no pixel a[1,5 ,-2,5], por interpolação de
vizinho mais próximo e linear, para as projecções =0º,
=10º e =20º.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Depois de apreendido o conceito de retroprojecção, é
necessário perceber o conceito de filtragem. Com efeito,
para se produzir uma imagem tomográfica, não basta
retroprojectar as sucessivas projecções nas direcções
perpendiculares às direcções em que estas foram
obtidas. Caso o fizéssemos, obteríamos, no final, uma
imagem tomográfica de baixíssima resolução espacial,
sem qualquer valor de diagnóstico.
• Atente no exemplo da figura seguinte; poderá ver que
caso não se proceda à filtragem das projecções, a
imagem final tem uma resolução espacial muito baixa.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
Projecções
Projecções
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Retroprojecção Resultado final
Projecções
filtradas
Retroprojecção
filtrada
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Não está surpreendido(a)? Vejamos então no caso de
imagens reais, reconstruídas com e sem filtragem das
mesmas projecções.
Como pode ver, a ausência de filtragem das projecções
faz com que a imagem reconstruída perca resolução
espacial e com que fique muito brilhante no centro,
devido às propriedades aditivas da retroprojecção.
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Imagens: amath.colorado.edu/courses/4380/2004fall/FB.ppt
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Mas então, o que é a filtragem? Neste caso, consiste em
retirar ou minimizar certas frequências espaciais que
estão presentes nas projecções, as quais são
responsáveis pela degradação da resolução espacial da
imagem tomográfica.
• Para percebermos correctamente este conceito,
deveremos familiarizarmo-nos com o trabalho de Jean
Baptiste Joseph, Barão de Fourier, que em 1807
mostrou que qualquer sinal periódico podia ser
representado através da soma ponderada de sinusóides
harmónicas. Duas sinusóides dizem-se harmónicas se a
frequência de uma é múltipla da frequência da outra.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• No entanto, o trabalho de Fourier não se limitou às
funções periódicas. Com efeito, ele demonstrou ainda
que qualquer função não-periódica com área finita, podia
ser descrita através do integral ponderado de senos e/ou
cosenos com diferentes frequências. Neste caso, falamos
de Transformadas de Fourier, cuja utilidade prática é
consideravelmente superior à das Séries de Fourier.
• O formalismo matemático introduzido pela Transformada
de Fourier é poderoso na análise de sinais. Tal como nas
Séries de Fourier, o valor de cada componente final
resultante dessa análise indica a amplitude que cada
seno ou coseno deve ter na reconstrução final do sinal.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Assim, em termos matemáticos, a TF é calculada através
da seguinte expressão:
F k  


f t e  j 2 kt dt

sendo a transformada inversa dada pela expressão:

f t    F k e j 2 kt dk

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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• No entanto, estas expressões são puramente
conceptuais, o que invalida a sua implementação por
computadores. Neste caso, utiliza-se a Transformada de
Fourier Discreta (DFT) e a Transformada de Fourier
Discreta Inversa (IDFT), as quais são aplicadas a sinais
discretos não-periódicos, mas considerados periódicos:
N 1
Fk   f n e
 kn 
 j 2  
N
, k  0,..., N  1
n 0
1
fn 
N
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N 1
F
k 0
k
e
 kn 
j 2  
N
, n  0,..., N  1
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• O que quer dizer “considerados periódicos”? Considere
um sinal discreto não-periódico:
Tal como se disse atrás, se o sinal é não-periódico, o seu
espectro de Fourier é contínuo. No entanto, podemos
considerar que este sinal é periódico, se o
representarmos da seguinte forma:
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
Neste caso, o espectro de Fourier do sinal é também
discreto, logo calculável por um computador. Relembre
ainda as seguintes propriedades:
f n  f n K ; Fk  Fk  N
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31
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Em jeito de sumário, importa relembrar as ideias-chave:
– Qualquer sinal “prático” pode ser decomposto ou reconstruído a
partir de um conjunto de senos e cosenos com amplitudes e
frequências apropriadas;
– Se o sinal for par, isso quer dizer que ele contém apenas
cosenos; se impar, apenas senos;
– Se o sinal for periódico, as suas componentes estão relacionadas
harmonicamente. Logo, o espectro de Fourier é discreto;
– No caso de sinais não-periódicos, os senos e cosenos não são
harmónicos, pelo que o correspondente espectro é contínuo;
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Se retirarmos do espectro
de Fourier as componentes
mais elevadas (afastadas da
componente DC - central), e
reconstruirmos
o
sinal,
obteremos um sinal mais
suave (com pior resolução
espacial), tal como se
mostra à direita para um
sinal 2D (imagem).
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• De igual modo, se for
retirada a componente DC,
obtém-se um sinal (imagem
2D) na qual só se vêem
alguns contornos, tal como
se indica na figura ao lado.
Note que nestes espectros,
a componente DC aparece
no centro do espectro e não
na origem, devido às
propriedades de simetria
mencionadas anteriormente.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Veja ainda o que acontece
no caso de diminuirmos o
peso das componentes
centrais do espectro de
Fourier, tal como se mostra
à direita. Neste caso, o sinal
reconstruído (imagem 2D)
apresenta maior resolução
espacial.
• É este o princípio da
filtragem das projecções no
método FBP.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• A manipulação do espaço de Fourier permite ainda, por
exemplo, efectuar certas operações muito interessantes
sobre sinais (e sobre imagens), nomeadamente sobre
imagens médicas, como a eliminação ou a minimização
de ruído, o alisamento ou o reforço de contornos
(smoothing e sharpening), a compressão de dados ou a
identificação das características geométricas principais.
Estas técnicas serão abordadas nos capítulos 5 e 6.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Também o número de projecções influencia a qualidade
da imagem tomográfica final. Neste caso, sabemos que
quantas mais projecções, melhor será a qualidade final
da imagem.
Objecto
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16 projecções
128 projecções
Retroprojecção Retroprojecção
filtrada
4 projecções
37
Imagens: http://www.erc.msstate.edu/~zhanping/Research/CTRecon/
RaysRecon/RaysRecon.htm/
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
n=8
n=16
n=32
n=64
n=128
n=256
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Imagens: http://www.erc.msstate.edu/~zhanping/Research/CTRecon/
RaysRecon/RaysRecon.htm/
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Filtragem das projecções:
Vamos finalmente ver em que consiste a filtragem das
projecções no método de reconstrução tomográfica por
retroprojecção filtrada. Considere que obteve a
projecção (dada por uma variável discreta, nãoperiódica), indicada na figura seguinte (N=16).
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39
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Em vez de retroprojectarmos esta
projecção (e as restantes, pois já vimos
que isso conduz a imagens com baixa
resolução espacial e muito brilhantes no
centro – rever slide 3.25), vamos obter a
transformada discreta de Fourier desta
projecção (e das restantes). Para a
projecção apresentada no slide anterior, os
coeficientes de Fourier são indicados à
direita (repare na simetria existente para
os valores reais e imaginários). Repare
ainda que na DFT, não há divisão por N.
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47.000
0.000
-27.959
0.224
0.414
-4.242
3.231
3.154
3.000
0.000
-1.917
3.154
-2.414
-4.242
6.645
0.224
-9.000
0.000
6.645
-0.224
-2.414
4.242
-1.917
-3.154
3.000
0.000
3.231
-3.154
0.414
4.242
-27.959
-0.224
40
Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Antes de prosseguirmos, vamos fazer só
uma alteração na representação dos
coeficientes de Fourier. Em vez dos
coeficientes f0 a f15, consideremos os
coeficientes f-8 a f7. Como pode verificar, é
o mesmo que passar as últimas 8 colunas
da tabela anterior para o início.
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-9.000
0.000
6.645
-0.224
-2.414
4.242
-1.917
-3.154
3.000
0.000
3.231
-3.154
0.414
4.242
-27.959
-0.224
47.000
0.000
-27.959
0.224
0.414
-4.242
3.231
3.154
3.000
0.000
-1.917
3.154
-2.414
-4.242
6.645
0.224
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Em seguida, vamos modificar o peso de cada
componente fk do espectro de Fourier, multiplicando o
espectro por um filtro de rampa, que é indicado a seguir.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• O resultado vai ser o espectro seguinte (apresenta-se
em baixo o espectro original, para comparação).
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-9.000
0.000
5.814
-0.196
-1.811
3.182
-1.198
-1.971
1.500
0.000
1.212
-1.183
0.104
1.061
-3.495
-0.028
0.000
0.000
-3.495
0.028
0.104
-1.061
1.212
1.183
1.500
0.000
-1.198
1.971
-1.811
-3.182
5.814
0.196
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Em seguida, calcula-se a IDFT do espectro filtrado,
de maneira a obtermos a projecção filtrada. Assim,
em vez de retroprojectarmos a projecção inicial,
deveríamos retroprojectar a projecção que é
indicada abaixo (repare na diferença de escalas).
Repetindo o mesmo procedimento para as
restantes projecções, obter-se-ia uma imagem de
boa qualidade.
-0.019
-0.014
-0.023
-0.052
-0.005
0.085
-0.081
0.153
-0.055
0.059
0.038
0.054
-0.015
0.011
-0.045
-0.014
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
Projecções
Projecções filtradas
Retroprojecção
filtrada
• Para além da retroprojecção filtrada poder ser feita no
espaço de Fourier, ela pode também ser realizada no
espaço directo (da projecção) – sem nunca calcular
Transformadas de Fourier. No entanto, tal nunca é feito,
pois é muito mais lento do ponto de vista computacional.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Enquanto que no espaço de Fourier, a transformada de
Fourier da projecção é multiplicada pelo filtro, no espaço
directo, a projecção teria de ser convoluída com a
Transformada de Fourier do filtro. No caso de um filtro
de rampa, a respectiva transformada de Fourier
corresponde à função indicada abaixo.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• De notar que quando se diz uma imagem de boa
qualidade, isso não significa uma imagem de excelente
qualidade, uma vez que o filtro de rampa está longe de
ser o filtro ideal. Tal deve-se ao facto deste filtro
amplificar grandemente o ruído.
• Por esse motivo, foram propostos outros filtros, como os
de Hamming, Hann, Butterworth, Chebyshev, Parzen.
Algumas das correspondentes expressões são
indicadas em seguida:
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
Rampa : Fk  k / N
Hamming : Fk  0,54  0,46 cosk N 
Hann : Fk  0,5  0,5 cosk N 
1
Butterwort h : Fk 
2p
1  k N 
• A questão da amplificação do ruído pelo filtro de rampa
deve-se ao facto de que quanto mais afastada está uma
componente da componente DC, maior é a sua
ponderação. Como já vimos, estas componentes são
responsáveis pelos detalhes mais finos do sinal, mas
também do ruído de alta-frequência.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Chama-se ainda a atenção para outra hipótese de
realização da retroprojecção filtrada, a qual é
compreendida através do Teorema da Secção Central.
Este teorema diz que a transformada de Fourier de uma
projecção corresponde aos valores que o espaço de
Fourier (2D) tomaria ao longo dos pontos situados
perpendicularmente à direcção em que a projecção foi
obtida, passando pelo centro da imagem. Veja a figura
seguinte:
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Assim, fazendo a Transformada de Fourier de todas as
projecções, obtêm-se os pontos do espaço de Fourier tal
como os indicados esquematicamente na figura seguinte
(para 6 projecções).
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
3 Métodos de retroprojecção filtrada
• Neste caso, a imagem tomográfica não seria obtida por
retroprojecção, mas aplicando a IDFT 2D ao espaço de
Fourier, depois deste ser interpolado para uma matriz
quadrada.
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Reconstrução Tomográfica em TC e MN
4 Métodos iterativos
• Métodos de reconstrução aritmética:
Os métodos de reconstrução aritmética, vulgarmente
designados por ART, englobam os métodos EM
(Expectation Maximization), entre os quais se destacam
o método MLEM (Maximum Likelihood EM) e OSEM
(Ordered Subset EM). O princípio destes métodos de
reconstrução consiste em comparar as projecções reais
com as projecções obtidas a partir do objecto à medida
que este vai sendo reconstruído. Vejamos então o
seguinte exemplo:
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3. Reconstrução Tomográfica em TC e MN
4 Métodos iterativos
Estimativa inicial:
Problema:
Valores Corrigidos:
Imagem Final
Actualização:
Valores corrigidos:
Actualização:
Valores corrigidos:
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Adaptado de “Bruyant, P.P., Analytic and iterative reconstruction algorithms
in SPECT. J Nucl Med, 2002. 43(10): p. 1343”.
3. Reconstrução Tomográfica em TC e MN
4 Métodos iterativos
• A vantagem dos métodos iterativos prende-se com a
obtenção de imagens com melhor resolução espacial do
que aquela que seria obtida com um método de
retroprojecção filtrada. No entanto, estes métodos são
computacionalmente mais lentos e podem não convergir
para a solução desejada. Para além disso, métodos
recentes de FBP relançaram o interesse por este tipo de
abordagem à reconstrução de imagens tomográficas, ao
conseguirem melhorar significativamente a resolução
espacial das imagens obtidas.
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3. Reconstrução Tomográfica em TC e MN
4 Métodos iterativos
• Vejamos então o seguinte exemplo, que compara duas
imagens de rendering obtidas a partir das
correspondentes imagens tomográficas.
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