ii equações governantes - CTEC

Sistemas Estuarinos Costeiros
MÓDULO IV:
Formulação Matemática dos processos ambientais
Parte 1 – Introdução e Escoamento
Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL
CONTEÚDO:I
Conceitos Fundamentais
II
Equações Básicas do Escoamento
III
Exercício
2
I
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
3
I
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Processos no
Sistema
Representados
usando
Equações
Matemáticas
Resolvidas
usando
Métodos Numéricos
Modelo
Computacional
Predições do
Modelo
4
I
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Processos no
Sistema
Físicos
Químicos
Biologicos
Hidrodinâmica
Hidrólise
Crescimento
Transporte de Massa
Nitrificação
Respiração
Deoxigenação
Mortalidade
Reaeração
Assimilação de
Nutrientes
Decaimento
5
I
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
• Cada processo é representado usando equações  “Equações
governantes”
• Uso de equações diferenciais
– Descrevendo continuamente mudanças de quantidades e suas taxas de
mudança
• Equações diferenciais podem ser complexas + dificuldade de resolver
analiticamente
• Métodos numéricos são requeridos para estimar soluções aproximadas
– Converte EDs em formas algebricas de diferenças  podem ser resolvidas
em um número finito de pontos no espaço e no tempo
– E.g. Esquema numérico de diferenças finitas
6
I
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Modelo Numérico
PROCESSOS NO
SISTEMA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MÉTODO NUMÉRICO
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS
FINITAS
ENTRADA
MODELO
COMPUTACIONAL
ESTIMATIVAS
DO MODELO7
8
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Processos no
Sistemas
Físicos
Químicos
Biological
Hidrodinâmica
Hidrólise
Crescimento
Transporte de Massa
Nitrificação
Respiração
Deoxigenação
Mortalidade
Reaeração
Assimilação de
Nutrientes
Decaimento
9
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
W
V
y
• Velocidade (U, V, W) e nível da água
z
x
• Representadas usando as Equações de Navier-Stokes
U
– Representação do escoamento em toda a sua complexidade (convecção e turbulência)
• Derivação das ENS começa com a análise da conservação na massa e da
quantidade de movimento em um elemento infinitesinal arbitário
• As ENS assume que um fluido é um continuum, consequentemente na realidade
um fluido é uma coleção de moléculas discretas
• A solução analítica das ENS não é conhecida  UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS
NUMÉRICOS
10
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
W
V
• Conservação da massa
– Balanço de massa através de um volume de controle
U
• Conservação da quantidade de movimento
– Balanço de forças no volume de controle
11
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade

Princípio da conservação da massa:
Taxa de
matéria
que entra
-
Taxa de
matéria
que sai
=
Taxa de
variação
interna
12
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
dx
 esq
m
z
k

 j
x i
m cima
dy
dz
m dir
y
m baixo
13
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
Princípio da conservação da massa
Taxa de massa = vazão mássica = VAρ
Taxa de variação interna

dxdydz
t
14
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
As vazões mássicas das faces da
esquerda, de baixo e de trás, são,
respectivamente
m esq  ρVydxdz
m baixo  ρVzdxdy
m trás  ρVxdydz
As restantes se obtém expandindo as
anteriores com a série de Taylor
15
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
m dir
 cima
m
z
k

 j
x i
y
 



 ρVy 
ρVy dydxdz
y


 frente
m



ρVz dzdxdy
 ρVz 
z





ρVx dxdydz
 ρVx 
x


16
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
Substituindo no princípio da conservação
da massa
Taxa de
matéria
que entra
=
ρVy dxdz  ρVz dxdy 
 ρVx dydz
17
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
Substituindo no princípio da
conservação da massa
Taxa de
matéria
que sai
=
m dir  m cima  m frente
18
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
Substituindo no princípio da
conservação da massa
Taxa que entra
=
-
Taxa que sai
=
 




ρVz dxdydz
  ρVx  
ρVy 
y
z
 x

19
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
Substituindo no princípio da
conservação da massa  com a taxa de
variação interna
 




ρVz dxdydz 
  ρVx  
ρVy 
y
z
 x

ρ

dxdydz
t
20
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
Substituindo no princípio da
conservação da massa  equação da
continuidade para qualquer escoamento
 



ρ
ρVx   ρVy  ρVz    0
x
y
z
t
 ρ
  ρV 
0
t
 
21
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
Casos particulares
- Escoamento permanente:
ρ
0
t



ρu   ρv   ρw   0
x
y
z
22
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da continuidade
Casos particulares
- Fluido incompressível:
  const
u v w
 
0
x y z

 V  0
23
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
• Balanço de forças no elemento infinitesimal
– Gravitacionais (forças de campo)
• Força peso e Força de Coriolis
– Perpendiculares à superfície (força superficial)
• Pressão
– Tangenciais à superfície (força superficial)
• Viscosas (cisalhamento e compressão)
24
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento


dV
 F Elem  dm dt
Elem



dV
FSuperficiais  FCampo  dm
dt Elem






FPr essão  FViscos as  FGravitacionais  Foutras


dV
m
dt Elem
25
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
Da 2ª lei de Newton para um elemento

infinitesimal de massa dm




 V 
dV DV  

  V V 

dt Dt 
t 
 
dV
F  dm
dt
elem
26
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento





DV V V
V
V


Vx 
Vy 
Vz
Dt
t x
y
z
Aceleração convectiva
Aceleração
instantânea
27
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
Da 2ª lei de Newton Para um elemento

infinitesimal de massa dm

dV
F  dm
dt Elem



 V 
 
dV
DV
dm
 dxdydz
 dxdydz V   V 

dt
Dt
t 28

 
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força Peso)
• Atua na direção vertical;
• Sua componente longitudinal é quem promove o escoamento.
x1
x2
• Significativa em simulações de rompimento de barragem;
29
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força Peso)


FG  g  dmk


FG  g  dxdydzk
30
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)
• A força de Coriolis, embora não possa causar o movimento da água, é
importante porque pode modificar, significativamente, a direção do
movimento da água, especialmente em lagos e estuários grandes.
• A força de Coriolis é uma força aparente que surge porque analisamos o
escoamento fixando o referencial à Terra, que está em movimento de
rotação.
31
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)
• Assim, o resultado é que, no hemisfério Sul, os fluidos
escoando para o Sul são desviados para Leste e os fluidos
escoando para o Norte são desviados para Oeste, ou seja, os
escoamentos são sempre desviados para a esquerda no
hemisfério Sul.
32
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)
33
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)
•
Força de Coriolis é dada por
FCx  f  v  dm
FCy   f  u  dm
f  2    sin l 
•
onde u e v são as componentes de velocidade da água na direção x e y,
respectivamente (m.s-1);  é a velocidade angular da terra (7,29 . 10-5 rad.s-1); e l
é a latitude.
34
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)
• É necessário um gradiente de pressão para promover
escoamento.
• O sentido do escoamento é de um ponto com maior
pressão para um ponto com menor pressão
35
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)
Balanço de pressões
36
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)
dy
z
k
px 

 j
x i
dx
px  x
dz
y
Fpx  yzpx - px  x37
Pela 2ª lei de Newton, têm-se:
Fpx  dydz    px   px  x 

p 

Fpx  dydz    px    px   dx 
x 


p
Fpx   dxdydz
x
Analogamente para as outras direções
38
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)
• Força de atrito entre duas superfícies ou entre duas camadas;
• A nível molecular, as forças de tensão que atua em um volume de
água são produzidas pela viscosidade do fluido (atrito interno das
moléculas de água) que seria uma força intrínseca do fluido)
39
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)
• Nos contornos
Vento
Atrito do fundo
40
Forças de superfície normais na direção x.
σ xx
dxdydz
x
41
Forças de superfície normais na direção x.
σ xx
u
 
x
42
Tangenciais na direção x:
 τ yx τzx


 y
z


dxdydz


43
Tangenciais na direção x:
τ yx
u

y
τ zx
u

z
44
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)
A resultante na direção x é:
 u  u  u
 2  2  2 dxdydz
y
z 
 x
2
2
2
Um resultado análogo é obtido nas
demais direções
45
II
EQUAÇÕES GOVERNANTES
Equação da quantidade de movimento
A EQM se torna, nas 3 direções:
  2u  2u  2u 
 u
u
u
u 
p
   u  v  w       2  2  2 
x
y
z 
x
z 
 t
 x y
  2v  2v  2v 
 v
v
v
v 
p
   u  v  w       2  2  2 
x
y
z 
y
 t
 x y z 
 2w 2w 2w 
 w
w
w
w 
p
   u  v  w    gz     2  2  462 
x
y
z 
z
y
z 
 t
 x
Equação da quantidade de movimento
Casos particulares
- Escoamento permanente:
  2u  2u  2u 
 u
u
u 
p
  u  v  w       2  2  2 
y
z 
x
z 
 x
 x y
  2v  2v  2v 
 v
v
v 
p
  u  v  w       2  2  2 
y
z 
y
 x
 x y z 
 2w 2w 2w 
 w
w
w 
p
  u  v  w    gz     2  2  2 
y
z 
z
y
z 
 x
 x
47
Equação da quantidade de movimento
Casos particulares
- Escoamento bidimensional (w=0):
  2u  2u 
 u
u 
p
  u  v   g x     2  2 
y 
x
y 
 x
 x
  2v  2v 
 v
v 
p
  u  v   g y     2  2 
y 
y
 x
 x y 
48
Equação da quantidade de movimento
Casos particulares
- Escoamento unidimensional (v=w=0):
2

u

p

u


  u   g x    2
x
x
 x 
49
EXERCÍCIOS
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50