Funções Trigonométricas

Ensino Superior
Cálculo 1
1.7- Funções Trigonométricas
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Limites
Funções e Limites
Taxas de variação,
definição de limite, limites laterais e
técnicas para determinação de limites
Prof. Amintas Paiva Afonso
As Funções Trigonométricas.
• Tópicos
- Conceito de radiano. As funções seno, cosseno e tangente.
As funções trigonométricas inversas.
• Bibliografia
– THOMAS, G. B. Cálculo. v.1
– Capítulos:
• Preliminares
5 – Funções trigonométricas e suas inversas
6 – Equações paramétricas
7 – Modelando as variações
As Funções Trigonométricas.
• Conceito de radiano (rad)
– Assim como o grau (°), o radiano (rad) é uma medida de
arcos.
y
90° = p/2 rad
– 180° = p rad
– 1° = p / 180 rad
0° = 360° = 2p rad
180° = p rad
X
270° = 3p/2 rad
As Funções Trigonométricas.
• Conceito de seno (sen) e cosseno (cos)
Círculo de raio unitário: x2 + y2 = 1
y
p/2
P
y
p
q
0
x
X
y
senq 
r
y
senq 
1
y  senq
x
cos q 
r
x
cos q 
1
x  cos q
sen q  cos q  1
2
3p/2
2
As Funções Trigonométricas.
• Gráficos de seno (sen) e cosseno (cos)
Sen
Cos
1,5
1,5
1,0
1,0
0,5
0,5
0,0
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
0,0
-360
-270
-180
-90
0
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0
-1,5
Domínio : (,  )
Imagem : [1,  1]
-1,5
Domínio : (,  )
Imagem : [1,  1]
90
180
270
360
As Funções Trigonométricas.
• Conceito de tangente (tg)
y
tg
senθ
tgθ 
cosθ
p/2
T
P
y
0T  tgθ
p
q
0
x
3p/2
X
As Funções Trigonométricas.
1
cotθ 
tgθ
• Gráfico da tangente (tg) e cotangente (cot)
tg
-360
-270
-180
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-90
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Cot
90
180
270
360
π
(2n  1); n  ...,  1, 0, 1, ...
2
Imagem : (,  )
Domínio : θ 
-360
-270
-180
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-90
0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
90
180
270
Domínio : θ  np ; n  ...,  1, 0, 1, ...
Imagem : (,  )
360
As Funções Trigonométricas.
• Gráfico da secante e cossecante
Sec
-360
-270
-180
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-90
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Csc
90
1
secθ 
cosθ
180
270
360
-360
-270
-180
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-90 -1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
cscθ 
90
180
1
senθ
270
360
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas
– Arco-seno (arc sen)
y  arc sen( x)  x  sen( y )
Df  1  x  1
Arc sen
90
60
Im  
30
0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
-30
-60
-90
0,5
1,0
1,5
p
2
 y
p
2
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas
– Arco-cosseno (arc cos)
Arc cos
150
y  arc cos( x)  x  cos( y )
Df  1  x  1
120
Im  0  y  p
180
90
60
30
0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas
– Arco-tangente (arc tg)
y  arc tg ( x)  x  tg ( y )
Df    x  
Arc tg
90
60
Im  
30
0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-30
-60
-90
1
2
3
4
5
6
7
8
9
p
2
 y
p
2
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas
– Arco-cotangente (arc cot)
y  arc cot g ( x)  x  cot g ( y )
Df    x  
Arc cot
180
Im  0  y  p
150
120
90
60
30
0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas
– Arco-secante (arc sec)
y  arc sec( x)  x  sec( y )
Arc sec
Df  x  1
180
150
Im  0  y  p , y 
120
90
60
30
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
p
2
As Funções Trigonométricas.
• Funções Trigonométricas Inversas
– Arco-cossecante (arc csc)
y  arc csc( x)  x  csc( y )
Arc csc
90
Df  x  1
60
Im  
30
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-30
-60
-90
1
2
3
4
5
p
2
 y
p
2
, y0
As Funções Trigonométricas.
• Relações trigonométricas fundamentais
sen θ  cos θ  1
2
2
1  cotg θ  csc θ
2
2
tg 2θ  1  sec 2θ
• Fórmulas para ângulo duplo
sen2θ  2 senθ cosθ
cos2θ   cos 2θ - sen 2θ