Modelo Escalar do Tipo Play - Engenharia Eletrica
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Modelagem da Histerese Magnética Jean Vianei Leite Curitiba , abril de 2010. Modelo de Jiles-Atherton Obtido a partir de considerações físicas; Baseado em equações diferenciais; Baixo esforço implementação; computacional e fácil Conjunto de parâmetros relativamente baixo; Pode ser diretamente empregado no MEF com formulação em potencial vetor magnético. Não representa laços menores adequadamente Modelo de Preisach • Modelo matemático de implementação complexa. • Maior esforço computacional se comparado ao modelo de JilesAtherton. • A caracterização dos materiais depende da variável imposta e é mais complexa. • O uso da função de Everett possibilita o cálculo da magnetização total sem a necessidade de integração e derivação numérica simplificando a utilização do modelo. • Dependendo da variável independente o método de interpolação da função de Everett também é outro para evitar instabilidade numérica. • O modelo de Preisach representa adequadamente os laços menores. Modelos do Tipo Play e Stop • Modelos de histerese não baseados em equações diferenciais; • Laços de histerese são construídos a partir da superposição de laços elementares (Histerons); • Cada laço elementar tem a sua contribuição ponderada por uma função característica; • A integral das contribuições de cada histeron modela o comportamento macroscópico do material. Modelos do Tipo Play e Stop • Modelos de histerese do tipo Play e Stop baseiam-se no mesmo princípio do modelo de Preisach (histerons) mas são mais simples em termos de: – Formalismo matemático; – Caracterização de materiais; – Implementação numérica. • Estas características se estendem, conseqüentemente, a sua generalização vetorial. Modelo Escalar do Tipo Play Modelo Escalar do Tipo Play • Modelos Play são empregados quando o campo magnético H é conhecido antes da indução; • Esses modelos foram originalmente concebidos para a modelagem de sistemas termodinâmicos; • Conceitos de energia livre e múltiplos estados metaestáveis são utilizados na concepção dos histerons elementares em termodinâmica e podem ser encontrados na literatura; • Enfocaremos os modelos do ponto de vista operacional, a partir do estabelecimento do conceito de histeron e como as suas interações serão computadas para formar o laço de histerese magnética macroscópico. Modelo Escalar do Tipo Play • No modelo Play o comportamento do material será regido por um conjunto de partículas independentes, os histerons, os quais não são necessariamente associadas aos domínios magnéticos. • Cada partícula possui uma magnetização mj e a energia associada a cada partícula depende somente de mj. Modelo Escalar do Tipo Play • A energia total de polarização M é expressa então como a soma ponderada das contribuições de cada partícula; • De uma forma geral, para uma distribuição contínua de partículas, M m k d k • Para uma implementação numérica a integral é aproximada pela soma M jmj • onde os coeficientes j j obedecem a condição de normalização j j 1 Modelo Escalar do Tipo Play • No caso unidimensional, o modelo apresentado pode ser comparado ao modelo escalar de Preisach, com a função de distribuição relacionada aos campos coercitivos locais. • No modelo de Jiles-Atherton a magnetização não segue uma curva anisterética porque os domínios magnéticos são impedidos de deslocar-se devido os pinning sites. • No modelo Play, variações na magnetização sofrem resistência, o que produz uma perda de energia proporcional a uma constante adimensional. • As partículas diferem umas das outras por terem diferentes constantes de proporcionalidade, chamadas de kj. Modelo Escalar do Tipo Play • As características de histerese de uma partícula individual, no caso unidimensional, pode ser ilustrado como mostrado a seguir Construção de uma partícula mj; no centro o elemento intermediário Hj; a direita a curva anisterética. Modelo Escalar do Tipo Play • Para o formalismo matemático do comportamento desta partícula é introduzida uma variável intermediária Hj para toda partícula j tal que H é relacionado a Hj através da equação dH se H dH - H j k j dH j 0 se H dH - H j k j o histórico magnético do material é armazenado em Hj. A magnetização é então estabelecida como: m j M an H j onde Man é uma função anisterética a qual representaria a magnetização do material caso não houvesse histerese. Modelo Escalar do Tipo Play Caracterização dos Materiais: Os parâmetros do modelo podem ser divididos entre aqueles necessários para modelar a curva anisterética e os necessários para representar os campos coercitivos kj e a sua função de distribuição j. • Em relação à curva anisterética Man a expressão analítica pode ser usada M an H 2M s arctan H h0 onde Ms e h0 são os parâmetros a serem ajustados do material Modelo Escalar do Tipo Play Caracterização dos Materiais: A soma ponderada k jk j k representa a perda por histerese num ciclo completo do material. A função de distribuição e os valores de kj podem ser ajustados de diferentes maneiras desde que a relação acima seja respeitada. Modelo Escalar do Tipo Play Exemplo de emprego da metodologia • construção de um laço de histerese para um material hipotético modelado com cinco histerons • para todas as partículas 0 , 2 • As constantes de proporcionalidade são: k 8,6 28,8 56 97,9 208,8 Modelo Escalar do Tipo Play • Para uma forma de onde de campo senoidal • construção da variável intermediária Hj dH se H dH - H j k j dH j 0 se H dH - H j k j Modelo Escalar do Tipo Play • Hj em função do tempo •Aplicando a função anisterética obtém-se as mj M an H j 2M S arctan H j h0 m j Modelo Escalar do Tipo Play • Magnetização de cada partícula, em função do campo magnético (histerons) Complementando o modelo, as magnetizações mj são ponderadas com 0.2 e somadas para formar a magnetização total M. Neste modelo M possui o mesmo significado da indução magnética B. Modelo Escalar do Tipo Play • A magnetização ou B resultante é • Laço de histerese resultante Modelo Escalar do Tipo Play • Laços menores 2 1.5 2 1 1.5 0.5 1 B [T]0 0.5 -0.5 B [T]0 -1 -0.5 -1.5 -1 -2 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 H [A/m] Laço de histerese obtido do modelo Play. -1.5 -2 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 H [A/m] Laço de histerese obtido com Jiles-Atherton. Modelo Escalar do Tipo Play Considerações sobre o modelo Play: • Apresenta uma formulação simples com um formalismo matemático estabelecido em três equações. • Se o número de partículas usado na modelagem do material for pequeno a velocidade computacional é alta. Na aproximação do caso contínuo o desempenho cai. • Simulações mostram que no caso de laços estreitos a distribuição das partículas influencia significativamente a forma do laço, ou seja, para um mesmo valor de <k> a forma como os diferentes kj estarão distribuídos irá alterar o campo coercitivo e as magnetizações remanente e máxima. • Para laços de histerese com campo coercitivo alto (> que 100 A/m ) o número de partículas e a sua distribuição têm pouca influência na forma do laço de histerese. • O modelo Play consegue uma boa representação dos laços menores. Modelo Escalar do Tipo Stop Modelo Escalar do Tipo Stop • Modelo dual ao modelo Play; • A variável independente é a indução B; • Bom para aplicações como o MEF, com formulação em potencial vetor onde a indução é conhecida à priori. • O campo magnético H pode ser obtido, similarmente ao modelo Play, como a superposição das contribuições de um número de pseudopartículas, chamados stop histerons, onde cada pseudopartícula possui o mecanismo de histerese. Modelo Escalar do Tipo Stop • O operador histeron do tipo Stop Modelo Escalar do Tipo Stop • Diversas formulações podem ser empregadas na construção dos operadores Stop. • Uma possível metodologia para formalizar o operador é W se 1 W <1 k k k Sk Wk se k1 Wk 1 k Wk Wk B t B t0 Sk 0 é uma variável intermediaria k é o fator de distribuição (constante positiva). Modelo Escalar do Tipo Stop • O fator de distribuição pode ser assumido de variadas maneiras. Uma distribuição linear: k N k 10 onde N é o número de histerons, e k 1, 2 ... N 0 é um parâmetro do material A distribuição pode ser assumida através de equações de distribuição estatísticas clássicas como Gauss ou Lorentz. Modelo Escalar do Tipo Stop • Exemplo de cálculo Curva de histerese medida para uma forma de onda PWM a dois níveis. Modelo Escalar do Tipo Stop Curva calculada com o modelo de Jiles-Atherton Curva calculada com o modelo Stop Modelo Escalar do Tipo Stop Experimental Jiles-Atherton Stop Modelo Escalar do Tipo Stop • Similarmente ao modelo Play, o modelo Stop possui formalismo matemático simples, baseado em poucas equações. • O desempenho computacional é alto com o uso de poucas partículas diminuindo com a aproximação do caso contínuo. • Simulações demonstraram que o modelo Stop é fortemente influenciado pela função de distribuição dos histerons. • Assim como o seu dual Play, o modelo Stop consegue uma boa representação dos laços menores que venham ocorrer junto ao laço principal de histerese, apresentando laços menores fechados em concordância com os observados em laços medidos. • Os modelos baseados em histerons do tipo Play e Stop são uma alternativa ao modelo de Preisach. Atividade • Implementar modelo escalar Play • Caracterizar material do arquivo Laço_BH.txt do site http://sites.google.com/site/histeresemodel/ para uso do modelo escalar Play • Calcular laços BH com níveis de campo variando de 10 a 130 A/m. • Calcular um laço contendo laços menores.
