7 Resultados de Medições Indiretas Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI Motivação c ± U(c) b ± U(b) Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? A=b.c U(A) = ? Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 2/52) 7.1 Considerações Preliminares www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI Medições indiretas O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinação da corrente elétrica dividindo a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 4/52) O Modelo Matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: A=l.h V=d/t d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 5/52) Dependência estatística & correlação Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do dólar. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 6/52) Dependência estatística Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar (na verdade quem mais muda é o Real). A temperatura da água do mar em duas praias próximas. Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 7/52) Dependência estatística A grande maioria dos casos de interesse prático da engenharia é suficientemente bem modelada considerando medições como variáveis aleatórias independentes ou não correlacionadas. Apenas os casos que envolvem medições independentes ou não correlacionadas serão abordados no tópico seguinte: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 8/52) 7.2 Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC) www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI Adição e subtração de MNC O quadrado da incerteza combinada da adição ou subtração de MNC é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão de cada termo: [u(X 1 X 2 X n )] [u(X 1 )] [u(X 2 )] ... [u(X n )] 2 2 2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 10/52) 2 Adição e subtração de MNC Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida como: [U(X 1 X 2 X n )]2 [U(X 1 )]2 [U(X 2 )]2 ... [U(X n )]2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 11/52) Exemplo 1: Adição de MNC mT = m1 + m2 MNC 1 2 [U(mT)]2 = [U(m1)]2 + [U(m2)]2 [U(mT)]2 = [6]2 + [8]2 = 100 m1 = (1000 ± 6) g U(mT) = 10 g m2 = (2000 ± 8) g U(m1) = 6 g U(m2) = 8 g mT = (3000 ± 10) g Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 12/52) Exemplo 2: Subtração de MNC mC = m2 – m1 MNC 1 2 [U(mc)]2 = [U(m1)]2 + [U(m2)]2 [u(mT)]2 = [6]2 + [8]2 = 100 m1 = (1000 ± 6) g U(mT) = 10 g m2 = (2000 ± 8) g mC + m1 = m2 mC = (1000 ± 10) g Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 13/52) Multiplicação de MNC Na multiplicação de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada fator: 2 2 u(X 1.X 2 ) u(X 1 ) u(X 2 ) X .X X X 1 2 1 2 2 u 2R (X1.X 2 ) u 2R (X1 ) u 2R (X 2 ) Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 14/52) Divisão de MNC Na divisão de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas do divisor e do dividendo: 2 2 u(X 1/X 2 ) u(X 1 ) u(X 2 ) X1/X 2 X1 X 2 2 u 2R (X1/X 2 ) u 2R (X1 ) u 2R (X 2 ) Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 15/52) Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNC Na multiplicação e/ou divisão de qualquer número de MNC o quadrado da incerteza combinada relativa é calculado pela soma dos quadrados das incertezas padrão relativas de cada termo por: 1 1 1 n u (X 1 .X 2 X ) u (X1 ) u (X 2 ) u (X n ) 2 R 2 R 2 R 2 R Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 16/52) Generalizando: Multiplicação e Divisão de MNC Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida relativa como: 1 1 1 n U (X 1 .X 2 X ) U (X1 ) U (X 2 ) U (X n ) 2 R 2 R 2 R 2 R Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 17/52) Exemplo 3: Multiplicação Determine o volume de uma pirâmide com base retangular, cujas dimensões estão especificadas na figura, e altura a b a = (100,0 ± 0,8) mm b = (90,0 ± 0,6) mm h = (200,0 ± 1,0) mm. a.b.h V 3 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 18/52) Exemplo 3: Multiplicação Cálculo do volume: 100 90 200 V 600000 mm3 3 a.b.h V 3 Incerteza do volume: 2 2 2 U (V ) U (a) U (b) U (h) V a b h 2 2 2 U (V ) 0,8 0,6 1,0 600000 100 90 200 2 2 U(V) = 6931 mm³ 2 U (V ) -6 (64 44 25) 10 600000 V = (600,0 ± 6,9) 10³ mm³ Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 19/52) Exemplo 4: Divisão de MNC V R V I R I Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0) sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V. U(R) = 1,0 Ω U(V) = 3,0 V Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 20/52) Exemplo 4: Divisão de MNC V 2 2 U(I) U(V) U(R) I V R 2 I R V = (150,0 ± 3,0) V 2 U(I) 3,0 1,0 0,300 150 500 2 2 2 R = (500,0 ± 1,0) U(I) 0,300 0,0004 0,000004 V 150 I 0,300 A R 500 U(I) = 0,0060 A I = (300 ±6) mA Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 21/52) Caso Geral de MNC G f ( X 1 , X 2 ,, X n ) 2 2 f f f u (G ) = u ( X 1 ) u ( X 2 ) u ( X n ) X 1 X 2 X n 2 f = coeficiente de sensibilidade X i Podem ser calculados analitica ou numericamente Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 22/52) 2 Caso Geral de MNC Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação pode ser escrita em termos da incerteza expandida como: 2 2 f f f U (G ) = U ( X 1 ) U ( X 2 ) U ( X n ) X 1 X 2 X n 2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 23/52) 2 Exemplo: Caso Geral de MNC Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada: Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 24/52) Medições Realizadas Para a massa: m = (1580 ± 20) g h Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm Para a altura: h = (77,35 ± 0,10) mm D Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 25/52) Massa Específica = f (m, D, h) h D m = Vol 4m = D2 h Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 26/52) Cálculo da incerteza combinada 2 2 f f f U ( ) = U (m) U ( D) U (h) m D h 2 2 4 8m 4m 2 U ( ) = 2 U ( m) 3 U ( D ) 2 2 U ( h ) D h D h D h 2 2 2 U ( ) U ( m) U ( D ) U ( h ) = 2 D h m 2 2 2 2 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 27/52) Cálculo da incerteza combinada 2 2 2 2 U ( ) U ( m) U ( D ) U ( h ) = 2 D h m 2 2 2 U ( ) 20 0,0060 0,10 = 2 1580 25,423 77,35 2 2 U ( ) = 16023,2 22,28 167,2.108 16212,8.108 U ( ) 2 R Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 28/52) Cálculo da incerteza combinada 4 .m 4 .1580 3 = 0,040239 g/ mm . D 2 .h 3,14159 .(25,423 )2 .77,35 U ( ) .U R ( ) 0,040239 . 16212,8.108 0.0005124 g/mm 3 = (0,04024 0,00051) g/mm3 Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 29/52)