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INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Universidade Técnica de Lisboa
Electrónica Geral
Regime Alternado Sinusoidal
Representação Simbólica
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Universidade Técnica de Lisboa
Representação das Grandezas Alternadas Sinusoidais
As grandezas de variação alternada sinusoidal podem representar-se
na forma
u(t)=UM cos(wt+au)
em que
UM
u(t) é o valor instantâneo da grandeza;
é a amplitude ou valor máximo;
(wt+au) é a fase, que se exprime em radianos;
w é a frequência angular
au
é a fase na origem do tempo.
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Evolução temporal da fase
fase
w é o declive da recta
au
T
0
t
T
p
T

f 
T
w  pf
w
2p
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Amplitudes Complexas
Im
u (t )  U M cos  wt  au 
U  UM e
ja u
UM
au
Re
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Amplitudes Complexas
u (t )  U M cos  wt  au 
U  U M e ja u
Im
UM
Ue
jwt
Vector girante em velocidade
angular w
au
Re
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Amplitudes Complexas
u(t )  Re{U e jwt }
u(t)
Re
w
Im
u(t)=UM cos(wtp/4)
p
U
t
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Amplitudes Complexas
Utilidade
i1 (t )  4cos  wt 
i1 (t )
i2 (t )  3cos  wt  p 2 
i (t )
i2 (t )
i (t )  i1 (t )  i2 (t )  ?
Somam-se as amplitudes complexas:







i(t )  Re I1e jwt  Re I 2e jwt  Re  I1  I 2  e jwt  Re Ie jwt
I  I1  I 2

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Amplitudes Complexas
Exemplo:
Im
I1  4 A
I
I 2  j 3  3e j 90º A
I2
36,9º
Re
I  I1  I 2  5 e j 36,9º A
I1
i(t )  5cos  wt  36,9º  A
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Amplitudes Complexas
Derivação:
uC (t )  U M cos  wt  au 

UC  U M e jau


duC d
 Re U C e jwt  Re jwU C e jwt
dt
dt

Conclusão: A derivação de uC(t) em ordem a t corresponde a
multiplicar a amplitude complexa
UC
por jw.
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Amplitudes Complexas
Exemplo:
uC (t )  5cos  wt  30º 
Fazendo
w  2pf  314 rad/seg
duC
iC (t )  C
?
dt
 para
f  50 Hz 
C  50 μF
UC  5 e j 30º
IC  jwCUC  j314  50 106  5e j 30º  78,5 e j120º mA
Logo:
iC (t )  78,5cos  wt  120º  mA
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Amplitudes Complexas
Primitivação
É a operação inversa de derivação
duC
iC (t )  C
dt
uC (t ) 

duC 1
 iC (t )
dt
C
1
1
 Primitiva de iC (t )   iC (t )dt
C
C
A primitivação de iC(t) corresponde a dividir a amplitude
complexa
IC
por jw.
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Amplitudes Complexas
Exemplo:
 para
w  2pf  314 rad/seg
C  50 μF
iC (t )  ICM cos(wt )
uC (t ) 
f  50 Hz 
Escalas
1 A
,
I CM  1 A
Im
50 V
1
iC (t )dt  ?

C

UC 
IC
com IC  e j  A
jwC

 j  º
UC 



,

e
V logo,

j   
uC (t )  ,  cos(wt  º ) V
IC
90º
UC
Re
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Circuito RC
Equação de valores instantâneos:
i
R
uR
uG
uC
C

uG  uR  uC  Ri   i (t )dt
C
Equação vectorial correspondente:

 

U G  U R  U C  RI 
I R j
I
jwC
wC 


UG  Z I
Z  R j
wC
Impedância do circuito RC
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Circuito RC – Propriedades
Tensão de entrada ui(t) alternada sinusoidal.
i
R
A amplitude complexa da corrente será:
uR
ui
uC
C
Ui
I 
uO
R j

wC
A tensão de saída uO terá a amplitude
complexa:


jwC
UO 
I 
Ui

jwC
R
jwC

UO 

Ui
 jwRC
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Circuito RC – Propriedades
i
Para frequências suficientemente altas de
modo que wRC>>1 tem-se:
R
uR
ui
uC
C
uO


UO 
Ui 
Ui
 jwRC
jwRC
Passando agora para valores instantâneos:
uo (t ) 

ui (t ) dt

RC
A tensão na saída é proporcional à primitiva da tensão de entrada.
Diz-se que o circuito funciona como integrador.
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Circuito RC – Propriedades
i
Para frequências suficientemente altas de
modo que wRC>>1 tem-se:
R
uR
ui
uC
C
uO


UO 
Ui 
Ui
 jwRC
jwRC
Mas para frequências suficientemente baixas
de modo que wRC<<1 tem-se:

UO 
Ui  Ui
 jwRC
A tensão na saída é igual à tensão de entrada.
Diz-se que o circuito funciona como filtro
passa-baixo.
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Circuito CR
Tensão de saída pela resistência
C
i
Trocando a posição da resistência
com a do condensador a corrente i(t)
não se altera.
uC
ui
uR
R
uO
Como consequência, não se altera a
impedância de entrada do circuito em
regima sinusoidal.
O que vai ser diferente será a tensão
de saída uo(t), para a mesma tensão
de entrada ui(t).
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Circuito CR – Propriedades
Tensão de entrada ui(t) alternada sinusoidal.
C
i
A amplitude complexa da corrente será:
uC
ui
uR
R
I 
uO
Ui
R j

wC
A tensão de saída uO terá agora a amplitude
complexa:
U O  RI 
R

R
jwC
Ui
jwRC
 UO 
Ui
 jwRC
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Circuito CR – Propriedades
Para frequências suficientemente baixas de
modo que wRC<<1 tem-se:
C
i
uC
ui
uR
R
uO
UO 
jwRC
Ui  jwRCU i
 jwRC
Passando agora para valores instantâneos:
dui (t )
uo (t )  RC
dt
A tensão na saída é proporcional à derivada da tensão de entrada.
Diz-se que o circuito funciona como diferenciador.
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Circuito CR – Propriedades
Para frequências suficientemente baixas de
modo que wRC<<1 tem-se:
C
i
uC
ui
uR
R
uO
jwRC
UO 
Ui  jwRCU i
 jwRC
Mas para frequências suficientemente altas
de modo que wRC<<1 tem-se:
jwRC
UO 
Ui  Ui
 jwRC
A tensão na saída é igual à tensão de entrada.
Diz-se que o circuito funciona como filtro
passa-alto.