Estatística: Medidas de Centralização - Aula 1

Estatística Básica
AULA Nº. 1
Medidas de
Centralização
Professores: Edu/Vicente
Definições Importantes
• Noções de Estatística
• Podemos entender a Estatística como sendo
o método de estudo de comportamento
coletivo, cujas conclusões são traduzidas
em resultados numéricos. Podemos,
intuitivamente, dizer que:
• Estatística é uma forma de traduzir o
comportamento coletivo em números.
Universo Estatístico ou População
Estatística
• Conjunto formado por todos os elementos que
possam oferecer dados pertinentes ao assunto em
questão.
• Exemplo 1: Um partido político quer saber a
tendência do eleitorado quanto a preferência entre
dois candidatos à Presidência da República. O
Universo Estatístico é o conjunto de todos
os eleitores brasileiros.
AMOSTRA
• É um subconjunto da população estatística.
• Quando o Universo Estatístico é muito
vasto ou quando não é possível coletar
dados de todos os seus elementos, retira-se
desse universo um subconjunto chamado
amostra. Os dados são coletados dessa
amostra .
Exemplo 2
• “Numa pesquisa para saber a intenção de votos
para presidente da república, foram ouvidas 400
pessoas...”
• Esse grupo de 400 pessoas é uma amostra.
• Cada pessoa ouvida nessa pesquisa é uma
unidade estatística.
• Cada informação numérica obtida nessa pesquisa é
um dado estatístico.
ROL
• É toda seqüência de dados numéricos colocados
em ordem não decrescente ou não crescente.
• Exemplo 3: Os 5 alunos de uma amostra
apresentam as seguintes notas de matemática:
• 6; 4; 8; 7; 8
• O rol desses resultados é :
• (4; 6; 7; 8; 8 ) ou (8; 8; 7; 6; 4 ).
Frequências
• Frequência absoluta(F):
• É o número de vezes que um determinado
valor é observado na amostra.
• Frequência total(Ft):
• É a soma de todas as frequências absolutas.
Frequência Relativa(Fr)
F
F
É o quociente : Fr  ou Fr  100%
Ft
Ft
Exemplo 3
• Numa turma foram registradas as idades de
todos os 25 alunos. Qual a freqüência
absoluta e a freqüência relativa do número
de alunos de 14 anos:
15
16
16
15
14
15
17
16
14
14
14
17
15
16
15
16
14
15
15
15
16
15
15
16
17
Solução: Tabela de Frequencias
Idade
14
Frequência
absoluta
5
Frequência
Relativa
15
10
16
7
(10/25).100%=40
%
(7/25).100%=28%
17
3
(3/25).100%=12%
Total
25
100%
(5/25).100%=20%
• Resposta: F = 5 e Fr = 20%
Medidas de Centralização
• Média Aritmética Simples: Considere a
seguinte situação:
• A tabela a seguir mostra as notas de
matemática de um aluno em um
determinado ano:
Bimestre
Nota
1º Bimestre
3,5
2º Bimestre
7,5
3º Bimestre
9,0
4º Bimestre
6,0
A média aritmética dessas notas é
dada por:
3,5  7,5  9  6 26
x

 6,5
4
4
• Obs.: Ter média 6,5 significa dizer que,
apesar de ele ter obtido notas mais altas ou
mais baixas em outros bimestres, a soma
das notas (26) é a mesma que ele alcançaria
se tivesse obtido nota 6,5 em todos os
bimestres.
Média Aritmética Ponderada
• Suponha que, em cada bimestre, os “pesos”
sejam:
• 1º bimestre: Peso 1
• 2º bimestre: Peso 2
• 3º bimestre: peso 3
• 4º bimestre: peso 4
Logo, a média aritmética ponderada é:
3,5 1  7,5  2  9  3  6  4
Mp 
 6,95
1 2  3  4
Note que se as notas ocorressem de
forma invertida, ou seja,
Bimestre
Nota
1º Bimestre
6,0
2º Bimestre
9,0
3º Bimestre
7,5
4º Bimestre
3,5
A média ponderada seria:
6 1  9  2  7,5  3  3,5  4
Mp 
 6,05
1 2  3  4
ou seja, menor que a média anterior.
Isso ocorre porque as últimas provas
tem pesos maiores.
• Analisando as situações anteriores de
maneira bem simples, é como se toda
avaliação durante o ano tivesse nota
máxima 10,0. Desse total, o 1º bimestre vale
1,0; o 2º bimestre vale 2,0; o 3º bimestre
vale 3,0 e o 4º bimestre vale 4,0.
Considere agora, a seguinte situação:
• Cinco baldes contêm 4 litros de água cada
um, três outros 2 litros de água, cada um e,
ainda, dois outros contém 5 litros de água,
cada um. Se toda essa água fosse distribuída
igualmente em cada um dos baldes, com
quantos litros ficaria cada um?
Solução:
• A quantidade de litros que ficaria em cada
balde é a média aritmética ponderada:
4l  5  2l  3  5l  .2
xp 
 3,6l
53 2
Resp: Cada balde teria 3,6 litros de água.
• Ou seja, a quantidade, em litros, de água em
cada balde é chamada de média ponderada
dos valores 4 litros, 2 litros e 5 litros, com
pesos 5; 3 e 2.
• Resumindo o “peso” é o número de vezes
que o valor se repete.
•1) Considere as seguintes situações:
Situação 1
Os salários de 5 pessoas que trabalham em uma empresa são:
R$700,00 ; R$800,00 ; R$900,00 ; R$1.000,00 e R$5.600,00. O salário
médio dessas 5 pessoas é:
700  800  900  1.000  5.600
x

5
9.000

 1.800,00
5
Parece lógico que, neste caso, a média aritmética não é a melhor
medida de centralização para representar esse conjunto de dados,
pois a maioria dos salários é bem menor que R$1.800,00. Em algumas
situações a mediana é um número mais representativo. A mediana é o
termo central do rol*. Logo, escrevendo o rol* dos dados numéricos
dessa situação, temos:
(700; 800; 900; 1000; 5600)
Logo, o termo central desse rol* é “900”. Então a mediana é igual a
900.
(Rol: É toda seqüência de dados numéricos colocados em ordem crescente(ou não
decrescente) ou decrescente(ou não crescente))
Situação 2:
Se acrescentarmos à lista o salário
de R$1.000,00 de outro
funcionário, ficaríamos com um número par de dados numéricos:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600)
Nesse caso, a mediana seria a média aritmética dos termos centrais:
Logo a mediana é dada por:
900  1000
mediana 
 950,00
2
Podemos interpretar esse resultado da seguinte maneira:
Metade dos funcionários ganha menos de R$950,00 e a outra metade
mais de R$950,00.
Note que a média aritmética desses valores é:
700  800  900  1.000  1.000  5.600
x

6
10.000

 1.666,66
6
ou seja, bem superior ao salário da maioria dos funcionários.
Generalizando:
Se n é ímpar, a mediana é o termo central do rol.
Se n é par, a mediana é a média aritmética dos termos centrais do rol
MODA
Definição: Em uma amostra cujas freqüências dos elementos não são
todas iguais, chama-se moda, que se indica por M , todo elemento de
o
maior freqüência possível.
EX: Na lista de salários do exemplo anterior:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600)
O salário que aparece com maior frequência é o de R$1.000,00. Logo a
Moda=R$1.000,00 ou o
“salário modal” é de R$1.000,00.
Resumindo:
Na sequência de salários:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600)
700  800  900  1.000  1.000  5.600

6
10.000

 1.666,66
6
temos:
Salário médio: x 
Salário mediano=
900  1000

 950,00
2
Salário Modal = R$1.000,00
Observações importantes sobre moda:
 Na amostra (3; 3; 4; 7; 7; 7; 9) a moda é

Na amostra (1;5; 7; 9; 9; 10; 10; 22)
Aqui temos duas modas:
(
Mo  7
Mo  9
e
M o  10
amostra bimodal)
 Na amostra (1; 3; 5; 7; 9) não apresenta moda, pois todos os
elementos tem a mesma frequência.
2) Os salários dos funcionários de uma empresa estão distribuídos na
tabela abaixo:
Salário
Frequência
R$400,00
5
R$600,00
2
R$1.000,00
2
R$5.000,00
1
O salário médio, o salário mediano e o salário modal são,
respectivamente:
A) R$1750,00; R$500,00 e R$500,00
B) R$1020,00; R$400,00 e R$500,00
C) R$1750,00; R$500,00 e R$400,00
D) R$1020,00; R$800,00 e R$400,00
E) R$1020,00; R$500,00 e R$400,00
OPÇÃO E
3) ENEM 2009 – Prova cancelada
OPÇÃO B
4)ENEM 2009(Prova Cancelada)
OPÇÃO C
5) ENEM 2009(Cancelado)
Solução:
Média 4 : 4 alunos
Média 5 :10 alunos
Média 6 : 18 alunos
Média 7 : 16 alunos
Média 8 : 2 alunos
Total de alunos: 50 alunos
Alunos com média maior ou igual a 6 :
18+16+2 = 36 alunos
Percentual de aprovados:
36
 100%  72%
50
OPÇÃO E
6) ENEM 2009(Cancelado)
Solução:
100
100
100
100
600
kg
kg
kg
kg
kg
de
de
de
de
de
milho 1000 litros/kg = 100.000 litros
trigo 1500 litros/kg = 150.000 litros
arroz 2500 litros/kg = 250.000 litros
c.de.p 5000 litros/kg = 500.000 litros
c.de.boi 17000 litros/kg=10.200.000 litros
Total de litros de água = 11.200.000 litros
Total de kg de alimentos = 1000 kg
Quantidade média de água por kg:
11.200.000litros
 11.200litros / kg
1000kg
Opção B
7)
A tabela traz as idades, em anos, dos filhos de 5 mães.
Mãe
Ana
Idade
dos
filhos
7;
12
10;
Márcia
Cláudia
Lúcia
Heloísa
11; 15
8;
12
12; 14
9;
12;
15; 16;
18
10;
A idade modal desses 15 filhos é inferior à idade média dos filhos de
Heloísa em ____ ano(s).
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
Solução:
Ida
de
7
8
9
10
11
12
14
15
16
18
Fre
q.
1
1
1
2
1
4
1
2
1
1
Logo idade modal = 12 anos
Média dos filhos de Heloísa:
=
9  12  15  16  18
x
5
Logo é inferior em 14 – 12 = 2 anos
OPÇÃO C
=
70
5
=
14
anos
8) ENEM CANCELADO
Cidades da Região Norte:
Belém(PA):2º
Boa Vista(RR): 1º
Macapá(AP): 1º
Manaus(AM): 2º
Palmas(TO): 1º
Porto Velho(RO):2º
Rio Branco(AC): 1º.
Frequência relativa =
3
 100%  42,8%
7
OPÇÃO A
9) ENEM Cancelado
Solução:
523 milhões/12 meses = 43,58... milhões por mês.
43,58... milhões por mês/ 180 mil trabalhadores=
4358
43,58  10
43,58  10


242
,
00

4
3
18
18  10
180  10
6
6
OPÇÃO: B
ENEM 2010
ENEM 2010
A)6
B)6,5
C) 7
D) 7,3
E) 8,5
OPÇÃO:
B
ENEM 2009
• OPÇÃO: D