Lógica e Computação - DI PUC-Rio

Lógica e Especificação
Edward Hermann Haeusler
Departamento de Informática
TECMF
PUC/RJ
Qual a relação entre a Lógica e a Computação ?
-
O que é a (Teoria da) Computação ?
Tentativa de conceituação do
Computável
-
O que é Lógica ?
Tentativa de conceituação do
Razoável
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Computável
Tudo aquilo que pode ser realizado
por um ser burro com um mínimo
de conhecimento/capacidade.
burro = Incapaz de Aprender
conhecimento = ?
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3
Razoável
Todo evento que é passível de uma
explicação, na forma argumentativa,
construída sobre fatos iniciais
inquestionáveis.
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Computável = Razoável ?
- Computável Razoável ?
- Razoável Computável ?
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Como Definir tais Conceitos ?
Através de Linguagens para :
Expressar Procecimentos
Expressar Argumentos
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Principais Componentes de uma Linguagem
- Sintaxe : Como se escreve ?
- Semântica : O que significa ?
- Pragmática : Como se usa ?
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Em uma L.P.
- Como é um programa ?
- Como se executa ou,
O que um programa faz ?
- Como se constroem programas
visando a solução de problemas ?
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Semântica
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Linguagem e Metalinguagem
-
Precisa-se de uma linguagem para descrever
outra linguagem.
-
À linguagem descritora chamamos de
metalinguagem enquanto à descrita
chamamos de linguagem objeto.
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Paradoxos
1. Eu sou Mentiroso.
2.
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- O menor denominador comum
entre 1/2 e 2/3 é 6.
- 1/2 = 2/4
Então o menor denominador comum
entre 2/4 e 2/ 3 é 6.
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Princípio da Funcionalidade de Frege
A Semântica de uma expressão deve ser
uma função da semântica das suas subexpressões.
Objetos sintáticos são naturalmente
Hierárquicos (estruturados).
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Semânticas
Extensional X Intensional
1. Planeta Vênus.
2. Estrela Vespertina.
3. Segundo Planeta do Sistema Solar.
- Em uma sem. extensional 1,2 e 3 têm o mesmo
significado.
Em uma sem. intensional 1, 2 e 3 têm diferentes
significados. A forma é levada (sintaxe ?) em
conta.
-
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Princípio da Funcionalidade e
intensionalidade.
•
1. Necessariamente a estrela matutina é
a estrela matutina.
2. Necessariamente a estrela matutina é
a estrela vespertina.
 Linguagem natural necessita de semântica
intensional.
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Expressões aritméticas :
Sintaxe
Semântica Ext.
V( (1 + 2) * 5)
*
+
5


V( 1 + 2 )
*
V( 5 )

1
2
V(
1) +
V( 2 )
* 5

(1 + 2) * 5
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( 1 + 2 ) * 5 = 15
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A Linguagem da Lógica
A Lógica tem, tradicionalmente, por objetivo
a definição do que seja uma argumentação
correta.
Argumentação = Sequência de sentenças onde
distingue-se premissas e conclusão
Sentença = Expressão linguística enunciadora
de um pensamento completo.
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Exemplos de Sentenças.
1. Salvador é a capital da Bahia.
2. (2 + 3) = 5.
3. Qual o melhor time de futebol do Brasil ?
4. Compile o Programa !
O tipo de sentença de interesse em uma
argumentação é a sentença declarativa.
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Exemplos de Argumentos
Todo homem é mortal.
FHC é homem.
------------------------------------FHC é mortal.
Todo homem é animal
Todo gato é animal
------------------------------------Todo gato é homem
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Há exatamente 136 caixas de bombas
em um depósito.
Cada caixa contém pelo menos 140
bombas.
---------------------------------------------------------------------------
Nenhuma caixa tem mais de 156 bombas
Lula é o presidente do Brasil
Brasília é a capital do Brasil
--------------------------------------------A lua é um satélite da Terra
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Lula é o presidente do Brasil
----------------------------------------------------Lula é humano e presidente do Brasil
Lula é o presidente do Brasil
----------------------------------------------------Lula é humano ou presidente do Brasil
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Alguns paulistas são latinos.
Alguns brasileiros são latinos
------------------------------------------Alguns brasileiros são paulistas
Tudo que é raro é caro.
Uma casa boa e barata é rara.
------------------------------------------Uma casa boa e barata é cara.
Todo triângulo tem somente 3 lados
Todo quadrado é triângulo.
---------------------------------------------------Todo quadrado tem somente 3 lados.
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Argumentos e Solucao de Problemas
-Tenho 3 esferas visualmente identicas. Entretanto duas tem o mesmo
peso, enquanto uma terceira tem peso diferente. Utilizando somente
uma balanca de equilibrio, sem pesos marcados, como posso descobrir
a esfera diferente e saber se e’ mais pesada ou mais leve ???
 Prove que uma das 3 esferas e’ mais pesada ou mais leve
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Especificacao, Prova e Solucao de Problemas
-Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro,
não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não
‘e Ana, ‘e mais velha que Carla e a sobrenome Castro e’ a mais velha
das 3.
Qual a melhor ordem ?
- Resolver, Especificar, Provar
- Resolver, Provar, Especificar
- Especificar, Resolver, Provar
- Provar, Especificar, Resolver
- Especificar, Provar, Resolver
- Provar, Resolver, Especificar
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Em Lógica Matemática
Prova
•
(Argumentação)
formada por
Premissas
Regras de
Inferência
(Argumento)
formada por
conclusão
são
Sentenças
?
conectivos/
quantificadores
Átomos
Sentenças Compostas
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Como representar os elementos da linguagem
lógica tendo por princípio a universalidade ?
Formalização da linguagem.
Somente conectivos/quantificadores podem
possuir significado a priori.
Átomos são representados por
Letras sentenciais (log. Sentencial).

Fórmulas (combinações de átomos
via conectivos) representam sentenças
em geral.
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Conectivos
Da praxis matemática tiramos :
•
Conjunção ( "e" lógico)
 Disjunção ( "ou" lógico)
  Implicação ( "se ____ então____")
 ~ = Negação ( "não lógico ")
O significado de cada conectivo pode ser determinado
pelas regras que ditam seu uso
(Semântica Operacional)
O significado de cada conectivo pode ser determinado
pelas condições de verdade estabelecidas por ele
(Semântica tradicional ou Tarskiana)
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Fórmulas
Toda letra sentencial é uma fórmula
Se ae b são fórmulas, então também
são fórmulas :
-
ab
ab
ab
~a
Obs : Parenteses são usados para auxiliar
à análise sintática.
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Semântica p/ Lógica Clássica
Extensional com Valores de "Verdade".
Atribuição arbitrária de valores para as
letras sentenciais. (Interpretação)
Fórmulas têm seus valores determinados
pela interpretacão e pelas funções semânticas associadas a cada conectivo.
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Funções na forma de Tabela.

V
F

V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F

 V
F
~
V
F
F
V
V
V
F
F
VF
V
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
V
F

V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
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Atribuição de Valores à fórmulas
Interpretação :
I : Letras -{V,F}
Dada uma interpretação I pode-se definir a
denotação associada V:


V(I, L) = I ( L) se L é letra sentencial.
V( I, ab) = V(I, a) V( I, b)
V(I, ab) = V(I, a) V(I, b)
V(I, a) = V(I, a) F = ~ V(I, a)
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Def. Uma f órmula a é dita satisfatível, sse, existe uma
interpretação que a torna verdadeira, i.e.
Existe I , tal que
V(I,
a) = V
Def. Um conjunto de f órmulas é satisfatível, sse, todas
as suas fórmulas são satisfatíveis (para a mesma
interpretação.
Def. Diz-se que uma fórmula é válida, sse, ela é
verdadeira sob toda interpretação.
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O conceito de conectivo principal.
É aquele conectivo que aparece em
primeiro plano em uma análise sintática.
Exemplos:
(A B)  (C D)
~ (A B)
(A B)
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C
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Def. Uma fórmula aé dita ser consequência lógica
de um conjunto Gde fórmulas (G a), sse :
- Toda interpretação que "torna" todas as
fórmulas de G verdadeiras “torna” averdadeira.
Ex:
-
{ ~~ A}
A
{A, A B}
B
{A B, A C, B C}
{A B}
~B ~A
Def. a é equivalente a b sse a
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C
b eb
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a
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Completude funcional da lógica clássica
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ??
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ??
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e ??
- Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e ??
- Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) por
meio dos conectivos acima ??
- Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) com
um conectivo só (novo certamente) ??
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Sistemas Dedutivos e Argumentação Formal
Def1. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite a construção
de argumentos formais
Def2. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite estabelecer
conclusões a partir de hipóteses.
Def3. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas)
que permite “chegar” a conclusões (sentenças) a partir de
hipóteses (sentenças).
Def4. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas)
onde os axiomas são fórmulas válidas e as regras preservam
a verdade.
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Universalidade da noção de
correto
O conceito de argumento correto deve ser
baseado na forma do mesmo e não em seu
significado particular, ou
Um argumento é correto quando é invariante
sob substituição, i.e., o que importa é o relacionamento entre premissas e conclusão e
não estas propriamente ditas.
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Os sistemas a la Frege/Hilbert
Esquemas de Axiomas:
(K)
A(B A)
(S)
A (B C)  (A B) (A C)
(Cla)  A A
Regra:
A
(Modus Ponens)
Edward Hermann
AB
B
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Exemplos de Deduções
A ((A  A)  A)
A ((A  A)  A) ( (A(AA))  (AA))
(A(AA))  (AA)
A(AA)
AA
B (B  A)
B (B  A) A  B (B  A)
A  B (B  A)
Edward Hermann
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Discussão:
1- O método da “tabela verdade” é um sistema dedutivo ??
2- O que dizer do sistema dedutivo somente com a regra de
modus ponens e como axiomas todas as fórmulas válidas (tautologias)
3- Como comparar sistemas dedutivos ??
4- O que a prova de um teorema deve nos dizer ??
5- O que prova de teoremas tem a ver com computação e programação ??
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Programa do Curso
1.
2.
3.
4.
Edward Hermann
Linguagem Clássica de Primeira Ordem.
Lógica Intuicionista
Algebras de Processo
Logicas Temporais
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