Unidade 0

Amintas
engenharia
Cálculo Diferencial e
Integral 2
Unidade 0
Para que Serve o Cálculo Diferencial e Integral II?
Amintas Paiva Afonso
“Não se consegue nada sem o devido esforço”
Porque apenas uma variável
não chega!
Porque apenas uma variável
não chega!
 No mundo que nos rodeia quase tudo depende de várias
variáveis: pressão atmosférica, temperatura, densidades de
massa ou de carga elétrica, grandezas econômicas, grandezas
mecânicas como a posição, a velocidade ou a aceleração.
 Algumas destas grandezas são representadas matematicamente
por campos escalares; em cada ponto temos um número que
significa, nalguma unidade, por exemplo uma temperatura, ou
uma pressão, ou uma densidade de massa por unidade de
volume.
 Outras grandezas são representadas por campos vetoriais; em
cada ponto temos um vetor que representa, por exemplo, uma
força aplicada nesse ponto, ou a posição de uma partícula ou a
sua velocidade.
Porque apenas uma variável
não chega!
 O que significa dizer que estas grandezas variam
continuamente?
 O que significa tomar derivadas destas grandezas segundo
uma direção?
 O que é um gradiente de pressão ou um gradiente de
temperatura?
 O que é uma linha isobárica?
 E uma linha isotérmica?
 O que é uma superfície equipotencial quando estamos na
presença de um campo eletroestático?
 Como manipular e representar estes objetos matemáticos?
Porque apenas uma variável
não chega!
 Todos estas idéias se aprendem a manipular em CII e
correspondem a conceitos do Cálculo Diferencial de Várias
Variáveis.
 Não conhecer a matéria de CII deixar-nos-ia incapazes de
quantificar e analisar de forma científica quase tudo o que
nos rodeia; como se fossemos analfabetos na biblioteca mais
rica do mundo!
Para estudar a cobertura
do Pavilhão Atlântico
Para estudar a cobertura do Pavilhão Atlântico
Para estudar a cobertura
do Pavilhão Atlântico
 Para construir uma estrutura como a cobertura do Pavilhão
Atlântico na Expo ou a célebre placa do arquiteto Siza
Vieira, temos de conseguir responder a várias questões que
de imediato se põem, por exemplo:
• Quanto pesa a cobertura (qual é a sua massa)?
• Qual é a área que ocupa?
• Em que pontos devem ser colocados os apoios e que cargas
devem poder suportar?
• Que ângulos com a vertical devem ou podem os apoios fazer?
Para estudar a cobertura
do Pavilhão Atlântico
 Para responder a estas questões precisamos de um modelo
matemático da estrutura. Como a extensão em comprimento e
largura da cobertura é muito maior do que a sua espessura, é
muito útil e uma boa aproximação considerar a cobertura como
uma superfície.
 Após termos a descrição da superfície em termos de uma
equação ou de uma parametrização e conhecendo a densidade
efetiva de massa por unidade de área podemos calcular a massa
da cobertura, a sua área, os momentos de inércia relativos a
vários eixos - o momento de inércia mede a capacidade de
rotação da estrutura em torno de um eixo - e assim calcular as
cargas exercidas sobre os apoios.
Para estudar a cobertura
do Pavilhão Atlântico
 Podemos também calcular as equações das retas
perpendiculares à cobertura. Em CII tudo isto se aprende
a calcular através do estudo de variedades e de
integrais em variedades (neste caso mais simplesmente
superfícies e integrais de superfície).
Para perceber o
Electromagnetismo
Para estudar a cobertura do Pavilhão Atlântico
A foto representa um dipólo magnético supercondutor usado num acelerador do
CERN para acelerar partículas elementares até velocidades muito altas. )
Para perceber o
Electromagnetismo
 O Eletromagnetismo é uma parte essencial da Física e uma
ferramenta de importância fundamental em praticamente
todas as Engenharias. O Eletromagnetismo é onipresente na
vida quotidiana: celulares, televisões, rádios, leitores de CD,
computadores, trovoadas, reações químicas, a visão, o
radar, a luz das estrelas são entre muitas outras coisas
fenômenos influenciados pelo Eletromagnetismo ou
tecnologia que funciona à base do Eletromagnetismo.
Para perceber o
Electromagnetismo
 Tal como toda a Física, o Eletromagnetismo é descrito
por leis matemáticas neste caso contidas nas Equações
de Maxwell:
• Div(E) = q
• Div(B) = 0
• Rot(E) + dB/dt = 0
• Rot(B) - dE/dt = j
E = campo elétrico, B = campo magnético, q = densidade de
carga elétrica, j = densidade de corrente elétrica.
Para perceber o
Electromagnetismo
 A linguagem em que estão escritas as Equações de Maxwell é a
linguagem do Cálculo Diferencial de Várias Variáveis. Em CII
aprendem-se os significados dos operadores Divergência (Div) e
Rotacional (Rot) que aparecem nas Equações de Maxwell.
 Também se aprendem resultados do Cálculo Integral de Várias
Variáveis que permitem escrever as Equações de Maxwell na
forma integral. Por exemplo, a primeira equação dá origem à Lei
de Gauss: a carga elétrica total no interior de uma superfície
fechada é proporcional ao fluxo do campo elétrico para o exterior
da superfície. Também a Lei de Ampère do magnetismo pode ser
entendida de modo semelhante.
Para perceber o
Electromagnetismo
 A Lei de Gauss e a Lei de Ampère surgem das Equações de
Maxwell através de dois resultados fundamentais que se
aprendem em CII: O Teorema da Divergência e o Teorema
de Stokes.
Para perceber a
Mecânica
Para perceber a
Mecânica
 Entre os conceitos fundamentais da Mecânica encontram-se os
conceitos de posição, velocidade, aceleração e força. Todas estas
grandezas são representadas matematicamente por campos
vetoriais. O Cálculo Diferencial de Várias Variáveis é essencial
para as manipulações mais elementares destas grandezas físicas:
por exemplo, o campo vetorial velocidade é a derivada em ordem
ao tempo do campo vetorial posição.
 Por sua vez, a aceleração é obtida derivando a velocidade em
ordem ao tempo. Também o Cálculo Integral de Várias Variáveis
é crucial para se estudar a Mecânica. O trabalho de uma força ao
longo de uma trajectória é calculado através de um integral de
linha.
Para perceber a
Mecânica
 Forças cujo trabalho realizado ao longo de qualquer
unindo dois pontos fixos arbitrários seja independente do
escolhido - o trabalho depende só das posições inicial
chamam-se forças conservativas. Um exemplo é
gravitacional Newtoniana.
caminho
caminho
e final a força
 A uma força conservativa podemos associar uma Energia
Potencial . Matematicamente, como se aprende em CII, estas
idéias estão associadas aos conceitos de gradiente e de
potencial escalar para um gradiente.
Para perceber a
Mecânica
 Um dos princípios fundamentais da Física, o Princípio da
Conservação da Energia - que diz que a soma das energias
cinética e potencial de um corpo é constante num sistema
conservativo - é um corolário direto da Lei de Newton (F = ma) e
do Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha.
Para perceber a
Mecânica dos Fluidos
Para perceber a
Mecânica dos Fluidos
 Muitas aplicações tecnológicas baseiam-se na Mecânica dos
Fluidos e/ou a sua estrutura é grandemente afetada pelas leis de
movimento dos fluidos. Um exemplo evidente é o da aerodinâmica
de um avião, associada a uma boa performance e a um mais
baixo consumo de combustível, que é intensivamente testada em
todos os novos protótipos em túneis de vento.
 Um exemplo mais surpreendente é fornecido pelo estudo dos
problemas do trânsito numa grande cidade que pode ser
modelado por um problema de mecânica dos fluidos fazendo-se
variar a velocidade, compressibilidade, viscosidade e outras
propriedades do fluido consoante a situação concreta que se
pretende estudar.
Para perceber a
Mecânica dos Fluidos
 Uma das equações fundamentais da Mecânica dos Fluidos é a
Equação de Navier-Stokes. A linguagem em que é escrita a Equação
de Navier-Stokes é, mais uma vez, a do Cálculo Diferencial de Várias
Variáveis, aplicado ao campo vectorial da velocidade do fluido e a
outros.
 Os operadores Laplaciano, Divergência e Rotacional que se
aprendem a manipular em CII são ferramentas fundamentais na
teoria. Por exemplo, se um fluido homogêneo tiver a propriedade de
ser
incompressível,
essa
propriedade
representa-se
matematicamente pela equação Div(v) = 0 onde v é o campo
vectorial da velocidade do fluido. Por sua vez os resultados do
Cálculo Integral de Várias Variáveis são importantes para se
descreverem as leis de conservação (ou de continuidade) da
Mecânica dos Fluidos.
Para perceber a
Mecânica Quântica
Para perceber a
Mecânica Quântica
 Todos os sistemas à escala molecular ou atômica têm de ser
descritos e estudados com a Mecânica Quântica. Em particular,
toda as leis da Química como a estrutura periódica dos
elementos, a estabilidade de compostos moleculares ou as
reações químicas são mais ou menos diretamente influenciados
pelas leis da Mecânica Quântica. A equação fundamental da
Mecânica Quântica (não-relativista) é a Equação de Schrodinger.
 A aplicação da Equação de Schrodinger a sistemas atómicos ou
moleculares reais muito rapidamente fica dependente de
conceitos básicos de Cálculo Integral de Várias Variáveis, como
por exemplo os integrais múltiplos.
Para perceber a
Mecânica Quântica
 Estes são também ferramentas importantes na Análise de Fourier
de sinais - que consiste na análise das várias frequências que
compõem um sinal, por exemplo eletromagnético. Alguns
aspectos da Análise de Fourier são normalmente estudados em
Cálculo Diferencial e Integral II.
Para um bom trabalho
numérico
A foto representa um supercomputador Cray onde são realizados cálculos numéricos muito
exigentes relativos a problemas de Teoria Quântica do Campo - esta é a teoria em que melhor se
descreve a Física das Partículas Elementares. )
Para um bom trabalho
numérico
 Provavelmente a maioria os problemas práticos de Engenharia
vão necessitar de ser analisados com a ajuda de métodos
numéricos. Por muito sofisticado que seja o software a utilizar
para se atacar numericamente um problema que envolva os
tópicos descritos acima, uma utilização eficiente desse software e
um trabalho numérico de boa qualidade só é possível quando se
entende com solidez a teoria e os conceitos correspondentes.
 Um dos passos para se atingir esses objetivos é aprender bem
as idéias apresentadas na CII, por exemplo o Teorema da
Função Inversa e o Teorema da Função Implícita.
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