números negativos

Números Negativos
7ºAno
Escola EBI
de
INSUA
Os Números Negativos
Operações com números
inteiros relativos
Origem e Evolução dos Números
Os números nasceram da necessidade
de contar coisas, sendo os símbolos
numéricos usados para registar
resultados de contagens.
Podemos imaginar o
homem primitivo a contar
as cabras do seu rebanho
e a registá-las através de
marcações em ossos ou em
troncos de árvores.
Desta forma se controlavam pequenas
quantidades.
3
31 de maio de 2017
Origem e Evolução dos Números (cont.)
Com a evolução das sociedades, tornouse necessário representar números
maiores.
Por exemplo:
Significava 1
Significava 5
Significava 20
(20 dedos de uma pessoa)
4
31 de maio de 2017
Origem e Evolução dos Números (cont.)
No sistema de numeração actual, usamos
apenas 10 símbolos:
0123456789
Estes símbolos (algarismos) ocupam as
posições adequadas para formar os
diferentes números.
Com apenas 10 símbolos pode escrever-se
qualquer número, por maior que seja, e
mesmo os grandes números se escrevem
com poucos algarismos.
5
31 de maio de 2017
Os Números Negativos
Quando andas de elevador
utilizas os números para
subir e descer indicando o
andar a que pretendes
chegar.
Aperceber-te-ás, então, que
os números naturais (1,2,...)
não são suficientes para
representar os movimentos
do elevador, sendo
necessário recorrer a outros
números - os negativos.
6
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
?
Garagem
?
Lavagem
Automática
?
31 de maio de 2017
Os Números Negativos (cont.)
A senhora que vai ao
cabeleireiro carrega
no botão ...
7
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
?
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
?
Garagem
?
Lavagem
Automática
?
31 de maio de 2017
Os Números Negativos (cont.)
Qual te parece ser o
andar do ginásio?
8
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
-1
?
Garagem
?
Lavagem
Automática
?
31 de maio de 2017
Os Números Negativos (cont.)
E o andar da
garagem?
9
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
-1
Garagem
-2
?
Lavagem
Automática
?
31 de maio de 2017
Os Números Negativos (cont.)
E o da estação das
lavagens automáticas?
10
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
-1
Garagem
-2
Lavagem
Automática
-3
?
31 de maio de 2017
Os Números Negativos (cont.)
Serão os números naturais os
mais adequados para os
andares subterrâneos?
Algumas situações não se
podem exprimir somente com
os números naturais. A partir
de agora utilizaremos uns
novos números que nos
resolvem o problema:
os números negativos
11
Apartamento
4
Escritórios
3
Cabeleireiro
2
Restaurante
1
Boutique
0
Ginásio
-1
Garagem
-2
Lavagem
Automática
-3
31 de maio de 2017
Os Números Negativos (cont.)
Chamamos números negativos a todos os
que estão abaixo de zero.
Os números negativos escrevem-se com o
símbolo menos antes.
Assim os diferenciamos dos positivos.
..., -5, -4, -3, -2, -1
Quando um número não leva sinal
nenhum antes, entendemos que é
positivo:
5=+5
+16=16
12
31 de maio de 2017
Os Números Negativos (cont.)
Quando se efectuam operações com
números negativos, estes escrevem-se
entre parêntesis:
8 + (-3)
(-5) x (-2)
O número positivo 8 a somar com o
número negativo –3.
O número negativo –5 a multiplicar
com o número negativo –2.
Mais adiante aprenderás a obter o resultado
destas operações.
13
31 de maio de 2017
Os Números Negativos (cont.)
NOTA
Os números que se escrevem com o sinal + são os
números positivos.
Exemplos: +3; +2; +1,99; ...
Os números que se escrevem com o sinal - são os
números negativos.
Exemplos: - 2; - 4; - 3; - 6; ...
É costume chamar números relativos aos
números positivos, aos números negativos e
ainda ao zero. Representa-se por Z o conjunto
dos números inteiros relativos.
14
31 de maio de 2017
A Utilidade dos Números Positivos e Negativos
1. Do andar em que se
encontra o elevador
do edifício, posso subir
a pisos superiores ou
descer a outros pisos
inferiores:
•Subo cinco andares: +5
•Desço quatro andares: - 4
15
31 de maio de 2017
A Utilidade dos Números Positivos e Negativos
2. O saldo de uma conta do banco aumenta
(+) com os depósitos e diminui (-) com os
levantamentos.
• A Carminho tem vinte
euros:
• O Ernesto deve três euros:
16
+ € 20
-
€3
31 de maio de 2017
A Utilidade dos Números Positivos e Negativos
3. O termómetro pode
marcar uma
temperatura acima de
zero (+8) ou abaixo
de zero (-5).
17
31 de maio de 2017
A Utilidade dos Números Positivos e Negativos
4. O número de pessoas que viajam num
autocarro varia em cada paragem:
•Sobem 10 pessoas:
•Descem 14 pessoas:
18
+ 10 pessoas
- 14 pessoas
31 de maio de 2017
Representação na Recta
Os números relativos – positivos, negativos
ou o zero – podem ser representados numa
recta por meio de pontos.
Consideremos uma recta r e marquemos
sobre ela um ponto O, a que chamamos
origem.
Escolhemos uma unidade de medida e um
sentido positivo (por exemplo da esquerda
para a direita).
Desta maneira obtemos um eixo.
O
19
1
r +
31 de maio de 2017
Representação na Recta
Se quisermos marcar o ponto A
correspondente ao número +5, contamos 5
unidades para a direita de O.
O
-
+1
A
+5 +
Se quisermos marcar o ponto B
correspondente ao número -3, contamos 3
unidades para a esquerda de O.
-
B
-3
O
+1
20
+
31 de maio de 2017
Representação na Recta
O número que corresponde a um ponto do
eixo chamamos abcissa desse ponto.
-
B
-3
O
+1
A
+5 +
A abcissa de A é +5
A abcissa de B é -3
A origem tem abcissa zero.
Nota: O Eixo é uma recta orientada .
21
31 de maio de 2017
Ordenação
Quando dispostos sobre um eixo, os
números relativos encontram-se
ordenados.
Se o eixo é horizontal e orientado da
esquerda para a direita, um número é
tanto maior quanto mais para a direita
se encontrar.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Cada vez maior
22
31 de maio de 2017
Ordenação
Vemos, por exemplo, que +5 é maior que
+2 e para indicar este facto escrevemos:
+5>+2
Também se pode dizer que + 2 é menor
que + 5 e escrever:
+2<+5
Isto é, a > b é o mesmo que b < a
-3
-2
-1
0
1
23
2
3
4
5
31 de maio de 2017
Ordenação
Da observação da posição relativa de
dois números num eixo resultam
algumas regras para comparar dois
números diferentes:
•Qualquer número positivo é maior do que
zero.
+ 0,012 > 0
•Zero é maior que qualquer número
negativo.
0 > - 35
•Qualquer número positivo é maior do que
qualquer negativo.
+1 > - 35 ;
24
+ 0,5 > - 100
31 de maio de 2017
Valor Absoluto (ou Módulo)
Consideremos agora os pontos A e B,
sendo que A tem abcissa + 3 e B tem
abcissa – 2.
-3
-2
-1
0
1
2
B
3
4
5
A
2
3
A distância do ponto A à origem é 3.
A distância do ponto B à origem é 2.
A essa distância chamamos valor absoluto
ou módulo.
25
31 de maio de 2017
Valor Absoluto (ou Módulo)
Assim dizemos que o valor absoluto (ou
módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:
+3 = 3
Portanto, temos ainda que
-2 = 2
Valor absoluto (ou módulo) de um número
é a distância à origem do ponto que
representa esse número.
Naturalmente, temos que o valor absoluto
de zero é igual a zero:
0 =0
26
31 de maio de 2017
Valor Absoluto (ou Módulo)
NOTA
O valor absoluto de um número é:
•O próprio número, se ele for positivo ou zero.
+3 = 3
0 =0
•O seu simétrico, se ele for negativo.
-2 = 2
27
31 de maio de 2017
Números Simétricos
Relativamente à origem da recta, é
sempre possível encontrar dois pontos
que se encontram à mesma distância.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a
mesma distância à origem, ou seja,
-4 = 4
Dizemos então que – 4 e 4 são
números simétricos.
28
31 de maio de 2017
Números Simétricos
Dois números dizem-se simétricos se
tiverem sinais contrários e o mesmo
valor absoluto.
Exemplos de números simétricos:
- 0,3 = 0,3
- 0,3 e 0,3
porque
1e -1
porque
1
= -1
Nota que o simétrico do número zero é o
próprio número zero:
0
= 0
29
31 de maio de 2017
Números Simétricos
Observação
1. De dois números positivos o maior é o que
tem maior valor absoluto (está mais longe da
origem).
Exemplos:
+ 0,5 > + 0,1
+ 100 > + 40
2. De dois números negativos o maior é o que
tem menor valor absoluto (está mais perto da
origem).
Exemplos: - 3 > - 50
- 0,01 > - 10
30
31 de maio de 2017
Números Simétricos
Propriedade
O simétrico do simétrico de um número é o
próprio número.
Exemplos: - (- 3) = + 3
- (- a) = + a = a
Esta propriedade permite simplificar expressões
como:
- (- 8) = + 8 , o simétrico de – 8 é + 8
- (+ 8) = - 8 , o simétrico de + 8 é - 8
31
31 de maio de 2017
Números Simétricos
Simplificação da escrita
Na recta também se escreve 1,2,3,..., em vez de
+1,+2,+3,...
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Também:
+ (+ 8) = + 8
+ (- 8) = - 8
Não é obrigatório escrever o sinal +
32
31 de maio de 2017
Números Simétricos
Concluindo
•Valor absoluto da abcissa de um ponto é a
distância à origem.
•Dois números que têm o mesmo valor absoluto
e sinais contrários são números simétricos.
• - (- a) = + a = a ;
+ (- a) = - a
;
- (+a) = - a
+ (+a) = + a = a
33
31 de maio de 2017
Números Simétricos
Nota
Na recta numérica o maior dos números
encontra-se à direita do menor.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 é maior que - 4
-2>-4
2 é maior que - 1 ou
- 1 é menor que 2
2>-1
-1<2
>
maior
<
menor
34
31 de maio de 2017
Números Inteiros Relativos
Na Natureza encontramos 1 árvore, 2
árvores, 3 árvores, ...
Os números 1,2,3,... são os números
naturais.
O conjunto dos números naturais
representa-se pela letra maiúscula N
com um traço, para distinguir da letra
normal.
IN = {números naturais} = {1,2,3,4,5,...}
INo = {0,1,2,3,4,5,...} = IN U {0}
é o conjunto dos números
inteiros não negativos.
35
31 de maio de 2017
Números Inteiros Relativos
Como já sabes, existem números negativos,
simétricos dos números naturais.
Os números naturais, os seus simétricos e o
zero, formam um novo conjunto:
= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
é o conjunto dos números
inteiros relativos.
IN C INo C
IN
INo
Z
Z
C
Z
Z
INo
Significa
Significa
“está contido”
“contém”
36
31 de maio de 2017
-4
1.Exemplo
Z
-1
 IN

O símbolo 
Significa pertence
O símbolo
Significa não pertence
2.Os símbolos  (intersecção) e  (reunião)

Z0
 Z0
onde,
Z

INo
Z Z
-
Z
 IN = IN
Z ={+1,+2,+3,...}={números inteiros positivos}




Z 0  Z  0 ; Z 0  Z  0
Z ={...,-3,-2,-1}={números inteiros negativos}
37
31 de maio de 2017
Números Inteiros Relativos
Exercícios:
Usando os símbolos
ou

completa:
 Z; e) 0 
Z ; d) -3  IN ; f) 0 
2.2 Complete usando os símbolos C ou
a) Z
;
b) Z C
;
INo ;
IN ; c) 4

Z.
C

b) -3 
a) -1

:
Z

Z0
38
31 de maio de 2017
C