ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Cezar Cerqueira

CURSO DE MÉTODOS
QUANTITATIVOS APLICADOS À
LOGÍSTICA
Prof. Cezar Augusto Cerqueira – UPE/UNICAP
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


“ A primeira condição para modificar a
realidade consiste em conhecê-la (Eduardo
Galeano)
“No futuro, o pensamento estatístico será tão
necessário para a cidadania eficiente como
saber ler e escrever.” Herbert George Wells
(1866 - 1946)
“Pela falta de um cravo, perdeu-se a ferradura,
pela falta da ferradura perdeu-se o cavalo, e
pela falta do cavalo o cavaleiro se perdeu".
Benjamin Franklin
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ESTATÍSTICA: UMA VISÃO
GERAL

ESTATÍSTICA



Ciência de coletar, organizar, interpretar
dados
Visando...tomada de decisões
ESTATÍSTICAS


Somos bombardeados por elas a todo
momento
Números, informações, indicadores... Sociais,
econômicos, demográficos, gerenciais
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A estatística reúne métodos para:



Coleta
Processamento
Análise e interpretação de dados


Informações numéricas analisadas servem de
base para tomada de decisões;
As estatísticas nos auxiliam a entender melhor
os fenômenos em geral;
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Métodos Estatísticos:
Importância - profissional




Ferramenta fundamental no processo de
solução de problemas
Gestores modernos lidam com grande
quantidade de informação.
Auxílio na determinação de planos de
ação para resolução de problemas
Tomada de decisões “bem informadas“




Apresentar e descrever de forma apropriada as
informações
Tirar conclusões sobre grandes populações com
base em amostras
Melhorar processos
Obter previsões confiáveis
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Métodos Estatísticos:
Importância empresarial






Aumento na competitividade
Eliminação de desperdícios
Redução na necessidade de inspeção
Aumento no grau de satisfação dos
clientes
Otimização de processos
Redução de custos
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Alguns estudos de caso: aplicações
dos MQ’s

ERROS EM FATURAS

A equipe de qualidade de uma empresa
observa uma alta freqüência de erros nas
faturas dos produtos entregues. Estes erros
resultam no cancelamento de ordens de
serviço, descontentamento dos clientes e
excessivo retrabalho
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Alguns estudos de caso: aplicações
dos MQ’s

TRANSPORTE DE PRODUTOS

uma empresa quer descobrir se o tempo que
leva para transportar o produto de seu
depósito após receber um pedido online está
dentro do limite máximo de 5 dias.
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Alguns estudos de caso: aplicações
dos MQ’s

PREVISÃO DE GASTOS COM LOGÍSTICA


Uma empresa prestadora de serviços deseja
obter as previsões para gastos com logística
para o próximo ano, a partir dos dados dos
dois últimos anos.
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Alguns estudos de caso: aplicações
dos MQ’s


TEMPO PARA ATENDIMENTO DE
RECLAMAÇÕES
Uma transportadora de encomendas, a partir do plano
estratégico da empresa, estabeleceu como meta
passar a resolver no prazo máximo de cinco dias (ou
120 horas) as reclamações de seus clientes, até o final
do semestre. Para atingir esta meta, a empresa iniciou
um programa de melhoria de qualidade.
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Alguns estudos de caso: aplicações
dos MQ’s

PROBLEMA DO TRANSPORTE


Imagine que a ABECITRUS (Associação Brasileira de
produtoras e exportadoras de sucos e assemelhados) esteja
interessada em ajudar na coordenação e otimização dos
custos de transportes da indústria. Suponha que existam 3
regiões produtoras no Brasil e 5 destinos (mercados)
importantes para os produtos. As quantidades produzidas,
os volumes consumidos nos mercados, assim como os
custos de transporte entre origens e destinos são
conhecidos.
O objetivo é escoar toda a produção, atendendo aos
mercados consumidores, com custo de transporte mínimo.
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VARIABILIDADE

Processos produtivos e/ou de prestação
de serviços sempre apresentam
variabilidade ligada, principalmente, a:





Matéria-prima
Condições de equipamentos
Métodos de trabalho
Condições ambientais
operadores
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REDUÇÃO NA VARIABILIDADE


Envolve: coleta; processamento; análise
de dados
Identificação das causas fundamentais
de variação



Causas comuns ou aleatórias (inerentes)
Causas especiais ou assinaláveis
Processo sob controle estatístico:
presença apenas de causas comuns.
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
PROBABILIDADE


Teoria matemática utilizada para se estudar a
incerteza, oriunda de fenômenos de caráter aleatório.
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA


Trata da análise e interpretação de dados amostrais
O principio básico é tirar conclusões sobre a população
a partir de uma amostra de dados obtida da mesma.
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População
Amostra
Descrição
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Análise
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Inferência
Coleta de dados

Dados: base para tomada de decisões
Inteligência
(Projetos)
Conhecimento (Tomada de decisão)
Informação (Modelos Probab - Inferencia))
Dados Observados (análise exploratória)
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COLETA DE DADOS: OBJETIVOS




Desenvolvimento de novos produtos
 Pesquisas de mercado
Inspeção
 Classificação de produtos/insumos
Controle e acompanhamento de processos produtivos
 Verificar se o processo está sob controle; quantificar a
variabilidade; verificar se o processo é atende a
especificações.
Melhoria de processos produtivos
 Produtos que não satisfazem à meta
 Melhoria frente a novas exigências e necessidade de
sobrevivencia da empresa.
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PRODUÇÃO DE DADOS: UMA
PALAVRA SOBRE FONTES DE
DADOS




Obter dados já publicados por fontes
governamentais,
industriais
ou
individuais.
Planejar e executar um experimento
para obter os dados necessários.
Planejar e executar uma pesquisa ou
levantamento de campo.
Realizar uma análise qualitativa
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Indivíduo e Variável


Indivíduos: objetos descritos por um conjunto de dados
(pessoas, empresas, municípios, animais, ações, tempo,
etc)
Variáveis: qualquer característica de um indivíduo,
podendo assumir diferentes valores, de acordo com o
indivíduo a que se refere.
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OBSERVAÇÃO versus
EXPERIMENTO

Estudo observacional


Investiga indivíduos e mede variáveis de
interesse, sem influenciar as respostas
Experimento

Impõe algum tipo de tratamento sobre os
indivíduos, a fim de observar suas respostas
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TIPOS DE DADOS: VARIÁVEIS

QUALITATIVAS



Nominais (sexo, região...)
Ordinais (grau de instrução)
QUANTITATIVAS

Discretas (contagens)


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Ex: número de itens defeituosos; número de arranhões
em certa peça; número de acidentes de trabalho no mês.
Contínuas (mensurações em escala contínua)
 Diâmetro de uma peça; rendimento de uma reação
química; tempo gasto na execução de uma tarefa;
espessura de uma peça.
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O Banco de Dados
Nome
Idade Sexo Renda (Sal. Min)
José
27 Masc
5,32
Catarina
30 Fem
6,43
Pedro
21 Masc
1,20
Cibele
22 Fem
2,33
Helena
25 Fem
3,56
Marta
20 Fem
1,70
Carolina
35 Fem
4,50
Juan
45 Masc
8,00
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Instrução
Superior
2 Grau
1 Grau
2 Grau
2 Grau
1 Grau
Técnica
Superior
Levantamentos amostrais

População


Grupo inteiro de indivíduos sobre o qual se
deseja informações
Amostra

Parte da população da qual se coletam de fato
informações, utilizadas para se tirarem
conclusões sobre o todo.
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FERRAMENTAS DA QUALIDADE







Estratificação
Folha de Verificação
Gráfico de Pareto
Diagrama de Causa e Efeito
Histograma
Diagrama de Dispersão
Gráfico de Controle
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Gráfico de Pareto



Princípio de Pareto (80/20)
Em torno de 80% dos problemas vem
de 20% das causas
Atacar 1/5 das causas solucionaria 4/5
dos problemas
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Distribuições de frequência: Gráfico
de Pareto
Tabela 2.4 – Defeitos encontrados em uma amostra de lentes fabricadas pela indústria
Freqüência
Freqüência Total
relativa
Percentual
Tipo de Defeito
de defeitos Acumulado (%)
Acumulado
Revest. Inadequado
55
55
43,3
43,3
Trinca
41
96
32,3
75,6
Arranhão
12
108
9,4
85,0
Espessura inadequada
11
119
8,7
93,7
Mal-acabada
5
124
3,9
97,6
outros
3
127
2,4
100,0
Total
127
FONTE: Indústria de lentes
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-
100,0
-
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Gráfico de Pareto






Para causas: equipamentos, insumos, informação do
processo ou medidas, condições ambientais, pessoas,
métodos ou procedimentos.
Para efeitos: qualidade, custo, entrega, moral,
segurança, etc.
Expresso em unidades monetárias
Gráfico de Pareto estratificado (por operador, etc)
Comparações tipo antes e depois
Desdobramento de gráficos de Pareto (causas e subcausas)
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Gráfico de Pareto para Efeitos
•
Qualidade
•

Custo


Índices de atraso na entrega; entregas erradas; falta de matériaprima em estoque.
Moral


Perdas de produção; gastos com reparos de produtos no prazo de
garantia; custos de manutenção de equipamentos.
Entrega


% de produtos defeituosos; no de reclamações de clientes; no de
devoluções de produtos
Índice de demissões, reclamações trabalhistas; absenteísmo.
Segurança

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Acidentes de trabalho; acidentes sofridos por usuários do produto.
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Gráfico de Pareto para Causas
•
Equipamentos
•

Insumos


Temperatura, umidade, iluminação, clima.
Pessoas


Calibração e precisão de instrumentos de medição; método de
medição.
Condições ambientais


Fornecedor; lote; tipo; armazenamento; transporte.
Informações do Processo ou Medidas


Desgaste; manutenção; modo de operação; tipo de ferramenta
utilizada.
Idade, treinamento, saúde, experiência
Métodos ou procedimentos

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Informação, atualização, clareza das instruções
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Diagrama de Causa e Efeito




Elimine a causa e o efeito cessa. (Cervantes)
Todo efeito tem uma causa (A.Kardec)
Ferramenta para apresentar a relação
entre um resultado de um processo
(efeito) e os fatores (causas)
Deve ser construído por um grupo de
pessoas envolvidas com o processo.
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Diagrama de Causa e Efeito
Espinha Grande
Espinha Pequena
Espinha Média
Característica
(Efeito)
Espinha Dorsal
Fatores (causas)
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Organização e Análise de dados
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FERRAMENTAS GRÁFICAS
SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Diagrama de Pontos
Considere os dados: 3
o
3
o
4
o
o
5
o
6
4
4,5
7
o
8
4,5
Exibem: Dispersão, conglomerados de
pontos, lacunas, outliers, comparações
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6
8
Apresentação de Dados
Distribuições de frequências: caso
nominal
Tabela 2.1
Empregados do setor de produção, segundo o grau de instrução, 2005.
GRAU DE INSTRUÇÃO Freqüência (fi)
Primeiro Grau
15
Segundo Grau
25
Superior
10
TOTAL
50
FONTE: Pesquisa direta
Empregados do Setor de Produção, segundo grau de
instrução - 2000
20%
30%
Primeiro Grau
Segundo Grau
Superior
50%
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VARIABILIDADE






Sempre presente em processos de produção ou
serviços
É afetada por diversos fatores
Produtos defeituosas são produzidos devido à
presença da variabilidade
A redução da variabilidade implica na redução
do número de itens defeituosos
Causas comuns (inerentes) e causas especiais
Processo sob controle: atuam apenas as
causas comuns
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Gráfico de Sequencias no tempo

Os dados representam a resistencia
à compressão de uma amostra de 20
conectores plásticos:
280
260
240
220
200
241
258
237
210
189
194
225
190
250
220
190
250
240
190
180
209
212
123
178
190
180
160
140
120
100
1
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2
3
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
HISTOGRAMA



Distribuição: modelo estatístico para o padrão
de ocorrencia dos valores de determinada
população
O histograma é um gráfico de barras no qual o
eixo horizontal é subdividido em vários
pequenos intervalos, sendo construída uma
barra vertical, de área proporcional ao número
de observações na amostra cujos valores
pertencem ao intervalo correspondente.
As informações são dispostas de modo a
permitir a possível visualização da forma da
distribuição dos dados e a percepção do valor
central e da dispersão em torno desta valor
central.
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Distribuições de frequência: Caso
contínuo - Histograma

As distribuições podem diferir em:



Locação (centralidade, média, mediana)
Variabilidade (desvio padrão, variância)
Forma (assimetria)
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Distribuições de frequência variável
contínua: Histograma
Dados relativos ao comprimento de uma amostra de 100 parafusos
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Distribuições de frequência: Caso
discreto
Dados reclamações por atraso na entrega registradas em uma
empresa de produção de malhas nos últimos 90 dias
45
40
Reclamações Frequencia
0
35
1
40
2
7
3
5
4
2
5
1
Total
90
35
30
25
20
15
10
5
0
0
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1
2
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3
4
5
Um procedimento para construção de
um Histograma (variáveis contínuas)



Coletar “n” observações
Escolher o número de intervalos (k)
Calcular a amplitude total dos dados (R)


Calcular o comprimento de cada intervalo (amplitude de
classe, h)




h=R/k
Arredondar convenientemente h
Calcular os limites de cada intervalo
Construir a tabela de frequencias, que deve conter:


R = Max - Min
Limites de cada intervalo; ponto médio; frequencia simples (fi);
frequencia relativa; frequencia acumulada (simples e relativa)
Desenhar o Histograma
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Tipos de Histogramas: simétrico


Valor médio no centro
Frequencia mais alta no centro diminuindo gradualmente de forma
simétrica em direção aos extremos
100
80
60
40
20
0
Média=mediana=moda
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Tipos de Histogramas: assimétrico
positivo

freqüência decresce bruscamente em um dos lados e de forma gradual
no outro
Média fora do centro do histograma

cauda mais longa em um dos lados

90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Média>mediana; média>moda
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Tipos de Histogramas: despenhadeiro
90
80
70
60
50
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
40
30
20
10
0
Frequencia diminui de forma abrupta de um ou dos 2 lados
Processo não atende às especificações
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Tipos de Histogramas: dois picos
100
80
60
40
20
0
Mistura de dados com médias diferentes
Dados de 2 máquinas ou 2 turnos, etc
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Tipos de Histogramas: ilhas isoladas
100
80
60
40
20
0
Erros de medição, erros de registro ou transcrição dos dados
Anormalidades temporárias no processo
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Tipos de Histogramas: achatado (platô)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Mistura de várias distribuições com médias diferentes
Classes centrais possuem aproximadamente a mesma frequência.
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Histograma: estratificação


Quando estratificado o Histograma pode
exibir diferentes distribuições para
distintos fatores.
A existencia de diferentes distribuições
podem estar contribuindo para
aumentar a variabilidade do processo.
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Histogramas e limites de especificação
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Resumindo dados: análise
descritiva e exploratória

“Um estatístico é um sujeito que se está com a
cabeça num forno e os pés enterrados no gelo,
ainda diz que na média a temperatura está
ótima”.( K. Dunnigan)
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RESUMO NUMÉRICO DE DADOS
QUANTITATIVOS: LOCALIZAÇÃO DO
CENTRO DOS DADOS

Média Aritmética
n
Dados brutos

i 1
Mediana

Moda

n
k
Dados
agrupados
X 
X
i 1
i
fi
n
Valor do meio em uma sequencia ordenada de dados
“n” ímpar

X 
 Xi
X
n 1
(
)
2
Dados
agrupados
“n” par
Me  Li 
Me 
[(0,5)n  Fant ]
.c
f Me
Valor mais frequente de uma série de dados
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X ( n / 2)  X ([ n / 2 ]1)
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2
OUTRAS MEDIDAS DE LOCAÇÃO:
Quartis

Primeiro Quartil

25% das observações são menores e 75%
maiores
Q1  X


(
n 1
)
4
Segundo Quartil (Mediana)
Terceiro Quartil
Q3  X
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(
3( n 1)
)
4
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VARIABILIDADE



Medidas de tendência central podem mascarar
importantes aspectos em uma série de dados
Um processo de produção de bens e
fornecimento de serviços sempre apresenta
variabilidade
A variabilidade é resultado de uma série de
alterações nas condições sob as quais as
observações são tomadas.

matérias-primas, condições de equipamentos, métodos de
trabalho, condições ambientais e operadores
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VARIABILIDADE: Problematizando

Os dados abaixo referem-se a notas obtidas em 3
turmas de 5 alunos cada:
 Turma A:
3 4 5 6 7
 Turma B:
1 3 5 7 9





Turma C:
5 5 5 5 5
Em termos de tendência central como podemos analisar
os grupos ?
E em termos de dispersão? Qual deles parece mais
disperso? E qual deles apresenta maior variabilidade?
Façamos uma investigação gráfica do fenômeno.
Como obter uma medida de variabilidade média para os
grupos?
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MEDINDO A VARIABILIDADE

Variância Populacional
( X i ) 2
1
2
  [ X i 
]
n
n
2

Variância Amostral
2
(
X
)
1

i
s2 
[ X i2 
]
n 1
n

Desvio Padrão

Corresponde à raiz quadrada da variância
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MEDINDO A VARIABILIDADE: outras
medidas

Amplitude Total


Amplitude Interquartil


Xmax-Xmin
J = Q3–Q1
Coeficiente de variação
CV 


Desvio  padrão S

média
X
Comparação de grupos muito diferentes
Comparação de dispersão com escalas diferentes
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Explorando a relação entre variáveis
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EXPLORANDO A RELAÇÃO ENTRE
VARIÁVEIS



Mensurar o tipo e grau de associação entre
duas ou mais variáveis.
Foco inicial: duas variáveis quantitativas
Etapas:


Abordagem gráfica: diagrama de dispersão
Cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson,
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Diagrama de dispersão


Gráfico utilizado para a visualização do
tipo de relacionamento entre 2 variáveis
quantitativas
Este entendimento contribui para
aumentar a eficiencia dos métodos de
controle de um processo
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Construção do diagrama de
dispersão
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Coletar ao menos 30 pares de observações (x,y) das
variáveis a serem estudadas;
Registrar os dados em uma tabela;
Escolher uma variável a ser representada no eixo ‘x’
(preditora) e outra variável em ‘y’ (dependente);
Determinar os valores máximo e mínimo para cada
variável;
Escolher as escalas para ‘x’ e ‘y’
Representar no gráfico os pares de observações (x,y).
Registrar informações importantes que devem constar no
gráfico: título, legendas, unidades de medidas, etc
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Interpretação de diagramas de
dispersão

Correlação positiva:
à medida que x
aumenta, y
também aumenta.
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Interpretação de
diagramas de dispersão

Moderada correlação
positiva: y tende a
aumentar com x,
porém com elevada
variabilidade.
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Interpretação de
diagramas de dispersão

Ausência de
correlação: os valores
das variáveis não
estão relacionados.
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Interpretação de
diagramas de dispersão

Moderada correlação
negativa: y tende a
diminuir com o
aumento de x.
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Interpretação de
diagramas de dispersão

Forte correlação
negativa: à medida que
x aumenta, y diminui.
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Interpretação de
diagramas de dispersão
Outliers: São
observações extremas
não condizentes com
o restante dos
dados.
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Interpretação de
diagramas de dispersão
Exemplo: O diagrama
ao lado mostra forte
correlação negativa
entre as variáveis
Tensão e Variação
no Corte.
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Estratificação de Diagramas de
Dispersão
Em muitos casos a estratificação de
um diagrama de dispersão permite a
descoberta da causa de um problema.
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CORRELAÇÃO: diagrama de
dispersão



Gráfico que representa no plano cartesiano duas
variáveis quantitativas
Ferramenta simples que permite aprofundar o estudo da
associação entre 2 variáveis.
Como ilustração, considere a tabela abaixo, que
representa o tempo de serviço e o volume de vendas
semanais de uma amostra de 5 vendedores de
determinado produto:
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Tempo
(anos)
1
3
4
6
8
Vendas
35
40
42
50
55
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Diagrama de Dispersão
55
Y vendas
50
45
40
35
0
1
2
3
4
5
6
X te m p o
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
7
8
9
CORRELAÇÃO




Quando as variáveis crescem no mesmo
sentido temos o caso de correlação positiva.
Quando as variáveis crescem em sentidos
opostos temos uma correlação negativa.
Se os dados estão perfeitamente alinhados
sobre uma reta temos uma correlação perfeita.
Quando o crescimento de uma variável é
acompanhado de variações casuais da outra
variável a correlação é nula.
ESTATÍSTICA APLICADA
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COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
LINEAR: FÓRMULA DE CÁLCULO
r
XY

S XY
onde:
S XX S YY
S XY   XY 
 X Y
n
S XX   X 
2
S YY   Y 
2
( X ) 2
n
( Y ) 2
n
Lembre que: -1 rxy  1
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COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR:
CÁLCULO PARA O EXEMPLO ANTERIOR
X2
Elemento Tempo (anos) Vendas
1
1
35
2
3
40
3
4
42
4
6
50
5
8
55
Total
22
222
X
i
 22;
Y
i
S xx   X 
2
S yy   Y 
2
S xy   XY 
rxy 
 222;
( X ) 2
n
( Y ) 2
n
S xy
S xx S yy

1
9
16
36
64
126
X
XY
1225
1600
1764
2500
3025
10114
2
i
 126;
35
120
168
300
440
1063
Y
i
2
 10114 e
XY
i i
 1063
222
 126 
 29,2
5
 10114 
( X )( Y )
n
Y2
222 2
 257,2
5
 1063 
( 22)(222)
 86,2
5
86,2
 0,995
(29,2)(257,2)
Indica uma associação
forte e positiva !!
CUIDADO!!! Correlação não implica em relação de causa efeito. !!
ESTATÍSTICA APLICADA
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS:
QUANTITATIVAS X QUALITATIVAS


Comparação do Comportamento de uma
Variável Contínua por Grupos
Captar diferenças: i)nos níveis médios,
ii)em variabilidade, iii)na forma da
distribuição, iv)detalhes individuais.
Via:



Diagrama de Pontos
Gráficos tipo Box-Plot
Gráfico Ramo-e-Folhas
ESTATÍSTICA APLICADA
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS
QUALITATIVAS






Tabela de contingência a 2 fatores
Variável dependente e explicativa
Medir associações
Encontrar distribuições percentuais
Distribuições marginais
Distribuições condicionais
ESTATÍSTICA APLICADA
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS
QUALITATIVAS
Exemplo:
Escolha de áreas de estudo por sexo
Sexo
Área
Mulheres Homens
Contábeis
68
56
Administração
91
40
Economia
5
6
Finanças
63
59
ESTATÍSTICA APLICADA
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS
QUALITATIVAS
Exemplo: percentuais de linha
Mulheres Homens
Contábeis
54.8
45.2
Administração
69.5
30.5
Economia
45.5
54.5
Finanças
51.6
48.4
Total
58.5
41.5
ESTATÍSTICA APLICADA
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Total
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS
QUALITATIVAS
Exemplo: representação gráfica
ESTATÍSTICA APLICADA
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Noções de Probabilidade e Inferência:
mensurando a incerteza...
O Acaso existe?
“ O acaso não existe: tudo é provação, ou punição, ou
recompensa, ou previdencia”. (Voltaire)
“O acaso é a causa ignorada de um efeito conhecido” (Voltaire)
ESTATÍSTICA APLICADA
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NOÇÕES DE PROBABILIDADE


Aleatoriedade
Experimentos aleatórios



Probabilidade




Resultados imprevisíveis
regularidade
chance de ocorrência de um evento aleatório.
idealização do que aconteceria se feita uma sequencia
longa de repetições
Proporção de vezes em quem um evento ocorre em
uma sequencia longa de repetições do experimento
Independencia

Resultado de uma tentativa não deve influenciar o
resultado de outra
ESTATÍSTICA APLICADA
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Modelos Probabilísticos para
variáveis Discretas: Distribuição
Binomial



Considera n repetições independentes de um
experimento de Bernoulli.
Exemplos:
 Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X=nº de caras obtido
 Uma máquina produz 1% de peças defeituosas. Seja X=nº
de peças defeituosas nas próximas 25 produzidas.
 Nos próximos 30 nascimentos em uma maternidade, seja
X=nº de meninas observado.
Seja a VA X=nº de sucessos obtidos. Portanto:
P( X  k ) 

 p
n
k
k
(1  p) nk , k  0,1,....., n
E(X)=np e V(X)=np(1-p)
ESTATÍSTICA APLICADA
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Modelos Probabilísticos para
variáveis Discretas: Distribuição de
Poisson



Largamente empregada quando se deseja contar o
número de eventos de certo tio que ocorrem em um
intervalo de tempo, superfície ou volume.
Exemplos:
Fórmula:
e  t ( t ) K
P( X  k ) 
k!



Número de chamadas telefônicas recebidas em uma
central em um intervalo de tempo.
Número de falhas em um computador em um dia de
operação.
Número de defeitos em uma chapa de metal de 1 m2
produzida.
ESTATÍSTICA APLICADA
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Modelos Probabilísticos para variáveis
contínuas: Distribuição Normal

Representação Gráfica:
68%
-

+
A distribuição Normal é um modelo estatístico que
fornece uma base teórica para o estudo do padrão de
ocorrência dos elementos de várias populações de
interesse.
µ é a média da distribuição (centro)
ơ é o desvio padrão da distribuição (dispersão)
ESTATÍSTICA APLICADA
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Curva Normal

Para calcular probabilidades associadas
a uma variável Normal de média µ e
desvio padrão ơ, (N(µ,ơ)), deve ser
utilizada a variável Normal padronizada
ou reduzida:
z

X 

A média de Z é zero e seu desvio padrão
é 1.
ESTATÍSTICA APLICADA
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X
µ-3ơ
µ-2ơ
µ-ơ
µ
µ+ơ µ+2ơ
µ+3ơ
z
-3
ESTATÍSTICA APLICADA
-2
-1
0
1
2
Prof. Cezar Cerqueira
3
Distribuição Normal: uso da tabela
z
0
X 

z
P(0<Z<1)
0,3413
0
P(Z<-1)
0,5+0,3413
1
-1
P(Z>1)
0,5-0,3413
0
Uso inverso da Tabela
5%
z=1,64
1
0
ESTATÍSTICA APLICADA
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z
Curva Normal

Propriedades:
1) A área sob a curva é igual a 1.
2) A curva é simétrica em relação à sua média.
3) f(x) tende para 0 quando X tende para +/- 
4) A curva possui um ponto máximo em x = .
Intervalo
Probabilidade (Área)
Interna
Externa
(µ±ơ)
68,3%
31,7%
(µ±2ơ)
95,5%
4,5%
(µ±3ơ)
99,73%
0,27
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Controle Estatístico de Processos
via Gráficos de Controle




“ Nada é permanente, exceto a mudança” (Heráclito”
“Tudo são Processos” (Heráclito)
"O CEP [Controle Estatístico do Processo] eficaz é 10%
de estatística e 90% de ação gerencial..“(Hradesky)
"O conceito de time passa a mensagem de que o PQI
[Melhoramento da Qualidade e Produtividade] é assunto
de todos."
ESTATÍSTICA APLICADA
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Gráficos de Controle



Todo Processo apresenta variabilidade
 Máquinas
 Condições ambientais
 Matéria Prima
 Fornecedores, etc
Gráficos de Controle são ferramentas para o
monitoramento da variabilidade e avaliação da
estabilidade do Processo
Causas da variabilidade:
 Comuns (naturais)
 Assinaláveis
ESTATÍSTICA APLICADA
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Gráficos de Controle


Permitem a distinção entre os dois tipos de
causas de variação, informando se o processo
está sob controle estatístico.
Processo fora de controle:



Pontos fora dos limites de controle
Pontos apresentando alguma configuração especial
(não aleatória)
Consiste de:


Uma linha média
Um par de limites de controle



Limite Superior de Controle (LSC)
Limite Inferior de Controle (LIC)
Valores da característica da qualidade assinalados no
gráfico.
ESTATÍSTICA APLICADA
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Gráficos de Controle

Para variáveis





Gráfico da média (x )
Gráfico da amplitude (R)
Gráfico do desvio padrão (s)
Gráficos individuais
Para atributos


Gráfico da proporção de defeituosos
Gráfico do número de defeituosos
ESTATÍSTICA APLICADA
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Gráficos da média e amplitude


Seja X uma característica de interesse
X1, X2, ... Xn uma amostra de tamanho n
X

x
n

i
média amostral
Vimos que

( , )
n
x ~ Normal

Limites de Controle:

  z 2
ESTATÍSTICA APLICADA

n
  z 2
Prof. Cezar Cerqueira

n
Gráficos da média e amplitude




Na prática a média µ e o desvio padrão ơ são desconhecidos
Utilizamos “m” amostras (sub-grupos racionais) de tamanho n
Geralmente m varia de 20 a 25 e n de 4 a 10.
A Média global é calculada como:
x
x1  x2  ....  xm
média global
m
xi 
xi1  xi 2  ....  xin
 média da i  ésima amostra
n

ESTATÍSTICA APLICADA
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Estimação do desvio padrão ơ

Com base na amplitude amostral
R
R1  R2  ....  Rm
 amplitude média global
m

Ri = amplitude da amostra i

É possível mostrar que:
ˆ 

ESTATÍSTICA APLICADA
R
d2
Fator de correção tabelado
Prof. Cezar Cerqueira
Gráfico da Média
LSC  x  3
R
 x  A2 R
d2
R
LIC  x  3
 x  A2 R
d2
LM  x
Tabelado em função do
tamanho da amostra n
ESTATÍSTICA APLICADA
A2 
3
d2
n
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Gráfico da Amplitude - R
LSC  R  3
d3
R  D4 R
d2
d3
LIC  R  3 R  D3 R
d2
LM  R
d
D3  1  3 3
d2
ESTATÍSTICA APLICADA
D4  1  3
d3
d2
Prof. Cezar Cerqueira
D3 e D4 são
Valores Tabelados
Etapas para construção e utilização dos
Gráficos da média e amplitude













Escolher a característica da qualidade a ser controlada
Coletar dados
Calcular a média de cada amostra
Calcular a média global
Calcular a amplitude de cada amostra
Calcular a amplitude média geral
Calcular os limites de controle de ambos os gráficos
Traçar os limites de controle
Marcar os pontos nos gráficos
Registrar as informações importantes nos gráficos
Interpretar os gráficos construídos
Verificar se o estado de controle é adequado ao
processo frente a considerações técnicas e econômicas
Rever periodicamente os limites de controle
ESTATÍSTICA APLICADA
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Etapas para construção e utilização dos
Gráficos da média e amplitude
Calcular xi e Ri
Calcular os limites de
controle experimentais
Grafar xi e Ri
Há pontos fora
de controle?
Não
Sim
Buscar as causas assinaláveis
Abandonar pontos fora
de controle
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Adotar limites para
controle atual e futuro
Outras observações sobre os gráficos de
controle



Um processo é considerado sob controle
estatístico quando estável quanto à média e
variabilidade.
Construir e analisar em primeiro lugar o
gráfico da variabilidade e só construir o da
média quando o mesmo estiver estável.
Se houver alguma mudança nos fatores que
compões o processo os limites de controle
dever ser re-avaliados.
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Interpretação de gráficos de controle


Pontos fora dos limites de controle
Periodicidade


Sequencia



Vários pontos consecutivos aparecem em apenas um dos
lados da linha média
Tendencia


Tendencia para cima ou para baixo, em intervalos de tempo
aproximadamente de igual amplitude
Movimento contínuo dos pontos do gráfico em uma direção
Aproximação dos limites de controle
Aproximação da linha média
ESTATÍSTICA APLICADA
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Gráfico da Proporção de defeituosos
X
pˆ 
n
Proporção de itens
defeituosos
 pˆ  p
 pˆ 
ESTATÍSTICA APLICADA
p (1  p )
n
Prof. Cezar Cerqueira
Gráfico P: proporção de defeituosos
p (1  p )
LSC  p  3
n
LM  p
p (1  p )
LIC  p  3
n
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Gráfico P: proporção de defeituosos:
com sub-grupos racionais
p (1  p )
LSC  p  3
n
LM  p
p (1  p )
LIC  p  3
n
m
onde : p 
ESTATÍSTICA APLICADA
p
i 1
m
i
e
pi 
Prof. Cezar Cerqueira
Xi
n
Previsão de Séries Temporais
ESTATÍSTICA APLICADA
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Um problema: a importância da
previsão de vendas na Logística





Atualmente as empresas buscam
trabalhar com o menor estoque possível
Antes: imensos estuques e pouca
agilidade
Atualmente: fluxo de informações
partindo do cliente e previsões de
demanda
A previsão é o ponto departida na
cadeia de abastecimento
Previsões são insumos fundamentais
para o planejamento da produção
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Importância da previsão





Estabelecer uma prática de revisão das
previsões
Aprender a lidar com a imprecisão
Determinação de dados futuros
Baseado em modelos estatísticos,
matemáticos, econométricos ou ainda
subjetivos
Sem uma boa previsão de demanda
pouco adianta uma excelente logística
ESTATÍSTICA APLICADA
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Fatores componentes dos
modelos de Séries Temporais





Demanda média (nível da série)
Tendência
Influências sazonais
Elementos cíclicos
Variação aleatória
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Temperatura mensal em Ubatuba, de janeiro de 1976
a junho de 1985.
ESTATÍSTICA APLICADA
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ESTATÍSTICA APLICADA
preco fisico soja R$ a vista
Prof. Cezar Cerqueira
13/05/2011
13/03/2011
13/01/2011
13/11/2010
13/09/2010
13/07/2010
13/05/2010
13/03/2010
13/01/2010
13/11/2009
13/09/2009
13/07/2009
13/05/2009
13/03/2009
13/01/2009
13/11/2008
13/09/2008
13/07/2008
13/05/2008
13/03/2008
13/01/2008
13/11/2007
13/09/2007
13/07/2007
13/05/2007
13/03/2007
13/01/2007
13/11/2006
13/09/2006
13/07/2006
13/05/2006
13/03/2006
Preço físico diário da soja, em R$ à vista, de
13/03/2006 a 20/05/2011.
60
50
40
30
20
10
0
Percentual da população da capital em relação a pop
do estado de SP, de 1872 a 2010.
40
35
30
25
% 20
15
10
5
0
1872
1890
1900
1920
1940
1950
1960
pop capital/pop estado
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
1970
1980
1991
2000
2010
Movimento
mensal
de
passageiros
internacionais, jan/49 a dez/60.
aéreos
700
600
1000 passageiros
500
400
300
200
100
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49
52
55
58
61
64
67
70
73
76
79
82
85
88
91
94
97
100
103
106
109
112
115
118
121
124
127
130
133
136
139
142
0
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Previsão e ajuste de tendência pelo
método dos mínimos quadrados
Ano Receita
1995
18,0
1996
18,5
1997
18,9
1998
18,8
1999
19,8
2000
20,5
2001
20,1
2002
19,6
2003
21,0
2004
21,9
2005
23,1
2006
24,1
2007
28,9
2008
31,9
ESTATÍSTICA APLICADA


Ajuste de tendência
linear
Os dados
correspondem a
receitas de uma
companhia de
refrigerantes (em R$
bilhões)
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
linear
Ano
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Observação
(t)
Receita
1
18,0
2
18,5
3
18,9
4
18,8
5
19,8
6
20,5
7
20,1
8
19,6
9
21,0
10
21,9
11
23,1
12
24,1
13
28,9
14
31,9
ESTATÍSTICA APLICADA

Eq. da tend. Linear:
Yt  a  bt


Recodificar a variável
ano (tempo) de 1 a n.
Ajustar a reta (Excel,
minitab, etc)
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
linear
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste linear
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste linear
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste linear
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressão
R múltiplo
0,864585
R-Quadrado
0,747507
R-quadrado ajustado 0,726465
Erro padrão
2,132905
Observações
14
ANOVA
gl
Regressão
Resíduo
Total
Interseção
Variável X 1
SQ
MQ
F
F de significação
1 161,6178571 161,6179 35,52598524
6,60725E-05
12 54,59142857 4,549286
13 216,2092857
Coeficientes Erro padrão
Stat t
valor-P
95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0%
15,47143 1,204064936 12,84933 2,24913E-08
12,84799644
18,0948607
12,84799644
18,0948607
0,842857 0,141410255 5,960368 6,60725E-05
0,534750665
1,150963621
0,534750665
1,150963621
Equação linear ajustada :
Yt  15,47  0,843 t
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste linear
Variável X 1 Plotagem de ajuste de linha
35.0
30.0
25.0
20.0
Y
Y
15.0
Y previsto
Linear (Y previsto)
10.0
5.0
0.0
0
2
4
6
8
10
12
X1
EquaçãoVariável
linear
ajustada :
Yt  15,47  0,843 t
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
14
16
Método dos mínimos quadrados: ajuste
linear – Previsões 3 (três) passos à frente
Equação linear ajustada :
Yt  15,47  0,843 t
Pr evisão 2009; t  15 :
Yt  15,47  0,843 (15)  28,1
Pr evisão 2010; t  16 :
Yt  15,47  0,843 (16)  29,0
Pr evisão 2011; t  17 :
Yt  15,47  0,843 (17)  29,8
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
quadrático
Ano
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Observação
(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
termo
quadratico

2
Receita
(t )
18,0
1
18,5
4
18,9
9
18,8
16
19,8 
25
20,5
36
20,1
49
19,6 
64
21,0
81
21,9 
100
23,1
121
24,1
144
28,9
169
31,9
196
ESTATÍSTICA APLICADA
Eq. da tend. quadrática:
Yt  a  bt  ct 2
Recodificar a variável ano
(tempo) de 1 a n.
Incluir termo quadrático
Ajustar modelo múltiplo
(Excel, minitab, etc)
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
quadrático
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste quadrático
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste quadrático
RESUMO DOS RESULTADOS - Modelo quadrático
Estatística de regressão
R múltiplo
0,960618043
R-Quadrado
0,922787025
R-quadrado ajustado 0,908748303
Erro padrão
1,231929827
Observações
14
ANOVA
gl
Regressão
Resíduo
Total
Interseção
Variável X 1
Variável X 2
SQ
MQ
F
F de significação
2 199,5151236 99,75756 65,73155
7,626E-07
11 16,69416209 1,517651
13 216,2092857
Coeficientes Erro padrão
Stat t
valor-P
95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0%
20,03461538
1,1478333 17,45429 2,29E-09
17,50825133
22,56097944 17,50825133
22,56097944
-0,868337912 0,352043403 -2,46656 0,031312
-1,643180217
-0,093495607 -1,643180217 -0,093495607
0,11407967 0,022829179 4,997099 0,000404
0,063832987
0,164326354 0,063832987
0,164326354
Equação quadrática ajustada :
Yt  20,03  0,868 t  0,114t 2
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste quadrático
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
linear – Previsões 3 (três) passos à frente
Equação quadrática ajustada :
Yt  20,03  0,868 t  0,114t 2
Pr evisão 2009; t  15 :
Yt  20,03  0,868 (15)  0,114(152 )  32,7
Pr evisão 2010; t  16 :
Yt  20,03  0,868 (16)  0,114(16 2 )  35,3
Pr evisão 2011; t  17 :
Yt  20,03  0,868 (17)  0,114(17 2 )  38,7
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
exponencial
Obser
vação
log(Recei
(t) Receita ta)
1
18,0
1,255
2
18,5
1,267
3
18,9
1,276
4
18,8
1,274
5
19,8
1,297
6
20,5
1,312
7
20,1
1,303
8
19,6
1,292
9
21,0
1,322
10
21,9
1,340
11
23,1
1,364
12
24,1
1,382
13
28,9
1,461
14
31,9
1,504
ESTATÍSTICA APLICADA

Eq. da tend. exponencial:
Yt  abt
log( Yt )  log( a)  t log( b)



Recodificar a variável ano
(tempo) de 1 a n.
Logaritmar valores de Yt
Ajustar modelo linear (Excel,
minitab, etc)
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
exponencial
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste exponencial
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste exponencial
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressão
R múltiplo
0,896821856
R-Quadrado
0,804289442
R-quadrado ajustado
0,787980228
Erro padrão
0,033880338
Observações
14
ANOVA
gl
Regressão
1
Resíduo
Total
Interseção
Variável X 1
SQ
12
13
MQ
F
F de significação
0,056607611 0,05660761 49,3150363
1,38997E-05
0,013774528 0,00114788
0,070382138
Coeficientes Erro padrão
Stat t
valor-P
95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0%
1,213830531 0,019126083 63,4646692 1,5517E-16
1,172158376
1,255502686
1,172158376
1,255502686
0,015774177 0,002246245 7,02246654
1,39E-05
0,010880031
0,020668323
0,010880031
0,020668323
Equação linear ajustada :
Yt  1,214  0,0158 t
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste exponencial
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
linear – Previsões 3 (três) passos à frente
Equação linear ajustada :
Yt  1,214  0,0158 t
Pr evisão 2009; t  15 :
log( Yt )  1,214  0,0158 (15)  1,451 
Yt  anti log( 1,451)  101, 451  28,2
Pr evisão 2010; t  16 :
log( Yt )  1,214  0,0158 (16)  1,467 
Yt  anti log( 1,467)  101, 467  29,3
Pr evisão 2011; t  17 :
log( Yt )  1,214  0,0158 (17)  1,483 
Yt  anti log( 1,451)  101, 483  30,4
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
modelo autorregressivo
Ano
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Obser
vação
(t) Receita lag 1
lag 2
1
18,0
#
#
2
18,5
18,0 #
3
18,9
18,5 18,0
4
18,8
18,9 18,5
5
19,8
18,8 18,9
6
20,5
19,8 18,8
7
20,1
20,5 19,8
8
19,6
20,1 20,5
9
21,0
19,6 20,1
10
21,9
21,0 19,6
11
23,1
21,9 21,0
12
24,1
23,1 21,9
13
28,9
24,1 23,1
14
31,9
28,9 24,1
ESTATÍSTICA APLICADA

Eq. da tend. exponencial:
Yt  a  bYt 1  cYt 2



Recodificar a variável ano
(tempo) de 1 a n.
Criar colunas com valores de
Yt defasados (lags)
Ajustar modelo linear (Excel,
minitab, etc)
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados: ajuste
modelo autorregressivo
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste modelo autorregressivo
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste modelo autorregressivo
RESUMO DOS RESULTADOS - modelo autorregressivo
Estatística de regressão
R múltiplo
0,969208735
R-Quadrado
0,939365573
R-quadrado ajustado 0,925891255
Erro padrão
1,121819401
Observações
12
ANOVA
gl
Regressão
Resíduo
Total
Interseção
Variável X 1
Variável X 2
SQ
MQ
F
F de significação
2 175,4703578 87,73518 69,71526
3,32841E-06
9 11,32630891 1,258479
11 186,7966667
Coeficientes
-10,7579367
0,990312318
0,593399661
Erro padrão Stat t
valor-P
95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0%
4,645857357 -2,3156 0,045815
-21,26759621
-0,248277215 -21,26759621 -0,248277215
0,324640261 3,050491 0,013782
0,255925027
1,724699609 0,255925027
1,724699609
0,511245939 1,160693 0,275627
-0,563119003
1,749918324 -0,563119003
1,749918324
Equação linear ajustada :
Yt  10,758  0,9903Yt 1  0,5934 Yt  2
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste modelo autorregressivo
RESUMO DOS RESULTADOS - modelo autorregressivo
Estatística de regressão
R múltiplo
0,969208735
R-Quadrado
0,939365573
R-quadrado ajustado 0,925891255
Erro padrão
1,121819401
Observações
12
ANOVA
gl
Regressão
Resíduo
Total
Interseção
Variável X 1
Variável X 2
SQ
MQ
F
F de significação
2 175,4703578 87,73518 69,71526
3,32841E-06
9 11,32630891 1,258479
11 186,7966667
Coeficientes
-10,7579367
0,990312318
0,593399661
Erro padrão Stat t
valor-P
95% inferiores 95% superiores Inferior 95,0% Superior 95,0%
4,645857357 -2,3156 0,045815
-21,26759621
-0,248277215 -21,26759621 -0,248277215
0,324640261 3,050491 0,013782
0,255925027
1,724699609 0,255925027
1,724699609
0,511245939 1,160693 0,275627
-0,563119003
1,749918324 -0,563119003
1,749918324
Observa-se que o coeficiente de Yt-2 não é
significativo e deve ser excluído do modelo
ESTATÍSTICA APLICADA
Nova Equação ajustada :
Yt  5,834  1,3287 Yt 1
Prof. Cezar Cerqueira
Método dos mínimos quadrados:
ajuste modelo autorregressivo
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Ajuste autorregressivo – Previsões 3
(três) passos à frente
Nova Equação ajustada :
Yt  5,834  1,3287 Yt 1
Pr evisão 2009; Y14  31,9 :
Yˆ  5,834  1,3287(31,9)  36,5471 
2009
Pr evisão 2010; Yˆ15  36,5471 :
Yˆ  5,834  1,3287(36,5471)  42,7217 
2010
Pr evisão 2011; Yˆ16  42,7217 :
Yˆ  5,834  1,3287(42,7217)  50,926 
2011
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Um exemplo da ajuste linear no pacote Minitab
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Um exemplo da ajuste linear no pacote Minitab
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Um exemplo da ajuste linear no pacote Minitab
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Um exemplo da ajuste linear no pacote Minitab
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Um exemplo da ajuste linear no pacote Minitab
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Escolhendo um modelo de previsão
apropriado

Análise de resíduos
ei  Yi  Yˆi

Erro padrão da estimativa
S xy 


i
2
i
n2
Erro médio absoluto
EMA 

 (Y  Yˆ )
 | Y  Yˆ |
i
i
n
Coeficiente de determinação R2 (caso de modelos
de regressão)
Parcimônia
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira
Outros Modelos de Séries Temporais e
Previsão






Suavizamento Exponencial
Bi-paramétrico Holt – Winters
Box- Jenkins
Espaço de Estados
Modelos Dinâmicos
Modelos Bayesianos
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Cezar Cerqueira