Conjuntos Fuzzy

Conjuntos Fuzzy
• Histórico
A idéia dos conjuntos nebulosos ou difusos (fuzzy)
partiu de L.A. Zadeh e R. Bellman no Laboratório
da IBM. Eles verificaram a necessidade de criar
uma teoria que trabalhasse com a incerteza e a
imprecisão em sistemas dinâmicos. Em 1965
Zadeh publicou o artigo “Fuzzy Sets” o qual faz a
formalização dos conjuntos nebulosos.
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• Definição
– Um conjunto fuzzy ou nebuloso é uma classe
com limites imprecisos.
– Exemplos:
•
•
•
•
Limites de um átomo
A classe de carros caros
A classe dos números pequenos
A classe das montanhas altas
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• Revisão de Conceitos de Teoria dos Conjuntos
“abruptos” ou “crisp”
– Na abordagem padrão de uma teoria matemática alguns
conceitos são primitivos e outros são derivados. Na
teoria de conjuntos normalmente são conceitos
primitivos:
•
•
•
•
Conjunto
Elemento
Pertencer
Universo
A
a

U
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• Revisão de Conceitos
– Um conjunto pode ser descrito nomeando-se
todos os seus membros ou especificando
algumas propriedades bem definidas que devem
ser satisfeitas por todos os elementos do
conjunto.
– A={a1, a2, ..., an}
– B={b|b tem as propriedades P1, P2, ..., Pn}
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• Revisão de Conceitos
– Contido ou Igual
• A  B = {x | x  A e x  B}
– Igual
• A = B = {x | x  A se e somente se x  B}
– Não Igual A  B
– Contido
• Se A  B e A  B, então B contém ao menos um
elemento que não é membro de A. A  B.
– Conjunto Vazio
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• Revisão de Conceitos
– O processo pelo qual elementos de um conjunto
universo U são classificados como sendo ou
não membros de um conjunto pode ser definido
por uma função
• A(x) =
1 se e somente se x  A
0 se e somente se x A
Cardinalidade: o número de elementos que
pertencem ao conjunto |A|.
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• Revisão de Conceitos – Propriedades
– Involução
 ( A) = A
– Comutatividade AB=BA AB = BA
– Associatividade (AB)C=A(BC)
(AB)C=A(BC)
– Distributividade
A(BC)=(AB) (AC)
– Identidade
A=A AU=A
– Lei da Contradição
A  A=
– Lei do Meio Excluído A  A=U
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• Conceitos Primitivos
– Em lugar da pertinência, uma função é tomada
como CONCEITO PRIMITIVO – Função de
Pertinência
– A : U  [0,1]
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• Conceitos Primitivos
– Exemplo –
• Conjunto das idades U = {5,10,20,30,40,50,60,70,80}
• E conjuntos fuzzy denominados: Criança, Adulto, Jovem,
Velho
• 5
1
0
1
0
• 10
0
0
1
0
• 20
0
.8
.8
.1
Faça o gráfico
• 30
0
1
.5
.2
• 40
0
1
.2
.4
• 50
0
1
.1
.6
• 60
0
1
0
.8
• 70
0
1
0
1
• 80
0
1
0
1
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• Outras Definições
– Suporte: é o sub-conjunto do conjunto Universo para o
qual a função de pertinência é não-nula.
• SupA={xX | A(x) > 0}
• Notação = A = 1/x1 + 2/x2 + ... + n/xn
• Jovem = 1/5 + 1/10 + 0.8/20 + 0.5/30 + 0.2/40 + 0.1/50
– Altura: maior valor de pertinência alcançado por
qualquer elemento do conjunto
– Alfa-corte de um conjunto fuzzy A é o conjunto crisp
A que contém todos os elementos do conjunto
universo U que possuem grau de pertinência em A
maior ou igual ao valor de .
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• Outras Definições
– Alfa-corte – exemplo
•  = 0.2 Jovem 0.2 = {5,10,20,30,40}
•  = 0.5 Jovem 0.5 = {5,10,20}
– Cardinalidade: pode ser interpretada como a
proporção dos elementos de U que estão em A.
• |A|= A(x)
• |Velho| = 0.1+0.2+0.4+0.6+0.8+1+1 = 4.1
– Cardinalidade relativa ||A|| = |A|/|U|
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• Operações de Conjuntos Fuzzy
– Inclusão: Se o grau de pertinência de cada
elemento do universo de discurso U em um
conjunto fuzzy A for menor ou igual ao grau de
pertinência no conjunto fuzzy B, então A é um
subconjunto de B.
– A(x)  B(x)
velho(x)  adulto(x)
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• Operações de Conjuntos Fuzzy
– Igualdade
• A(x) = B(x)
– Complemento
• Ã(x) = 1 - A(x)
• Não-velho =
1/5+1/10+.9/20+.8/30+.6/40+.4/50+.2/60
• Não-velho NÃO É IGUAL A Jovem
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• Operações de Conjuntos Fuzzy
– UNIÃO
• A união de dois conjuntos fuzzy A e B é um conjunto fuzzy
AUB tal que:
AUB(x) = max[A(x), B(x)] para todo x  U
• É o grau de pertinência a A ou o grau de pertinência a B, o que
for maior.
• Jovem OU Velho = Jovem U Velho =
1/5+1/10+.8/20+.5/30+.4/40+.6+50+.8/60+1/70+1/80
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• Operações de Conjuntos Fuzzy
– INTERSEÇÃO
• A interseção de dois conjuntos fuzzy A e B é um conjunto
fuzzy AB tal que:
A B(x) = min[A(x), B(x)] para todo x  U
• É o grau de pertinência a A ou o grau de pertinência a B, o que
for menor.
• Jovem E Velho = Jovem  Velho =
0.1/20+0.2/30+0.2/40+0.1+50
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• Operações de Conjuntos Fuzzy
– UNIÃO FORTE
A  B = AB(x) = min[1,A(x) + B(x)] para todo x  U
– INTERSEÇÃO FORTE
A  B = A  B(x) = max[0,A(x) + B(x)] para todo x  U
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• Medidas de Nebulosidade
– O grau de nebulosidade expressa em nível global a
dificuldade de decidir quais os elementos que
pertencem ou não a um dado conjunto nebuloso.
– d(A)=0, a função é nula, se o conjunto é abrupto.
– d(A)=máximo, ela se máxima se A(x)=0.5 para todo
x.
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• Conjuntos Nebulosos e Probabilidade
– Imprecisão X Incerteza
• Probabilidade é uma incerteza de que algo vai acontecer. É
relacionada com uma dúvida antes de ocorrer o evento.
• Somatório das probabilidades = 1
• A imprecisão refere-se a algo que ocorre, mas não de maneira
completa.
• Somatório dos graus de pertinência > 1.
• Exemplo. Qual a probabilidade de uma pedra que eu achei na
rua ser de ouro? Qual a possibilidade de ela conter de ouro?
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• Relações Nebulosas
– Uma relação em conjuntos crisp representa a presença ou ausência
de associação, interação ou interconexão entre os elementos de
dois ou mais conjuntos.
– Este conceito pode ser generalizado para permitir vários graus ou
valores de relação entre os elementos. Graus de associação podem
ser representados por graus de pertinência em uma relação
nebulosa da mesma maneira que os graus de pertinência a
conjuntos em um conjunto nebuloso.
– Seja o conjunto A e o conjunto B, considerando o produto
cartesiano AXB, obter-se uma relação em AXB é selecionar dentre
os elementos deste produto cartesiano, alguns elementos
privilegiados.
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• Relações Nebulosas
– Exemplo crisp:
• X={Inglês, Francês}, Y={dollar, libra, franco,
marco}, Z={USA, França, Canadá, UK, Alemanha}
• R(X,Y,Z)={(Inglês, dollar, USA), (Francês, franco,
França), (Inglês, dollar, Canadá), (Francês, dollar,
Canadá), (Inglês, libra, UK)}
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• Relações Nebulosas
– Exemplo nebuloso: R1 : y é maior que x
X\Y 3
1
2
3
4
5
0.5
0.3
0.0
0.0
0.0
4
0.9
0.5
0.3
0.0
0.0
5
1.0
0.9
0.5
0.3
0.0
6
1.0
1.0
0.9
0.5
0.3
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• Relações Nebulosas
– Exemplo nebuloso: R2 : y é igual que x
X\Y 3
1
4
5
6
0.3 0.0 0.0 0.0
2
3
4
5
0.7
1.0
0.7
0.3
0.3
0.7
1.0
0.7
0.0
0.3
0.7
1.0
0.0
0.0
0.3
0.7
Conjuntos Fuzzy
• Relações Nebulosas
– UNIÃO: é definido como o operador max
• R1R2(x1,x2) = max(R1 (x1,x2), R2(x1,x2))
– y é maior OU igual a x
X\Y
3
4
5
6
1
0.5
0.9
1.0
1.0
2
0.7
0.5
0.9
1.0
3
1.0
0.7
0.5
0.9
4
0.7
1.0
0.7
0.5
5
0.3
0.7
1.0
0.7
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• Relações Nebulosas
– INTERSEÇÃO: é definido como o operador min
• R1R2(x1,x2) = min(R1 (x1,x2), R2(x1,x2))
– y é maior E igual a x
X\Y
3
4
5
6
1
0.3
0.0
0.0
0.0
2
0.3
0.3
0.0
0.0
3
0.0
0.0
0.3
0.3
4
0.0
0.0
0.3
0.3
5
0.0
0.0
0.0
0.3
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• Relações Nebulosas
– COMPLEMENTO:
• R1 = 1- R1 (x1,x2)
y não é maior que x
– RELAÇÃO CLÁSSICA MAIS PRÓXIMA:
• A relação clássica mais próxima da relação nebulosa é dada
por um conjunto dentro de a e b reais onde se tem um conjunto
clássico que corresponde a um -corte igual a 0.5
• RC (x1,x2) =1 se R (x1,x2) > = 0.5
• RC (x1,x2) =0 se R (x1,x2) < 0