x - engenhariand

Matemática I
Conteúdo da Seção

Funções





Definição
Domínio e Imagem
Função Composta
Função Inversa
Sistema Cartesiano




Par Ordenado
Plano Numérico
Gráficos em
Distância entre Pontos
2
2
Funções
3

Encontramos em nosso cotidiano diversas relações que
envolvem grandezas, sendo que o valor que se obtém para
uma delas depende do valor de uma ou mais outras
grandezas.

Inicialmente, trabalharemos com situações que relacionem
entre si apenas duas grandezas.
Funções
Exemplos Práticos
4
a)
O valor de imposto a ser pago (I) (ISS - Imposto Sobre
Serviço) sobre um serviço depende do seu preço (p).
b)
O preço a ser pago por uma refeição em um self-service (P)
depende da quantidade de comida colocada no prato (k).
c)
A receita obtida na venda de uma mercadoria ou serviço (R)
depende da quantidade vendida dessa mercadoria ou desse
serviço (q).
Funções
Exemplos Práticos
Nos exemplos anteriores:
5
a)
Como o valor do Imposto (I) depende do preço do Serviço
(p)?
b)
Como o preço a ser pago (P) depende do peso (k)?
c)
Como a receita (R) depende da quantidade (q)?
Funções
6

Chamamos I, P e R de VARIÁVEIS DEPENDENTES, pois seus
valores dependem dos valores de p, k e q.

As variáveis p, k e q recebem o nome de VARIÁVEIS
INDEPENDENTES.

As situações descritas nos exemplos a), b) e c) estabelecem
uma relação de DEPENDÊNCIA entre duas variáveis.
Funções
7

Podemos substituir, nas frases, a palavra DEPENDE pela
palavra FUNÇÃO e dizermos que:
a)
o Imposto (I) é FUNÇÃO do seu preço de venda (p);
b)
o preço da refeição (P) é FUNÇÃO de seu peso (k);
c)
a receita (R) é FUNÇÃO da quantidade vendida (q).
Funções
Notação

8
Utilizamos, simbolicamente, uma notação que indica a
existência de uma relação de dependência entre duas
variáveis.
Notação
Interpretação
a)
I =f(p)
p)
O imposto ( I ) é função do preço (
b)
P=f(k)
c)
R=f(q)
quantidade ( q )
O preço ( P ) é função do peso ( k )
A receita ( R ) é função da
Caso LCL Comércio de Peças Ltda.

A
LCL Comércio de Peças Ltda. emitiu uma nota
fiscal
referente à venda de 4 produtos vendidos. A nota foi emitida
para
seu
cliente
a
José
Bolinha
Representações
Ltda.
Identifique, na nota fiscal a seguir, uma função receita e
apresente-a utilizando a linguagem matemática.
9
Caso LCL Comércio de Peças Ltda.
LRC
LCL Comércio
Indústria Mecânica
de Peças Ltda.
Ltda
1444
Rua Capitão Pedro Lins, 65
CEP 22793-078
Barra da Tijuca - Rio de Janeiro - Brasil
CNPJ
33.333.333 / 0001-54
Natureza da Operação
Inscrição Estadual
Simples Remessa
Destinatário / Remetente
Nome/Razão Social
LCL Representações
José
Bolinha Representações
Ltda. Ltda.
CNPJ/CPF
Endereço
Praia de Botafogo,
Botafogo 240/10
190/10°andar
andar
Município
Telefone
Rio de Janeiro
Janeiro.
(21) 25520345
Descrição do Produto
Rolamento Niquelado
de Encosto.
Rolamento de Roda
Agulha.
Óleo de
Lubrificante.
Caixa
Graxa para Rolamento
Rolamento.
10
Bairro/Distrito
01/08/2010
CEP
22250-050
Botafogo
Inscrição Estadual
UF
RJ
UNID
UNIDQTDE
QTDE
Valor
Unitário
VALOR TOTAL
Peça. 258
52,00
13416,00
Peça. 155
82,30
12756,50
Litro 200
4,50
900,00
7,20
360,00
kg
50
Caso LCL Discos Ltda.

A LCL Discos Ltda. está fazendo uma liquidação com CDs de
MPB. Os CDs desse gênero musical estão sendo vendidos
ao preço de R$25,00 a unidade.
a)
Qual a expressão matemática que permite calcular a
receita diária que a LCL terá na venda de q unidades dos
CDs de jazz?
b) Um cliente comprou 20 CDs de jazz, qual foi a receita que
a loja teve com essa venda?
11
Caso LCL Discos Ltda.



A Receita depende da quantidade vendida:
 Receita Variável Dependente
 Quantidade Vendida Variável Independente
Matematicamente:
Receita  f (Quantidade)
R(Quantidade)  25  Quantidade
O cliente comprou 20 CDs, logo a receita foi de:
R(20)  25  20  R$ 500,00
12
Funções: Domínio

Podemos agrupar as variáveis independentes e dependentes
em dois conjuntos distintos.

Conjunto A
 É o conjunto formado pelas DIFERENTES quantidades q
que podem ser vendidas de uma determinada mercadoria
ou serviço.

13
O conjunto formado pelas possíveis quantidades q
(variáveis independentes) recebe o nome de DOMÍNIO.
Funções: Domínio

Conjunto A
Domínio – Variáveis Independentes
q1
q3
q2
q4
Variáveis Independentes = Quantidades Vendidas
14
Funções: Imagem

Conjunto B
O conjunto formado pelas diferentes RECEITAS obtidas da
venda de possíveis QUANTIDADES de mercadorias ou
serviços recebe o nome de CONJUNTO IMAGEM.

A receita recebe o nome de variável dependente (R), pois seus
valores dependem das quantidades vendidas (variáveis
independentes).
15
Funções: Imagem

Conjunto B
Imagem – Variáveis Dependentes
R1
R2
R4
R3
Variáveis Dependentes = Receitas Obtidas
16
Funções: Definições
• x é a variável independente da função.
• Domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x.
• y é a variável dependente da função.
• Imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de y,
isto é, todos os valores gerados pela função por cada um
dos valores do domínio.
• Um conjunto de dois números reais em uma determinada
ordem forma um par ordenado.
17
Funções: Definições
• Uma função é um conjunto de pares ordenados de
números (x,y), no qual dois pares distintos não têm
o primeiro número do par em comum.
função
18
Funções

Podemos ainda
processadoras.

Essa máquina é abastecida com uma “matéria-prima”
(MP) chamada quantidade (Variável Independente).

A MP é “processada” por um processo chamado função.

A matéria-prima, após ser processada, fornece como “produto
final (PF)” uma grandeza chamada Receita (Variável
Dependente).
19
encarar
as
funções
como
“máquinas”
Funções

20
A função é o processo que transforma as Variáveis
Independentes, que formam o Domínio (MP), em Variáveis
Dependentes, que formam a Imagem (PF).
Caso LCL Lanchonetes Ltda.

A LCL Lanchonetes Ltda. contratou recentemente uma nova
cozinheira. A funcionária acertou um salário fixo mensal de
R$500,00, mais R$2,00 por hora extra trabalhada.
a)
Como contador da firma, expresse o salário (S), em reais, da
cozinheira em função do número de horas extras (h)
trabalhadas em um mês.
b)
Calcule os salários mensais da cozinheira para 10, 15 e 20
horas extras trabalhadas no mês.
21
Caso LCL Lanchonetes Ltda.



O salário da cozinheira é a soma do salário fixo com o salário
variável.
O salário variável depende das horas extras trabalhadas no
mês.
Matematicamente:
Salário (horas)  Salário Fixo  Salário Variável
 500  2  horas-extras
22
Caso LCL Lanchonetes Ltda.

O salário para 10 horas extras:
Salário (10)  500  2 10  R$ 520,00

Para 15 horas extras:

Para 20 horas extras:
Salário (15)  500  2 15  R$ 530,00
Salário (20)  500  2  20  R$ 540,00
23
Sistema Cartesiano
Par Ordenado e Plano Numérico

Um conjunto de dois números reais em uma determinada
ordem forma um par ordenado.
Exemplos:
(1 ; 2) , ( 2 ;  3 5), (x ; y )

24
O conjunto de todos os pares ordenados, formados por
2. Cada par
números reais, chama-se Plano Numérico,
ordenado (x, y) denomina-se Ponto do Plano Numérico.
Sistema Cartesiano
Plano Numérico
y
2o Quadrante
(x,y)
1o Quadrante
ordenada
x
abscissa
3o Quadrante
25
4o Quadrante
Função
Gráficos em
2
f ( x)  x
x
f(x)
0
0
2
2
Função Crescente
26
Função
Gráficos em
2
f ( x)  2 x
x
f(x)
0
0
2
-4
Função Decrescente
27
Função
Gráficos em
f ( x)  x3
28
x
f(x)
-2
-8
0
0
2
8
2
Função
Gráficos em
y   x3
29
x
f(x)
-2
8
0
0
2
-8
2
Sistema Cartesiano
Distância entre 2 Pontos

Sejam P1 e P2 dois pontos em 2 representados pelos pares
ordenados (2 ; 6) e (4 ; 10), respectivamente, encontre a
distância entre eles.

Sugestão: Lembre-se do Teorema de Pitágoras.
 Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados de seus
catetos é igual ao quadrado de sua hipotenusa.
30
Sistema Cartesiano
Distância entre 2 Pontos
P2
D=?
P1
}
y2  y1
x2  x1
D   x2  x1    y2  y1 
2
31
2
2
Sistema Cartesiano
Distância entre 2 Pontos

A distância entre P1(x1, y1) e P2(x2, y2) é dada por...
D  P1 P2 

32
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
Essa distância é chamada de distância euclidiana.
Função Composta
• Dadas duas funções f e g, a função
composta é representada por:
g
33
f
 x   g ( f ( x))
Função Composta
Exemplos

Dadas as funçõesf ( x)  x e g ( x)  2  4 x , determine a
função f g ( x) , seu domínio e sua imagem.
f g ( x)  f ( g ( x))
f( 2  4 x)  2  4 x

Domínio : , 1 
2
Imagem : R 
34
Caso LCL Telefonia Ltda.

35
A LCL Telefonia Ltda. produz celulares para empresas de
telecomunicações. A produção consiste de duas etapas
distintas, que são executadas cada uma em um galpão
diferente da empresa. A primeira etapa consiste da produção
do circuito integrado, na qual existe uma perda de 5% das
placas produzidas. A segunda etapa, na montagem dos
aparelhos, que tem uma perda de 10% de produtos.
A LCL recebeu um pedido de 1.000 celulares de um de seus
clientes, e o gerente de produção deseja determinar quantos
circuitos impressos deve mandar produzir para atender a
esse pedido.
Caso LCL Telefonia Ltda.
Solução


Considere x o número de componentes que
entram em uma etapa de produção.
A função de produção de circuito é dada por...
f ( x)  0,95 x

A função de montagem dos celulares é dada por...
g ( x)  0,9 x
36
Caso LCL Telefonia Ltda.
Solução
Ordem
de Fabricação
de x circuitos
Produção de
Circuitos
f ( x)  0,95 x
Circuitos sem defeito
Montagem
dos Celulares
g ( x)  0,9 x
Demanda do Cliente
37
Caso LCL Telefonia Ltda.
Solução
x
x
Produção de
Circuitos
go f
f ( x)
Fixação de
Chips
g ( f(x) )
38
Caso LCL Telefonia Ltda.
Solução

Logo, a função gof(x) é dada por...
g ( f ( x))  0,9(0,95 x)  0,855 x

O que desejamos é o valor de x para que o valor
de gof (x) seja igual a 1.000.
0,855 x  1.000
1.000
x
 1.169,59  1.170 circuitos
0,855
39
se A for.......... 0 sentido é para cima.
 Se A for
0 sentido é para baixo.

Determine todos os pontos de interseção das
funções f(x)=3x+2 e g(x)= x²
x
x

=3x+2
-3x-2=0

f(x)=3x+2 e g(x)= x²

F(3,56)=12,68
g(0,56)= 0,31

Os gráficos de funções do tipo.
Funções lineares
Função linear é uma função que varia a
uma taxa constante em relação à
variável independente.
 O gráfico de função linear é uma reta.
 A equação de uma função linear pode ser
escrito na forma

Y=mx

+b
onde m e b são constantes.
Inclinação de uma reta

A inclinação de uma reta não vertical
passando pelos pontos (x1, y1) e (x2,y2)é
dada pela expressão.

Inclinação= Δy / Δx

= y2-y1 / x2-x1
INCLINAÇÃO DA RETA
CALCULE A INCLINAÇÃO DA RETA
QUE LIGA OS PONTOS (-2,5) E (3,-1)
CALCULE A INCLINAÇÃO DA
RETA QUE LIGA OS PONTOS (-3,5)
E (4,-1)
Solução: 0S PONTOS (-3,5) E (4,-1)
(-3,5)
ΔY=-1-5=-6
(4,-1)
ΔX=4+3=7
FORMA INLINAÇÃO-INTERSEÇÃO DA
EQUAÇÃO DE UMA RETA

A equação y=mx+b
de uma reta cuja
inclinação é m e
cujo ponto de
interseção com o
eixo y é o ponto
(O,b).
Determine a inclinação e a interseção com o eixo y
da reta 3y+ 2x=6 e desenhe o gráfico associado.


Y=mx+b
3y+ 2x=6
(0,2)


3Y=-2x+6

Y= -2x/3 +6/3
Y=-2x/3 +2

(3,0)
Determine a equação da reta que passa pelo ponto
(5,1) e cuja inclinação é igual a ½ e desenhe o
gráfico.

y-yo=m(x-xo)

(xo,yo)=(5,1)

m=1/2
solução

y-1= ½. (x-5)

Y=x/2 – 3/2
y
(5,1)
x
(0,-3/2)
Determine a equação da reta que passa
pelo pontos (3,-2) e (1,6)

m= y-yo/ x-xo
solução

(3,-2) e (1,6)

M=6-(-2)/ 1-3
M=-4
y-yo=m(x-xo)



Y-6=-4(x-1)
Y=-4x +10

Para x=0 y=10

y
(0,10)
(1,6)
-2
x
(3,-2)