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Prof. A.F.Guimarães Física 3 – Questões 9 Joule. O módulo de B na superfície do fio é igual a ͺǡͷ ή ͳͲିଷ ܶ. Encontre o diâmetro do fio. Um fio retilíneo de raio R conduz uma corrente Resolução: constante i; outro fio retilíneo de mesmo raio Na superfície do fio, o módulo do campo conduz uma corrente contínua i cujo sentido é magnético é dado por: contrário ao da corrente que flui no outro fio. ߤ ݅ Estime o módulo do campo magnético B para ή ܤൌ ʹߨ ܴ pontos externos aos dois fios, isto é, para (2.1) distâncias r (ao centro de um dos fios) maiores do que 3R. Suponha que os dois fios possuam uma fina camada de isolante e que eles estejam em Substituindo os valores em (2.1), teremos: contato lateral. Ͷߨ ή ͳͲି Ͳ ଷ Resolução: ή ܴ ൌ ͳǡͶ ή ͳͲିଷ ݉ ͺǡͷ ή ͳͲ ൌ ʹߨ ܴ Considere a figura abaixo. ܦ ൌ ʹǡͺ ή ͳͲିଷ ݉ (2.2) Questão 1 2 2R Questão 3 1 x 3R Quatro longos fios são dispostos ortogonalmente ao plano da página, como mostra a figura 3.1, sendo cada um deles percorrido, no sentido indicado, por uma corrente i. Determine o vetor B resultante no centro do quadrado. 2R Figura 1.1 Tomando o contorno dado pela circunferência de raio igual a 3R, teremos, de acordo com a lei de Ampère: ۪ ۨ ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ ݅ ் රܤ ȈP a (1.1) ۨ ۪ Em que ݅ ் é a intensidade de corrente total a presente dentro do contorno. Como os dois condutores (1 e 2) transportam correntes com a Figura 3.1 mesma intensidade, porém de sentidos contrários, a integral em (1.1) será nula. Logo, o campo, para Resolução: esse contorno será nulo. E para qualquer contorno O módulo do campo produzido por uma corrente com raio superior a 3R. transportada em um fio condutor é dado por: ߤ ݅ ή ʹߨ ݎ (3.1) Questão 2 ܤൌ Num condutor cilíndrico pode passar uma corrente máxima de 60 A, sem que ocorra fusão de nenhuma parte do fio em consequência do efeito Em que r é a distância ortogonal ao condutor, e externo a ele. 1 www.profafguimaraes.net Sejam as correntes 1, 2, 3 e 4, conforme indica a ao longo de uma das quatro diagonais; dê a resposta para cada uma das quatro direções figura 3.2. respectivas diagonais. Considere: ܽ ൌ ͶͲܿ݉ǡ ݅ ൌ ͳͲܣ. 1 2 ۪ ۨ Resolução: ሬሬԦࡾ O elétron, no ponto P, estará sujeito a uma força ሬሬሬሬሬԦ ሬ ሬԦ ሬሬԦ ሬሬԦ magnética dada por: ሬሬԦ a ȈP ሬԦோ ܨԦ ൌ െ݁ݒԦ ܤ ר (4.1) ۨ 4 a ۪3 O módulo do campo resultante em P, utilizando o resultado de (3.4) será: Figura 3.2 ͺ ή ͳͲି ή ͳͲ ܤோ ൌ ൌ ʹ ή ͳͲିହ ܶ ͲǡͶ (4.2) Cada corrente produz um campo no ponto P dado por: O módulo da força magnética é dado por: ߤ ݅ ܤଵ ൌ ܤଶ ൌ ܤଷ ൌ ܤସ ൌ ܤൌ ή ʹߨ ݎ (3.2) Em que ݎൌ ܨ ൌ ݁ܤݒோ ߠ݊݁ݏ (4.3) ξଶ ଶ . Assim, o resultado de (3.2) fica: ܤଵ ൌ ܤଶ ൌ ܤଷ ൌ ܤସ ൌ ܤൌ (3.3) ʹξʹߤ ݅ ή Ͷߨ ܽ Qualquer que seja a direção do movimento do elétron, conforme foi sugerido, o valor do seno é sempre o mesmo: ߠ݊݁ݏ؆ Ͳǡͳ. Assim, o módulo da força, qualquer que seja a orientação do movimento, será: De acordo com a regra da mão direita, os vetores ሬԦଵ ǡ ܤ ሬԦଶ ǡ ܤ ሬԦଷ ܤ ሬԦସ se orientam conforme mostra a ܤ figura 3.2. Assim, o vetor resultante será orientado na vertical conforme mostra a referida figura e terá módulo dado por: ܤோ ൌ ʹܤξʹ ʹߤ ݅ ܤ ோ ൌ ߨܽ (3.4) ܨ ൌ ͳǡ ή ͳͲିଵଽ ή ͳͲ ή ʹ ή ͳͲିହ ή Ͳǡͳ ܨ ൌ ʹǡ͵ ή ͳͲିଵ଼ ܰ (4.4) Questão 5 Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância d, transportam correntes de sentidos opostos, como mostra a figura 5.1. (a) Mostre que o valor de B no ponto P equidistante dos fios, é dado por: Questão 4 ܤൌ ଶఓబ ௗ Tome como referência a questão anterior. Suponha que um elétron se desloque ao longo de (b) Qual o sentido de B? uma diagonal qualquer indicada na figura 3.1 com ۨ uma velocidade ݒൌ ͳͲ ݉ ή ି ݏଵ (no instante em d R que ele passa pelo ponto P). Calcule o módulo da ۪ força magnética que atua sobre o elétron no ponto P. Suponha que o elétron se dirija para o ponto P Figura 5.1 2 www.profafguimaraes.net . గሺସோమ ାௗమ ሻ P Resolução: Questão 6 a) A distância dos fios até o ponto P é dada por: Considere a questão anterior. Suponha que o ponto P esteja situado no centro do segmento que ଵ ଶ ଶ une os dois fios. Calcule o módulo da indução ݀ ݔൌ ቆܴଶ ቇ magnética neste ponto para os seguintes casos: (a) Ͷ as correntes possuem sentidos contrários. (b) as (5.1) duas correntes estão no mesmo sentido. Resolução: O módulo de B produzido por cada corrente no a) De acordo com a regra da mão direita, os dois ponto P é dado por: campos produzidos pelas correntes terão a mesma orientação, conforme mostra a figura 6.1. ߤ ݅ ܤൌ ή ʹߨ ݔ ۨ (5.2) P Ȉ Ȉ Da figura 5.2 podemos observar que o módulo do campo resultante é dado por: ܤோ ൌ ʹߙ݊݁ݏܤ (5.3) d ۨ ۪ x R Ƚ ۪ Podemos utilizar o resultado (5.5) para R = 0. Assim, teremos: B P Ƚ ܤோ ൌ Em que o ߙ݊݁ݏé dado por: ʹߤ ݅ ݀ ή ଶ ߨ ሺͶ ή Ͳ ݀ ଶ ሻ ʹߤ ݅ ܤ ோ ൌ ή ߨ ݀ (6.1) b) Para o caso em questão, os campos produzidos no ponto P terão sentidos opostos, de acordo com a regra da mão direita, conforme ilustra a figura 6.2. Logo o campo resultante será nulo. ݀ ߙ݊݁ݏൌ ʹݔ (5.4) Na figura 5.2, os vetores foram orientados de acordo com a regra da mão direita. Utilizando (5.1), (5.2), (5.3) e (5.4), teremos: ߤ ݅ ή ߨ ͳ ଵή ݀ ۨ ሬԦ ଵ ݀ଶ ଶ ݀ଶ ଶ ൰ ʹ ൬ܴଶ ൰ Ͷ Ͷ ʹߤ ݅ ݀ ܤ ோ ൌ ή ߨ ሺͶܴଶ ݀ ଶ ሻ (5.5) ൬ܴଶ ሬԦ Figura 6.1 Figura 5.2 ܤோ ൌ ሬሬԦ P Ȉ Ȉ ሬሬԦ ۨ Figura 6.2 Questão 7 b) Orientado na horizontal apontando para a Dois longos fios retilíneos, separados pela direita. distância d (10 cm) são ambos percorridos por uma corrente i (100 A). A figura 7.1 representa 3 www.profafguimaraes.net uma seção transversal, com os fios dispostos sua orientação será dada conforme ilustra a figura ortogonalmente à página, e o ponto P colocado 7.3. como indica a figura. Determine o módulo e a direção do campo magnético em P, quando a ሬԦܴ ܤ corrente no fio da esquerda aponta para forma da ሬԦଵ ܤ P ሬܤԦଶ página e a corrente no fio da direita aponta (a) na mesma direção, (b) na direção oposta. P R i ݅ଵ ۨ R d Figura 7.3 Utilizando os dados numéricos teremos: i d Figura 7.1 ۪ ݀ ൌ ܴξʹ ܴ ൌ Ͳǡͳ ݉ Resolução: ξʹ a) Acredito que a questão esteja cobrando o (7.3) campo resultante para as correntes no mesmo sentido, pois a direção é a mesma, a saber: Substituindo (7.3) em (7.2), teremos: perpendicular ao plano da página. Para esse caso, os campos estarão orientados, conforme a regra ܤோ ൌ Ͷ ή ͳͲିସ ܶ da mão direita, de acordo com a figura7. 2. (7.4) ሬܤԦܴ ݅ଵ ۨ ሬԦଵ ܤ Questão 8 P ሬԦଶ ܤ ۨ d Figura 7.2 Um cilindro comprido, com seu eixo orientado ao longo do eixo Oz, possui uma densidade de corrente ܬԦ. A densidade de corrente, embora seja simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é constante e varia de acordo com a relação: Os campos terão módulos dados por: ܤଵ ൌ ܤଶ ൌ ܤൌ ܬԦ ൌ ߤ ݅ ή ʹߨ ܴ ʹ݅ ݎଶ ͳ െ ቀ ቁ ൨ ݇ ܽ ߨܽଶ ܬൌͲ ݎ ܽǡ ݎ ܽǡ onde a é o raio do cilindro, r é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro e ݅ Devido à simetria da disposição das correntes com é uma constante dada em ampères. A) Mostre que ݅ é a corrente total que passa através da seção o ponto P, teremos para o campo resultante: reta do fio. B) Usando a lei de Ampère, deduza ߨ uma expressão para o módulo do campo ܤோ ൌ ʹ ݏܿܤ ሬԦ na região ݎ ܽ. C) Obtenha uma Ͷ magnético ܤ ߤ ݅ ξʹ expressão para a corrente i contida em uma seção ܤ ோ ൌ ή reta circular de raio ݎ ܽ e centralizada sobre o ʹߨ ܴ (7.2) eixo do cilindro. D) Aplicando a lei de Ampère, deduza uma expressão para o módulo do campo b) Mesmo para essa configuração, o campo resultante terá o módulo dado por (7.2), porém a (7.1) 4 www.profafguimaraes.net ሬԦ na região ݎ ܽ. Como se comparam Em que a integração foi realizada até um ponto magnético ܤ interno à seção reta do condutor ሺ ݎ ܽሻ. os resultados dos itens (B) e (D) para r = a? Resolução: a) Para encontrar a corrente total, temos que d) Utilizando a lei de Ampère (8.3), teremos: integrar a função densidade de corrente para toda Ͷ݅ ݎଶ ݎସ área da seção transversal. Assim, temos: ܤή ʹߨ ݎൌ ߤ ή ଶ ቆ െ ଶ ቇ ܽ ʹ Ͷܽ ʹߤ ݎ ݎଷ ݅ ݅௧ ൌ න ܬԦ ή ݀ܣԦ ܤൌ ቆ െ ቇ ߨܽଶ ʹ Ͷܽଶ (8.1) (8.6) Em que ݀ ܣൌ ʹߨ ݎή ݀ݎ. Assim, utilizando a Fazendo em (8.4) e (8.6), r = a, teremos os expressão da densidade de corrente em (8.1), mesmos resultados. teremos: Questão 9 ݎଶ ʹ݅ ݅௧ ൌ ଶ න ͳ െ ቀ ቁ ൨ ʹߨݎ݀ݎ ܽ ߨܽ ݎଷ Ͷ݅ ݅௧ ൌ ଶ න ቆ ݎെ ଶ ቇ ݀ݎ ܽ ܽ ଶ ସ Ͷ݅ ݎ ݎ ݅௧ ൌ ଶ ቈ െ ଶ ݅ ௧ ൌ ݅ ܽ ʹ Ͷܽ (8.2) Um cilindro comprido, com seu eixo orientado ao longo do eixo Oz, possui uma densidade de corrente ܬԦ. A densidade de corrente, embora seja simétrica em relação ao eixo do cilindro, não é constante, porém varia de acordo com a relação: ܾ ሺିሻ ܬԦ ൌ ൬ ൰ ݁ ఋ ݇ ݎ ܬൌͲ b) Utilizando a lei de Ampère: ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ ݅ රܤ (8.3) Em que i é a corrente dentro da curva amperiana. Para os pontos externos ao condutor, poderemos tomar uma circunferência como a nossa curva amperiana e integrar ao longo dessa curva. Levando em consideração que a corrente dentro da curva é a corrente total, teremos, de (8.3): ܤή ʹߨ ݎൌ ߤ ݅ ܤ ൌ (8.4) Em que ݎ ܽ. ߤ ݅ ή ʹߨ ݎ c) De forma semelhante ao que foi efetuado no item (a), teremos: ݅ൌ Ͷ݅ ݎଶ ݎସ ቆ െ ቇ ܽଶ ʹ Ͷܽଶ (8.5) ݎܽݎܽ ܽǡ ݎܽݎܽ ܽǡ onde a é o raio do cilindro e r é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro, b é uma constante igual a ͲͲ ܣή ݉ିଵ , e ߜ é uma constante igual a 2,50 cm. A) Seja ݅ a corrente total que passa através da seção reta do fio. Obtenha uma expressão para a corrente ݅ em termos de b, ߜ e a. Faça os cálculos para obter o valor numérico de ݅ . B) Usando a lei de Ampère deduza uma expressão para o módulo do campo ሬԦ na região ݎ ܽ. Expresse o resultado magnético ܤ em função de ݅ em vez de b. C) Obtenha uma expressão para a corrente i contida em uma seção reta circular de raio ݎ ܽ e centralizada sobre o eixo do cilindro. Expresse o resultado em função de ݅ em vez de b. D) A partir da lei de Ampère, deduza uma expressão para o módulo do campo ሬԦ na região ݎ ܽ. E) Calcule o módulo magnético ܤ do campo magnético para ݎൌ ߜǡ ݎൌ ܽ݁ ݎൌ ʹܽ. Resolução: a) Vamos integrar a função densidade de corrente para toda a seção reta do condutor. Assim, teremos a corrente total. Logo: 5 www.profafguimaraes.net ݁ ሺିሻΤఋ ή ݎή ݀ݎ ݎ ݅ ൌ ʹߨܾߜ൫ͳ െ ݁ ିΤఋ ൯ (9.1) e) Para ݎൌ ߜ: ݅ ൌ ʹߨܾ න ߤ ݅ ݁ ିΤఋ ሺ݁ െ ͳሻ ή ή ʹߨ ߜ ሺͳ െ ݁ ିΤఋ ሻ (9.8) ܤൌ Substituindo os valores numéricos em (9.1), Para ݎൌ ܽ ݎൌ ʹܽ, teremos o resultado dado teremos: por (9.3). ݅ ൌ ͵Ͳߨሺͳ െ ݁ ିସ ሻ Obs.: A questão não ofereceu o raio do condutor, (9.2) logo optei por não utilizar os valores numéricos nos itens de (b) até (e). b) Para ݎ ܽ, teremos: Questão 10 ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ ݅ රܤ ߤ ݅ ή ʹߨ ݎ (9.3) Num condutor cilíndrico maciço (de raio b) flui uma corrente total ݅ através da seção reta do cilindro. A densidade de corrente varia com a distância ao eixo do cilindro de acordo com a c) Para ݎ ܽ, integramos conforme foi efetuado relação: ܬൌ ݎܣ, onde r é a distância ao eixo no item (a), porém até um ponto do interior do central e A é uma constante com dimensão de condutor. Assim, teremos: corrente sobre ܮଷ . Determine o módulo da indução magnética para os pontos: (a) externos ao ௫ ሺିሻ condutor ሺ ݎ ܾሻ, (b) internos ao condutor ݅ ൌ ʹߨܾ න ݁ ఋ ݀ݎ ሺ ݎ൏ ܾ ሻ . ሺ௫ିሻ ି Resolução: ݅ ൌ ʹߨܾߜ ݁ ఋ െ ݁ ఋ ൨ a) Para ݎ ܾ, teremos: (9.4) ܤൌ ݅ ൌ න ܣ݀ܬ Agora, utilizando o resultado de (9.1) em (9.4) e trocando x por r, teremos: ݅ ൌ ʹߨ ܣන ݎଶ ݀ݎ ൫݁ ሺିሻΤఋ െ ݁ ିΤఋ ൯ ݅ ൌ ݅ ή ሺͳ െ ݁ ିΤఋ ሻ (9.5) d) Para o campo na região do item (c), teremos: ʹߨܾܣଷ ݅ ൌ ͵ (10.1) Utilizando a lei de Ampère, temos: ߤ ݅ ή ʹߨ ݎ (10.2) ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ ݅ රܤ ܤൌ ߤ ݅ ή ʹߨ ݎ (9.6) ܤൌ Utilizando o resultado de (9.5) em (9.6), teremos: ܤൌ ሺିሻΤఋ Utilizando o resultado de (10.1) em (10.2), teremos: ߤ ܾܣଷ ͵ݎ (10.3) ܤൌ ିΤఋ ൯ െ݁ ߤ ݅ ൫݁ ή ή ሺͳ െ ݁ ିΤఋ ሻ ʹߨ ݎ (9.7) 6 www.profafguimaraes.net b) Para ݎ൏ ܾ, teremos: ݅ ή ݎଶ ݅Ԣ ൌ ଶ ܽ (11.1) ݅ ൌ න ܣ݀ܬ ௫ ݅ ൌ ʹߨ ܣන ݎଶ ݀ݎ Agora, aplicando a lei de Ampère e utilizando (11.1), teremos: ʹߨ ݔܣଷ ݅ൌ ͵ (10.4) ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ ݅ ᇱ රܤ ߤ ݅ ή ݎ ή ʹߨ ܽଶ (11.2) Pela lei de Ampère temos: ܤൌ ߤ ݅ ή ʹߨ ݎ (10.5) ܤൌ b) Para ܽ ൏ ݎ൏ ܾ, temos para a corrente dentro da curva amperiana, toda a corrente do condutor Utilizando o resultado de (10.4) em (10.5) e interno. Assim, teremos: mudando de x para r, teremos: ߤ ݅ ή ܤ ൌ ʹߨ ݎ ߤ ݎܣଶ ܤൌ (11.3) ͵ (10.6) c) Para ܾ ൏ ݎ൏ ܿ, temos para a corrente: Questão 11 Um longo cabo coaxial é constituído por dois condutores concêntricos cujas dimensões estão especificadas na figura 11.1. Os dois condutores são percorridos, em sentidos opostos, por correntes i, de mesma intensidade. (a) Calcule o campo magnético B num ponto do condutor interno, que dista r do seu centro ሺ ݎ൏ ܽሻ. (b) Calcule o valor de B entre os dois condutores ሺܽ ൏ ݎ൏ ܾሻ. (c) Calcule o valor de B dentro do condutor externo ሺܾ ൏ ݎ൏ ܿ ሻ. (d) Calcule o valor de B para um ponto fora do cabo ሺ ݎ ܿ ሻ. i c b a ሺ ݎଶ െ ܾ ଶ ሻ ݅ ൌ ݅ ቈͳ െ ଶ ሺܿ െ ܾ ଶ ሻ (11.4) ᇱᇱ Temos que subtrair da corrente total do condutor interno, a fração de corrente da seção do condutor externo. Agora, aplicando a lei de Ampère, e utilizando (11.4), teremos: ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ ݅ ᇱᇱ රܤ ܤൌ ߤ ݅ ሺܿ ଶ െ ݎଶ ሻ ή ή ʹߨ ݎሺܿ ଶ െ ܾଶ ሻ (11.5) d) Para ݎ ܿ, a corrente total é nula ሺ݅௧ ൌ ݅ െ ݅ ሻ, pois as mesmas percorrem sentidos opostos. Logo o campo também será nulo, de acordo com a lei de Ampère. i Questão 12 Figura 11.1 Resolução: a) Para ݎ൏ ܽ, teremos para a corrente: Dê as respostas dos itens da questão anterior em função da densidade de corrente J. Resolução: 7 www.profafguimaraes.net a) Para o condutor interno teremos uma reta. (a) Mostre que, para pontos dentro da massa densidade de corrente dada por ܬ . Assim sendo, a do condutor, isto é, para ܽ ൏ ݎ൏ ܾ, o campo magnético B é dado por: corrente total para o referido condutor será: ݅ ൌ ܬ ߨܽଶ (12.1) ܤൌ ఓబ ଶగሺమ ି మሻ ή మ ିమ . Substituindo (12.1) no resultado de (11.2), (b) Mostre que para ݎ൏ ܽ o campo magnético é nulo. teremos: ߤ ܬ ݎ ʹ (12.2) ܤൌ r b a b) Utilizando (12.1) em (11.3), teremos: ߤ ܬ ܽଶ ʹݎ (12.3) ܤൌ Figura 13.1 Resolução: c) Nesse caso devemos subtrair as correntes A corrente dentro da curva amperiana é dada por: conforme foi efetuado em (11.4). No entanto, temos que encontrar as relações das densidades ݅ ሺ ݎଶ െ ܽ ଶ ሻ de correntes dos condutores interno e externo. ݅Ԣ ൌ ଶ ሺܾ െ ܽ ଶ ሻ Como os dois condutores transportam a mesma (13.1) intensidade de corrente teremos: Aplicando a lei de Ampère, teremos: ܬ ߨܽଶ ൌ ܬ ߨሺܿ ଶ െ ܾଶ ሻ ܬ ܽଶ ܬ ൌ ଶ ሺܿ െ ܾ ଶ ሻ (12.4) ሬԦ ή ݈݀Ԧ ൌ ߤ ݅ ᇱ රܤ ܤൌ Em que ܬ é a densidade de corrente no condutor externo. Assim, teremos para o campo: ߤ ݅ ሺ ݎଶ െ ܽ ଶ ሻ ή ή ʹߨ ݎሺܾଶ െ ܽଶ ሻ (13.2) Questão 14 ߤ ܬ ܽଶ ሺܿ ଶ െ ݎଶ ሻ ܤൌ ή ଶ ሺܿ െ ܾ ଶ ሻ ʹݎ (12.5) No entanto, não seria diferente se utilizássemos diretamente (12.1) no resultado de (11.5). d) O campo é nulo conforme foi explicado na questão anterior. Questão 13 A figura 13.1 mostra um cilindro condutor oco, de raios a e b, que transporta uma corrente i uniformemente distribuída ao longo da sua seção Na questão anterior a cavidade cilíndrica era concêntrica. O entanto, esta questão envolve uma cavidade cilíndrica excêntrica. Considere um condutor cilíndrico de raio ܴଵ com uma cavidade de raio ܴଶ ; seja ݔ a distância entre o eixo do condutor e o eixo da cavidade conforme mostra a figura 14.1. Uma corrente i está uniformemente distribuída sobre a área escura na figura. Considere um sistema Oxy com origem O no centro da seção reta do condutor; o eixo Ox é orientado do centro O para o centro O’ de seção reta da cavidade. Determine expressões para o módulo B para os pontos: (a) Ao longo do eixo do 8 www.profafguimaraes.net condutor (o qual passa em O), (b) ao longo do eixo da cavidade (que passa em O’), (c) ao longo do eixo Oy. Sugestão: Use o princípio da superposição. y O O’ ߚ r ࡾ O ߙ ሬሬԦԦଵ ܤ ݔ O’ ܴ ଶ ሬԦʹ ܤ x Figura 14.3 ݔ Figura 14.1 Resolução: A corrente percorre o condutor ao longo do eixo do mesmo, logo, o B será nulo nos dois casos: ao longo do eixo do condutor e ao longo do eixo da cavidade. Agora, vamos considerar que o eixo Oy aponta na direção perpendicular à direção do condutor, por exemplo, na vertical para cima conforme mostra a figura 14.2. No caso a corrente na parte escura está entrando no plano da página. Para simular a cavidade vamos considerar uma corrente saindo do plano da página. Tal corrente é dada pela mesma densidade de corrente dada em (14.1). Assim teremos dois campos, a saber: um dado pela corrente dentro da curva em vermelho (entrando no plano da página) e outro dado pela corrente dentro da curva em preto (saindo do plano da página). Desta forma teremos: y ܤଵ ൌ ߤ ݅ ή ଶ ήݎ ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ (14.2) ܤଶ ൌ ߤ ݅ ή ଶ ήܴ ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ ଶ (14.3) E O O’ x ݔ O campo resultante é dado por: ሬԦோ ൌ ܤ ሬԦଵ ܤ ሬԦଶ ܤ (14.4) Figura 14.2 A densidade de corrente é dada por: ܬൌ ݅ െ ܴଶଶ ሻ (14.1) Poderemos encontrar as componentes do campo nas direções de Ox e Oy. Assim teremos para Ox: ߨሺܴଵଶ ܤோ௫ ൌ ܤଵ ߙ݊݁ݏെ ܤଶ ߚ݊݁ݏ ߤ ݅ ሾ ߙ݊݁ݏݎെ ܴଶ ߚ݊݁ݏሿ ൌ ή ଶ ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ (14.5) ܤோ௫ Vamos utilizar duas curvas amperianas, a saber: uma com raio r e outra com raio ܴଶ , conforme mostra a figura 14.3. Dessa forma poderemos Mas ߙ݊݁ݏݎൌ ܴଶ ߚ݊݁ݏ. Logo, o resultado de (14.5) então aplicar o princípio da superposição. será nulo. Para a direção Oy temos: 9 www.profafguimaraes.net ܤோ௬ ܤோ௬ ൌ ܤଵ ܿ ߙݏെ ܤଶ ܿߚݏ ߤ ݅ ሾ ߙݏܿݎെ ܴଶ ܿߚݏሿ ൌ ή ଶ ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ (14.6) A força resultante na direção de Ox será: ܨோ௫ ൌ ܨଶ ܨଷ ܿݏ (15.3) ߨ Ͷ Mas ߙݏܿݎെ ܴଶ ܿ ߚݏൌ ݔ . Logo, o resultado de Utilizando (15.1) e (15.2) em (15.3), teremos: (14.6) será: ܤோ௬ ߤ ݅ ή ݔ ൌ ή ଶ ʹߨ ሺܴଵ െ ܴଶଶ ሻ (14.7) ܨோ௫ ൌ No caso, o campo aponta na direção de Oy no sentido negativo. O campo será então uniforme dentro da cavidade e aponta na vertical (direção de Oy). Se a corrente no condutor sair do plano da página, o campo apontará no sentido positivo. ͵ ߤ ݅ ଶ ή ή ή݈ ʹ ʹߨ ݀ (15.4) A força resultante na direção de Oy será: ܨோ௬ ൌ ܨଵ െ ܨଷ ݊݁ݏ (15.5) ߨ Ͷ Utilizando (15.1) e (15.2) em (15.5), teremos: Questão 15 ͳ ߤ ݅ ଶ ൌ ή ή ή݈ ʹ ʹߨ ݀ (15.6) ܨோ௬ Determine literalmente o módulo da força magnética resultante (por unidade de comprimento) sobre cada um dos fios indicados Com (15.4) e (15.6) podemos obter a força na figura 3.1. resultante, que será: Resolução: Considere por exemplo o fio que transporta uma ଵ corrente i no canto inferior esquerda da referida ଶ ଶ ଶ ൯ ܨோ௬ ܨோ ൌ ൫ܨோ௫ figura. ܨோ ξͳͲ ߤ ݅ ଶ ൌ ή ή ݈ ʹ ʹߨ ݀ ܨԦଵ (15.7) ܨԦଶ ܨԦଷ ۨ i O resultado de (15.7) é válido para os demais condutores na figura. Questão 16 Figura 15.1 Os módulos das forças são dados por: E ߤ ݅ ଶ ܨଵ ൌ ܨଶ ൌ ή ή݈ ʹߨ ݀ (15.1) Um fio de cobre, longo, transporta uma corrente de 10 A. Calcule o fluxo magnético por unidade de comprimento do fio para uma superfície S, no seu interior, indicada na figura 16.1. S ߤ ݅ ଶ ܨଷ ൌ ή ή݈ ʹߨ ݀ξʹ (15.2) Figura 16.1 10 www.profafguimaraes.net Resolução: Em que ܤோ , utilizando (2.1) e o resultado de O campo no interior de um condutor que (11.2), é dado por: transporta uma corrente uniformemente ߤ ݅ ݔ ͳ distribuída é dado por (11.2). O fluxo do campo ൬ ଶെ ൰ Ͳݔܽ ܤோ ൌ por sua vez é dado por: ʹߨ ܽ ݀െݔ ߤ ݅ ͳ ͳ ݀ ൬ െ ൰ ܽݔ ܤோ ൌ ʹߨ ݀ ݔെ ݔ ʹ ሬԦ ή ݀ܣԦ Ȱ ൌ න ܤ (17.2) (16.1) Devemos integrar ܤோ em toda a região entre os No caso, o campo é perpendicular à superfície S. eixos. No entanto, devido à simetria do problema, ௗ Utilizando o resultando de (11.2), teremos: poderemos integrar de ݔൌ Ͳ até ݔൌ e depois ଶ multiplicar por 2. Ainda, considerando a simetria ோ ߤ ݅ dos campos, observa-se que a contribuição da Ȱ ൌ ή ή ݈ න ݎ݀ݎ ʹߨ ܴଶ primeira metade é oposta à contribuição da Ȱ ߤ ݅ segunda metade. Assim, o fluxo total é nulo ൌ ݈ Ͷߨ (Figura 17.1). (16.2) ሬሬԦ a Em que ݀ ܣൌ ݈ ή ݀ݎ. Substituindo os valores teremos: Ȉ 1 ି Ȱ Ͷߨ ή ͳͲ ή ͳͲ ൌ ൌ ͳͲି ܹܾ ή ݉ିଵ ݈ Ͷߨ (16.3) Ȉ x ሬԦ ࢊ Ȉ a Ȉ 2 d Figura 17.1 – Seção transversal das duas correntes perpendiculares ao plano da página e apontado para fora da mesma. Questão 17 Um condutor cilíndrico longo de raio a transporta uma corrente i. Outro condutor cilíndrico longo de mesmo raio possui eixo paralelo ao primeiro condutor e transporta a mesma corrente. A distância entre os eixos dos cilindros é igual a d, sendo d > 2a. Determine o fluxo magnético total (por unidade de comprimento) através do plano que contém os eixos e para a região situada entre os referidos eixos, nos seguintes casos: (a) as correntes possuem o mesmo sentido, (b) as correntes possuem sentidos contrários. Resolução: a) As contribuições para o fluxo total entre os eixos para as correntes no mesmo sentido se anulam mutuamente. Vejamos: O fluxo total será dado por: b) Nesse caso os campos se somam, na região entre os eixos. A figura 17.2 mostra a configuração das correntes e dos campos para a situação imposta pela questão. a Ȉ Ȉ 1 ሬሬԦ ሬԦ ࢊ Ȉ a 2 x d Figura 17.2 - Seção transversal das duas correntes perpendiculares ao plano da página com sentidos opostos. Desta forma teremos: ௗ ሬԦோ ή ݀ܣԦ Ȱ ൌ න ܤ ߤ ݅ ݔ ͳ ൬ ଶ ൰ Ͳݔܽ ʹߨ ܽ ݀െݔ ݀ ߤ ݅ ͳ ͳ ൬ ൰ ܽݔ ܤோ ൌ ʹ ʹߨ ݀ ݔെ ݔ (17.3) ܤோ ൌ (17.1) 11 www.profafguimaraes.net Agora, integrando até a metade e multiplicando Seja essa única espira um elemento de corrente di. por 2, teremos: Assim, teremos: మ ͳ ߤ ݅ ݔ ͳ ͳ Ȱ ൌ ή ݈ න ൬ ଶ ൰ ݀ ݔ න ൬ ൰ ݀ ݔ൩ ܽ ݀ െ ݔ ݔ ݀ െ ݔ ߨ ݀ ܤൌ (17.4) ߤ ܴ ଶ య ʹሺܴଶ ݔଶ ሻమ (18.2) ή ݀݅ Em que ݀ ܣൌ ݈ ή ݀ݔ. Efetuando a integração em Em que o elemento de corrente vale: (17.4), teremos: ܰ ݀݅ ൌ ή ݅ ή ݀ݔ Ȱ ߤ ݅ ݔଶ ݈ ൭ ଶ െ ݈݊ሺ݀ െ ݔሻ൱อ ൫݈݊ሺݔሻ െ ݈݊ሺ݀ െ ݔሻ൯หమ ൩ ൌ (18.3) ݈ ʹܽ ߨ Ȱ ߤ ݅ ͳ ൌ ݈݊݀ െ ݈݊ܽ൨ ݈ ߨ ʹ Ȱ ߤ ݅ ͳ ݀ ൌ ݈݊ ൨ ݈ ߨ ʹ ܽ (17.5) Obs.: Poderíamos utilizar o resultado de (16.2) para o fluxo dentro de cada condutor devido à sua própria corrente. E depois somar com as outras contribuições de fluxo para a região entre os eixos. Em (18.3), N é o número total de espiras e l é o comprimento do solenoide. Substituindo (18.3) em (18.2) e integrando de ݔൌ Ͳ± ݔൌ , e ଶ depois multiplicando por 2, teremos: ݀ݔ ߤ ܴܰ݅ଶ మ න ܤൌ య ݈ ሺܴ ଶ ݔଶ ሻమ మ ߤ ܰ݅ ݔ ൨ ܤൌ ݈ ξܴ ଶ ݔଶ ߤ ܰ݅ ͳ ܤൌ ή ଶ ʹ ටܴ ଶ ቀ ݈ ቁ ʹ (18.4) Questão 18 Mostre que o campo magnético de um solenoide é dado por: ܤൌ ߤ ݅ ݊. Não use a lei de Ampère; faça a demonstração dividindo o solenoide em espiras de corrente infinitesimais e integrando ao longo do solenoide. Resolução: O campo em um dado ponto do eixo de uma espira percorrida por uma corrente é dado por: ܤൌ ߤ ܴ݅ଶ ʹሺܴଶ ݔଶ ሻ (18.1) Consideramos um solenoide quando temos várias espiras bem próximas, de tal forma que o raio das mesmas seja bem menor do que o comprimento da hélice. Ainda que tomemos a metade do comprimento da hélice, podemos dizer: ܴ ب. ଶ Logo, do resultado de (18.4), teremos: ܤ؆ Figura 18.1 ͳ ଶ ݈ ටቀ ቁ ʹ ߤ ܰ݅ ܰ ܤ؆ Ǣ ൌ ݊ ݈ ݈ (18.5) య మ R x ߤ ܰ݅ ή ʹ O resultado de (18.5) foi calculado somente para o eixo do solenoide, mas podemos considerar que esse é o valor do campo ao longo de todo o volume do interior do mesmo. Isto acontece porque o raio do mesmo é muito menor do que o comprimento da hélice. 12 www.profafguimaraes.net Em que ݀ߠ é um elemento de ângulo em radiano. Assim, substituindo em (19.1), teremos: Questão 19 O fio que aparece na figura 19.1 é percorrido ߤ ݅ ݀ߠ por uma corrente i. Qual é o valor da contribuição ݀ܤ ൌ ή Ͷߨ ܴ para o campo magnético no centro C da (19.4) semicircunferência devida (a) a cada segmento retilíneo de comprimento l, (b) à Integrando (19.4) para ߠ ൌ Ͳ±ߠ ൌ ߨ, teremos: semicircunferência de raio R e (c) a todo fio? ߤ ݅ Ͷܴ (19.5) ܤ ൌ i R i i C No caso em questão, o campo é perpendicular ao plano da página e apontando para dentro da mesma. l l Figura 19.1 c) A única contribuição em C é o resultado dado Resolução: a) Aplicaremos a lei de Biot-Savart, que é dada por (19.5). por: Questão 20 ߤ ݅ ݈݀Ԧ ݎ רԦ ή Ͷߨ ݎଷ (19.1) ሬԦ ൌ ݀ܤ ݈݀Ԧ l ݈݀Ԧ ݎԦ ݎԦ Um disco de plástico de raio R possui uma carga total q, distribuída uniformemente em sua superfície. Se o disco gira em torno do seu eixo com uma velocidade angular ߱, mostre que (a) o campo magnético no centro do disco será igual a ݈݀ ݀ߠ ݀ ߠ R C ܤൌ i ଶగோ , e que (b) o momento de dipolo magnético do disco será dado por: l Figura 19.2 ߤൌ Para o segmento retilíneo da esquerda como para o da direita, temos: ఠோమ ସ . Resolução: a) A figura 20.1 mostra a configuração do disco. ห݈݀Ԧ ݎ רԦห ൌ Ͳ (19.2) ݀ݍ Pois os vetores são paralelos, conforme mostra a figura 19.2. Logo podemos concluir que esses segmentos não contribuem com campo magnético em C. b) Observa-se da figura 19.2 semicircunferência, teremos: ఓబ ఠ que ห݈݀Ԧ ݎ רԦห ൌ ܴ ݈݀ ڄ؆ ܴଶ ݀ߠ (19.3) para a r Figura 20.1 A carga está uniformemente distribuída ao longo da área do disco, de tal forma que um elemento de área do disco, como mostra a figura 20.1, terá uma carga dada por: 13 www.profafguimaraes.net ݍ ή ݀ܣ ߨܴଶ (20.1) distância y do fio. Dê a resposta em função dos ângulos ߠଵ ߠଶ formados entre a normal ao fio baixada do ponto P e pelas retas que unem o ponto P com as extremidades do fio considerado. Em que ݀ ܣൌ ʹߨ ݎή ݀ݎ. Tomando (20.1) no Resolução: período de rotação, teremos o elemento de A figura 21.1 representa a configuração da corrente dado por: questão. ݀ ݍൌ ݀݅ ൌ ݍ ή ߱ ݎή ݀ݎ ߨܴଶ (20.2) P ߠଵ Em que ߱ é a velocidade angular do disco ଶగ ቀ߱ ൌ ǡ ܶ±Àቁ. Podemos então escrever ் a expressão do campo gerado pela corrente (20.2): ߤ ݀݅ ʹݎ (20.3) y ߠʹ ߙ r dx l i Figura 21.1 ݀ ܤൌ Utilizando a lei de Biot-Savart para o caso em questão, temos: Agora, tomando a contribuição total, ou seja, integrando (20.3) ao longo do raio, teremos: ݀ ܤൌ ߤ ߱ݍோ න ݀ݎ ʹߨܴଶ ߤ ߱ݍ ܤൌ ʹߨܴ (20.4) ܤൌ ߤ ݅ ݀ߙ݊݁ݏݔ ή Ͷߨ ݎଶ (21.1) Temos que encontrar uma relação de x com o ângulo ߙ, pois os dois variam simultaneamente. Para isso, vamos tomar um triângulo retângulo que contém a normal y, a posição x e o ângulo ߙ (figura 21.2). b) De forma semelhante, podemos escrever a expressão para o elemento de dipolo: ȈP ߠ ݀ߤ ൌ ߨ ݎଶ ݀݅ r y (20.5) ߙ Ȉ x Agora, utilizando (20.2) e tomando a contribuição total, ou seja, integrando, teremos: Figura 21.2 ߱ݍோ ଷ න ݎ݀ ݎ ܴଶ ܴ߱ݍଶ ߤൌ Ͷ (20.6) ߤൌ Da figura 21.2 podemos concluir: ߙ݊݁ݏൌ ܿߠ ݏ (21.2) E também: Questão 21 ݔൌ ݕή ݔ݀ ֜ ߠ݃ݐൌ ݕή ܿ݁ݏଶ ߠ݀ߠ (21.3) Determine o módulo da indução magnética de um fio retilíneo de comprimento l, por onde passa uma corrente i, num ponto P situado a uma Podemos observar também, da figura 21.2: 14 www.profafguimaraes.net ݕ ܿߠ ݏ (21.4) Ainda, observando a figura 21.2, podemos escrever: ݎൌ ߠ݊݁ݏൌ Agora, utilizando (21.2), (21.3) e (21.4) em (21.1), teremos: ݀ ܤൌ ߤ ݅ ή ܿߠ݀ߠ ݏ Ͷߨݕ (21.5) ݈ ඥ݈ ଶ Ͷ ݕଶ (22.3) Agora, substituindo (22.3) em (22.2), teremos: Agora podemos integrar, no entanto devemos observar que a variação passa pelo ângulo zero, então os limites de integração serão ߠ ൌ െߠଵ ±ߠ ൌ ߠଶ . Então: ߤ ݅ ఏమ න ܿ ߠ݀ߠ ݏ ܤൌ Ͷߨି ݕఏభ ߤ ݅ ሺߠ݊݁ݏଶ ߠ݊݁ݏଶ ሻ ܤൌ Ͷߨݕ (21.6) Lembrando que ݊݁ݏെ ߠ ൌ െߠ݊݁ݏ. ܤൌ ߤ ݅ ʹ݈ ή Ͷߨ ݕඥ݈ ଶ Ͷ ݕଶ (22.4) Questão 23 Você recebe um fio de comprimento l no qual pode passar uma corrente i. Esse fio pode ser dobrado na forma de um círculo ou de um quadrado. Qual das duas formas dará o maior valor para B no centro da figura? Resolução: Para uma espira de comprimento l, teremos como raio: Questão 22 ݈ ʹߨ (23.1) ܴൌ Considere a questão anterior. Suponha que o ponto P esteja sobre a mediatriz do fio. Obtenha a expressão do módulo da indução magnética em O campo no centro de uma espira circular de raio termos da distância y ao fio e do comprimento l do R, tomando o resultado (19.5) para uma espira fio. completa, é dado por: Resolução: Na questão anterior, observando a figura 21.2, ߤ ݅ ൌ ܤ ா fazendo ݔൌ , teremos: ʹܴ ଶ (23.2) ݈ଶ ݕଶ Ͷ (22.1) Substituindo (23.1) em (23.2) e utilizando o valor aproximado para ߨ ሺߨ ؆ ͵ǡͳͶሻ, teremos: ݎൌඨ Estando o ponto P sobre a mediatriz, poderemos então tomar ߠଵ ൌ ߠଶ ൌ ߠ no resultado de (21.6), logo: ܤൌ ߤ ݅ ή ʹߠ݊݁ݏ Ͷߨݕ (22.2) ͵ǡͳͶ ή ߤ ݅ ܴ (23.3) ܤா ؆ Para a espira quadrada, cada lado possui um comprimento igual a ସ. Assim, utilizando o resultado (22.4), teremos para o campo no centro desta espira a: 15 www.profafguimaraes.net ܤாொ ݈ ʹቀ ቁ ߤ ݅ Ͷ ൌ Ͷή ή ଶ ݈ ଶ Ͷߨ ቀͺቁ ට ݈ Ͷ ቀ ݈ ቁ ͺ ͳ (23.4) Substituindo o resultado (24.3) em (24.2), teremos: ܤ ൌ Assim, após as manipulações em (23.4), teremos: ͵ǡߤ ݅ ܤாொ ؆ ݈ (23.5) ߤ ݅ ߨ ή ݃ݐቀ ቁ ʹߨܽ ݊ (24.4) Agora tomando a contribuição total: ߤ ݊݅ ߨ ή ݃ݐቀ ቁ ʹߨܽ ݊ (24.5) ܤൌ ݊ܤ ൌ Comparando (23.3) e (23.5), podemos concluir Em que ݊ ʹ. Tomando ݊ ՜ λ em (24.5), que na espira quadrada o campo é mais intenso. teremos: Questão 24 ܤൌ ߨ ߤ ݅ ή ݊ ή ݃ݐቀ ቁ ݊ ʹߨܽ ՜ஶ (24.6) Um fio é dobrado na forma de um polígono regular de n lados inscrito num círculo de raio a. Se este fio for percorrido por uma corrente i, గ mostre que o valor de B no centro do polígono é Podemos expandir a ݃ݐቀቁ da seguinte forma: dado por: ߨ ߨ ሺߨΤ݊ሻଷ ʹሺߨΤ݊ሻହ ߨ ߨ ݃ݐቀ ቁ ൌ ఓబ గ ڮǢ ൏ ܤൌ ή ݃ݐቀ ቁ. ݊ ͵ ͳͷ ݊ ݊ ʹ ଶగ (24.7) Mostre também que, quando ݊ ՜ λ, este Ver em: SPIEGEL, M. R., Ed. McGraw-Hill do Brasil, 1973, resultado tende para o valor correspondente a p.111 uma espira circular. Resolução: Utilizando o (24.7) em (24.6), teremos: O campo gerado estará sobre a mediana dos lados do polígono. Assim, poderemos utilizar (22.2), ߤ ݅ ߨଷ ʹߨ ହ ܤൌ ή ቆߨ ଶ ڮቇ sendo: ͵݊ ͳͷ݊ସ ʹߨܽ ՜ஶ ߤ ݅ ݕൌ ܽܿߠݏ ܤൌ ʹܽ (24.1) (24.8) Logo, utilizando (22.2), teremos: Questão 25 ߤ ݅ ʹߠ݊݁ݏ ܤ ൌ ή Ͷߨ ܽܿߠݏ (24.2) Numa espira retangular de lados a e b circula uma corrente i. Determine B sobre os pontos do eixo de simetria ortogonal à espira. Dê a resposta Óbvio será que o ângulo central, para cada lado, em função da distância x ao centro da espira. Resolução: vale ʹߠ. Logo, teremos: Vamos utilizar (22.4) para solucionar essa ߨ ͵Ͳι questão. No entanto, previamente, devemos ֜ߠൌ ʹߠ ൌ observar a configuração desse problema. A figura ݊ ݊ (24.3) 25.1 mostra a disposição da espira e o ponto sobre o eixo de simetria onde será determinado B. 16 www.profafguimaraes.net Utilizando x = 0 em (25.5), teremos: ሬԦ ܤ ߠ y Ȉ ͳ ͳ ൨ ଶ ܾଶ ߨඥͶሺܽଶ ܾଶ ሻ ܽ ʹߤ ݅ ܽଶ ܾ ଶ ܤ ோ ൌ ቆ ቇ ܾܽ ߨξܽଶ ܾଶ (25.6) ܤோ ൌ x ߠ ܽΤ ܽΤʹ a i b ή Ou ainda: Figura 25.1 Assim, utilizando (22.4) para o lado b, teremos: ܤ ൌ Ͷߤ ܾ݅ܽ ߤ ݅ ʹܾ ܽଶ ή Ǣ ݕൌ ඨ ݔଶ Ͷߨ ݕඥܾଶ Ͷ ݕଶ Ͷ ܤோ ൌ ʹߤ ݅ ή ඥܽଶ ܾ ଶ ߨܾܽ (25.7) Questão 26 (25.1) Uma espira circular possui raio a. Outra espira No entanto, a contribuição efetiva para o campo circular de raio b, sendo b maior do que a. Em no ponto em questão, será a componente na cada espira passa a mesma corrente i no mesmo direção vertical. Pois as componentes na direção sentido de giro. As duas espiras estão situadas em horizontal se anularão mutuamente. Logo: planos paralelos e a distância entre os centros das espiras é igual a ݔ . Determine o módulo da ߤ ݅ ʹܾ ܽ indução magnética no eixo de simetria comum das ܤ௩ ൌ ή ή ܿߠݏǢ ܿ ߠݏൌ espiras para os pontos situados: (a) entre os Ͷߨ ݕඥܾଶ Ͷ ݕଶ ʹݕ planos das espiras ሺ ݔ൏ ݔ ሻ, (b) fora dos planos (25.2) das espiras ሺ ݔ ݔ ሻ. Resolução: Ou seja, a) A figura 26.1 mostra a configuração da questão: ߤ ݅ ܽήܾ ή ܤ௩ ൌ ʹߨ ܽଶ ܽଶ ܾ ଶ Ͷ ൬ ݔଶ Ͷ ൰ ට ݔଶ Ͷ Ͷ (25.3) P a De forma semelhante, temos para o lado a: ܤ௩ ൌ ߤ ݅ ή ʹߨ ܽήܾ ܾଶ ܽଶ Assim, o campo resultante será: ܤ ோ ൌ Ͷߤ ܾ݅ܽ ߨඥͳ ݔଶ Ͷሺܽ ଶ ܾଶ ሻ ή (25.5) ݔ ܾଶ Ͷ ൬ ݔଶ Ͷ ൰ ට ݔଶ Ͷ Ͷ (25.4) ܤோ ൌ ʹሺܤ௩ ܤ௩ ሻ b ݔ Figura 26.1 O campo gerado por um corrente em uma espira é dado por (18.1). Como as duas correntes estão girando no mesmo sentido, teremos então no ponto P: ͳ ͳ ൨ Ͷ ݔଶ ܽଶ Ͷ ݔଶ ܾଶ ߤ ݅ ܾଶ ܽଶ ൩ ܤோ ൌ ʹ ሺܽଶ ݔଶ ሻయమ ሺܾଶ ሺݔ െ ݔሻଶ ሻయమ (26.1) 17 www.profafguimaraes.net b) Para um ponto fora dos planos das espiras teremos: ܤோா ߤ ݅ ܾଶ ܽଶ ൩ ൌ ʹ ሺܽଶ ݔଶ ሻయమ ሺܾଶ ሺݔ ݔሻଶ ሻయమ (26.2) Se o ponto estiver à esquerda da espira de raio a. ܤோ ߤ ݅ ܾଶ ܽଶ ൩ ൌ ʹ ሺܽଶ ݔଶ ሻయమ ሺܾଶ ሺ ݔെ ݔሻଶ ሻయమ (26.3) Se o ponto estiver à direita da espira de raio b. Questão 27 Bobinas de Helmholtz. Tome como referência a figura 27.1. As bobinas de Helmholtz são usadas no laboratório para se obter um campo magnético constante nas vizinhanças do centro da distância entre as bobinas. Determine o módulo B no ponto P. As duas bobinas possuem o mesmo número N de espiras. Dois longos fios retilíneos condutores com massa específica linear ߣ estão suspensos por meio de cordas de modo que eles ficam dispostos paralelamente sobre um plano horizontal e a distância entre eles é igual a d. As extremidades da direita dos fios são conectadas entre si por meio de um fio frouxo de rsistância desprezível. Um capacitor carregado (capacitância C) é ligado ao sistema; a placa positiva do capacitor (carga inicial +Q) está conectada com a extremidade da esquerda de um dos fios e a placa negativa do capacitor (carga inicial –Q) está conectada com a extremidade da esquerda do outro fio (figura 28.1). Ambas as conexões são feitas mediante dois frouxos com resistência desprezível. Quando a conexão é estabelecida, os fios são repelidos lateralmente pela ação das forças magnéticas repulsivas das correntes de sentidos contrários, e cada fio adquire uma velocidade inicial ݒ . Suponha que o tempo de descarga do capacitor seja desprezível em relação ao tempo do deslocamento dos fios. A) Mostre que a velocidade inicial dos fios é dada por: ఓ ொమ బ బ , ݒ ൌ ସగఒோௗ x x P onde R é a resistência total do circuito. B) Determine ݒ numericamente sendo que o capacitor foi inicialmente carregado mediante a conexão a fuma fonte de 3,00 kV e considerando ߣ ൌ ͶǡͷͲ ή ͳͲିଷ ݇݃ ή ݉ିଵ , d = 3,00 cm, ܥൌ ʹǡͷͲߤܨ e ܴ ൌ ͲǡͲͶͺͲȳ. C) Que altura h cada fio atingirá depois que a conexão for estabelecida? R Ȉ Questão 28 R Ȉ Figura 27.1 Resolução: Poderemos utilizar (26.1), em que: ܽ ൌ ܾ ൌ ܴǡ ݔ ൌ ܴ ݔൌ ܴ Τʹ. Assim, teremos: ܤ ൌ ߤ ܰ݅ య మ d ܴቀͷൗͶቁ ͺߤ ܰ݅ ܤ ൌ య ܴ ή ͷమ (27.1) + C Figura 28.1 Resolução: 18 www.profafguimaraes.net ݒ ؆ Ͳǡ͵Ͷ݉ ή ି ݏଵ A) Sabemos que a força entre os fios será de repulsão, pois as correntes, em cada fio, possuem (28.7) sentidos contrários. E a força de repulsão é dada por: C) Utilizando a conservação da energia mecânica (desprezando os efeitos das forças dissipativas), ߤ ݅ ଶ teremos: ܨൌ ή݈ ʹߨ݀ ݒଶ (28.1) ݄ ൌ ʹ݃ Em que l é o comprimento dos condutores. ݄ ؆ ǡͳ݉݉ Durante a descarga do capacitor (veja Física 3-07 (28.8) – Questão 22), a corrente terá intensidade dada por: Em que ݃ ൌ ͻǡͺ݉ ή ି ݏଶ. ݅ൌ ܳ ି ή ݁ ೃ ܴܥ (28.2) Questão 29 Um fio contido no plano yz forma uma semicircunferência de raio a com centro de curvatura na origem (figura 29.1). Sendo I a corrente que circula no fio, calcule os componentes do campo magnético produzido no ponto P situado sobre o eixo Ox e a uma distância x para fora do centro. Utilizando (28.1) e (28.2), teremos: ݀ݒ ݀ݐ మ ߤ ܳଶ ݉ ݀ݒ ൌ ή ଶ ଶ ή ݁ ିೃ ή ݈ ݀ܥ ܴ ݀ߨʹ ݐ (28.3) ܨൌ݉ή y I Resolvendo a equação diferencial (28.3), teremos: a ௧ షమ ߤ ܳଶ න ݁ ೃ ݀ݐ ߣ ή ݒ ൌ ଶ ʹߨ݀ ሺܴ ܥሻ షమ ߤ ܳଶ ݒ ൌ ቀͳ െ ݁ ೃ ቁ Ͷߨܴ݀ߣܥ (28.4) I x x z I Figura 29.1 Resolução: Levando em consideração que o capacitor O trecho do circuito com z > a, não contribui descarrega muito rápido ሺ ݐ՜ λሻ, teremos de com campo magnético, pois os dois condutores (28.4): são paralelos e bem próximos com correntes em sentidos opostos. Então só a semicircunferência e ߤ ܳଶ a parte retilínea de comprimento 2a contribuem ݒ ൌ para o campo magnético. Ͷߨܴ݀ߣܥ (28.5) Para a parte retilínea teremos: B) Utilizando os dados numéricos: ߤ ݅ ʹܽ ܤோ ൌ ή ܳ ൌ ܥή ܸ ൌ ǡͷ ή ͳͲିଷ ܥ ଶ Ͷߨ ݔξܽ ݔଶ (28.6) (29.1) E Agora para a parte semicircular devemos levar em consideração a contribuição que ocorrerá também 19 www.profafguimaraes.net na direção de Oy. A figura 29.2 mostra a Assim, utilizando (29.2), (29.6), (29.7) em (29.5), teremos: configuração da parte semicircular. ߙ dl ݀ߠ ߤ ݅ ܽݔగ න ߠ݀ߠ݊݁ݏ Ͷߨ ݎଷ ߤ ݅ܽݔ ܤ ௬ ൌ య ʹߨሺܽଶ ݔଶ ሻమ (29.8) ݀ܤ௬ ൌ a r ߠ ࢊ࢞ x ࢊ࢟ Figura 29.2 ߠ ࢊୄ Assim, utilizando (29.1), (29.4) e (29.8), teremos para o campo resultante: ሬሬԦ ࢊ Pela Lei de Biot-Savart, o elemento de campo dado pela corrente será: ߤ ݈݅݀ Ͷߨ ݎଶ (29.2) ݀ ܤൌ Para a direção de Ox, temos: ݀ܤ௫ ൌ ߤ ݈݅݀ ή ܿߙݏ Ͷߨ ݎଶ (29.3) Em que ܿ ߙݏൌ ݎൌ ξܽଶ ݔଶ . Integrando (29.3), teremos: ܤ௫ ൌ ߤ ݅ܽଶ య Ͷ ሺܽ ଶ ݔଶ ሻమ (29.4) Agora, para Oy, teremos: ݀ܤ௬ ൌ ݀ܤୄ ߠ݊݁ݏ (29.5) E ݀ܤୄ ൌ ݀ߙ݊݁ݏܤ (29.6) ௫ Em que ߙ݊݁ݏൌ . Devemos observar também que: ݈݀ ൌ ܽ݀ߠ (29.7) 20 www.profafguimaraes.net ሬԦ ൌ െܤ௫ ݅ ൫ܤோ െ ܤ௬ ൯݆ ܤ (29.9)
