Primeira Prova de Lógica e Especificaç˜ao Prof. Edward

Primeira Prova de Lógica e Especificação
Prof. Edward Hermann Haeusler
1. Considere o conectivo ternário proposicional #
∨ e ¬.
a
V
V
V
V
F
F
F
F
com a definição abaixo. Expresse-o somente com os conectivos
b
V
V
F
F
V
V
F
F
c
V
F
V
F
V
F
V
F
#(a,b,c)
V
V
F
F
V
F
V
F
2. Considere o seguinte conjunto Γ de fórmulas {∃xP (x), ¬P (a1 ), ¬P (a2 ), ¬P (a3 ), . . . , ¬P (ai ) . . .}. Exiba uma
estrutura onde Γ é insatisfatı́vel e uma (outra) estrutura onde Γ é satisfatı́vel. Você deve indicar qual o domı́nio
da estrutura e a interpretação do sı́mbolo predicativo P . Lembre-se que um conjunto de fórmulas é satisfatı́vel
se e somente se existe uma interpretação em uma estrutura de primeira ordem que faz ”verdadeiras”todas as
fórmulas do conjunto. Por outro lado, insatisfatı́vel é NÃO-satisfatı́vel.
3. Um crime é cometido por uma pessao e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados eles
fazem as seguintes declarações:
• André: Eduardo é o culpado.
• Eduardo: João é o culpado.
• Rafael: Eu não sou o culpado.
• João: Eduardo mente quando diz que eu sou o culpado.
Sabendo que somente um dos quatro diz a verdade, exiba uma prova em Dedução Natural que demonstre quem
é o culpado. Obs: Represente em lógica proposicional as sentenças acima.
4. Considere o sistema de Dedução Natural Clássico.
(a) Você já percebeu que pode-se definir o ∀ em função do ∃ tomando ∀xα(x) como uma abreviação de
¬∃x¬α(x). Mostre como obter as regras do ∀ a partir das regras do ∃. Por exemplo, a regra de implica introdução deve considerar uma prova de α(a), com a não ocorrendo em qualquer hipótese, e a partir
de tal prova obter uma prova de ¬∃x¬α(x) ( cuja abreviação é ∀xα(x)).
(b) Considere a definição do ∃ em função do ∀ ( o dual do que foi considerado acima) e mostre como obter as
regras do ∃ no sistema de Dedução Natural sem estas. Este ı́tem é exatamente o dual do ı́tem acima.
(c) Sabe-se que toda a lógica de primeira ordem pode ser implementada com somente as constantes lógicas ∀,
⊥ e →. Do ponto de vista dedutivo basta considerer, por exemplo, Dedução Natural com as regras das
constantes acima acrescida da regra do absurdo clássico. Explique como simular cada uma das regras em
função das regras para o sistema restrito de constantes lógicas {⊥, ∀, →}. Observe que o ∃ já foi simulado
no ı́tem acima.
5. Para cada um dos problemas abaixo, pede-se a formalização em lógica e sua solução usando Dedução Natural.
(a) O inspetor Tuma está encarregado da investigação de um roubo de quadros em uma galeria de arte. Os
seus assistentes são: Raul e Geraldo, que o auxiliam na investigação e que prenderam quatro pessoas: Júlia,
Diego, Miguel e Francisco. Após interrogar os suspeitos os dois assistentes fornecem a seguinte informação
ao inspetor Tuma: – Raul: ”Júlia é inocente, mas estou seguro de que pelo menos um dos outros é culpado-Geraldo: ”se Diego é o culpado, há somente um cúmplice entre os outros-- Raul: ”se Miguel é o culpado, há
dois cúmplices entre os outros.”O inspetor exclama: ”Se considero que o que vocês falam é verdade, então
posso afirmar a culpabilidade de uma das quatro pessoas ”.Como o inspetor Tuma conseguiu chegar a esta
conclusão ?
(b) Existem duas caixas, ”A”e ”B”. Um aviso na caixa A diz ”O aviso na caixa B é verdadeiro e o ouro está
na caixa A”. Um aviso na caixa B diz ”O aviso na caixa A é falso e o ouro está na caixa A”. Assumindo
que existe ouro em uma das caixas, qual delas contém o ouro?
(c) Após anos procurando por um tesouro, Luis Inácio encontra-se frente a quatro portas diferentes fechadas e
à seguinte inscrição no chão de pedra O tesouro encontra-se atrás de uma destas portas. Atrás das outras
encontra-se um monstro, mas... em cada porta há duas afirmações. Das oito afirmações somente três são
verdadeiras e as outras cinco são falsas. As afirmações são as seguintes
Sobre a porta dourada:
O tesouro está atrás desta porta
O tesouro está atrás da porta preta
Sobre a porta preta:
O tesouro está atrás da porta marron
O tesouro está atrás da porta dourada ou da porta branca
Sobre a porta branca:
O tesouro n~
ao está atrás da porta dourada nem atrás da porta marron
O tesouro está atrás da porta preta ou da porta dourada
Sobre a porta marron:
O tesouro n~
ao está atrás da porta branca
O tesouro está atrás da porta preta
A decisão é de vida ou morte. Qual porta abrir?
6. Uma forma de definir um conceito ou relação, dada uma estrutura para uma linguagem de primeira ordem,
é escrever uma fórmula com uma variável livre (conceito) ou duas variáveis livres (relação). Por exemplo, na
estrutura < N at, ≺>, onde N at é o conjunto dos naturais e ≺ a relação de ”estritamente menor que”, pode-se
definir o número zero pela fórmula ¬∃x ≺ (x, z), visto que esta fórmula só é satisfeita quando z é associado a
0 ∈ N at. Pede-se para esta estrutura:
• Encontre uma fórmula com duas variáveis livres (x e y) que signifique ”x tem por sucessor imediato y”.
• Encontre fórmulas que com uma variável livre (z) que só sejam verdade para cada um dos números naturais
(uma fórmula para cada número).
• Existe uma fórmula (com somente uma variável livre) que só seja verdadeira para números pares ?? Se sim
exiba a fórmula se não tente justificar porque.
• Considere a seguinte estrutura, que intuitivamente inclui a acima: < Int, ≺, + > , onde Int é o conjunto
dos números inteiros (positivos, negativos e o zero), ≺ é como na estrutura anterior e + é o função de soma
de inteiros, que está associada ao funcional + de mesmo nome. Encontre uma fórmula com uma variável
livre que só seja verdade para os números positivos.
• Para a estrutura do ı́tem anterior, monte uma fórmula α(x, y) , com somente x e y livres seja verdade
quando x e y tiverem mesmo valor absoluto (valor igual sem importar o sinal).
7. Considere a estrutura para a linguagem de primeira ordem composta por M AE e P AI, ambos sı́mbolos predicativos binários. Escreva sentenças (fórmulas sem variáveis livres) que sejam verdade na estrutura considerada.
Escreva fórmulas que definam os conceitos de Genro, Cunhado, Filho e Neto e prove (em Dedução Natural se
se possı́vel ) que em certas condições (que você deve explicitar na forma lógica) existem dois indivı́duos onde o
primeiro é Neto e Cunhado do segundo.
8. Prove todos os exercı́cios de primeira ordem em Dedução Natural que foram enunciados ou feitos em sala. Note
que eles são casos de distribuição de quantificadores por conjunções, disjunções e implicações, outros dizem
respeito a permutação de quantificadores e até mesmo renomeação de variáveis ligadas. Para as direções que
não são válidas (por exemplo, o existencial não distribui sobre a conjunção) use Tableaux para ”automaticamente”encontrar um modelo que falsifique a fórmula em questão.
9. Tenha certeza da distinção entre variáveis livres e ligadas em uma fórmula. Lembre-se que estes conceitos são
relacionados à ocorrência de variável. Assim em uma fórmula, pode-se ter a mesma variável com uma ocorrência
ligada e outra livre. Exiba uma fórmula assim e depois exiba uma fórmula equilavente (provando a equivalência
via Dedução Natural) onde não haja variável com ocorrência livre e (outra) ligada.
BOA LISTA