(X, T ) um espaço topológico, S ⊆ X ex ∈ X . Mostre que x ∈ S

Topologia 05/06
Curso de Matemática
18. Sejam (X, T ) um espaço topológico, S ⊆ X e x ∈ X. Mostre que
x ∈ S ⇔ ∀V ∈ V(x), V ∩ S 6= ∅.
19. Sejam (X, T ) um espaço topológico e S ⊆ X. Mostre que:
a) S é aberto se e só se f r(S) ⊆ S C ;
b) S é fechado se e só se f r(S) ⊆ S;
c) S é aberto e fechado se e só se f r(S) = ∅.
20. Sejam (X, T ) um espaço topológico e A, B ⊆ X. Mostre que:
a) A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B);
b) A ⊆ B ⇒ A ⊆ B;
c) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B);
d) A ∩ B ⊆ A ∩ B;
e) int(A) ∪ int(B) ⊆ int(A ∪ B);
f) A ∪ B = A ∪ B.
21. Considere o espaço topológico (X, T4 ) do exercı́cio 1. Determine:
a) para o subconjunto S = {a, d, e} de X,
i) int(S);
ii) ext(S);
iii) f r(S);
iv) S;
v) S 0 ;
vi) os pontos isolados de S;
b) se possı́vel, um subconjunto Y de X tal que:
i) e ∈ int(Y );
ii) Y ∈ V(d);
iii) ext(Y ) = {a};
iv) f r(Y ) = ∅;
v) Y = {b, d};
vi) c ∈ Y 0 .
Folha 3