Determinantes

Determinantes
2 4 18 1. Verifique, sem calcular o determinante, que 3 9 3 é múltiplo de 6.
4 6 2 1 x1 x2 2. Verifique a seguinte igualdade: 1 y1 x2 = (y1 − x1 )(y2 − x2 ).
1 y1 y2 3. Resolva as seguintes equações na variável x:
x 0 0 (a) 0 −1 1 = 0.
(x = 0 ∨ x = −1)
1 1 x 1 2 4 (x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = −2)
(b) x x2 x3 = 3x2 − 6x.
0 x4 3 x 1 1 1 1 x 1 1 = 0.
(c) (x = 1 ∨ x = −3)
1
1
x
1
1 1 1 x 4. Considere a matriz real A, quadrada, de ordem 3, cujos elementos são todos
iguais a 1.
(a) Mostre que se tem |A + λI3 | = λ2 (λ + 3) e indique para que valores
de λ a matriz A + λI3 é invertı́vel.
(b) Determine o elemento c22 de (A − I3 )−1 .
(c) Determine o coeficiente u1 da solução do sistema de equações lineares
T
AU − U = B, onde B = 1 1 1 .
5. Determine a inversa de


2 3 −4
A =  0 −4 2  .
1 −1 5
1
6. Determine a
0
0
0
0
0
c
0
0
b
0
0
0
0
0
d
(−abcd)
7. Utilizando a regra de Cramer, resolva os sistemas:

 x+y−z =1
x − y + z = 2 (3/2, −3/8, 1/8)
(a)

2x + y + 3z = 3

 x + 2y − 3z = 8
3x + 2y + z = 0 (0, 1, −2)
(b)

2x + 4y − 5z = 14

 3x + 2y − 12z = 0
x−y+z =0
(c)
imp

2x − 3y + 5z = 1


3 −1 2
8. Considere a matriz real  2 1 1 .
λ −1 2
(a) A partir do determinante da matriz, determine o valor de λ para o qual
a matriz A é singular.
(b) Para λ = 2 calcule A−1 .
(c) Usando A−1 calculada
  na alı́nea anterior,
0

Bsendo B = 0 .
1

1
 0
9. Para cada k ∈ R, considere a matriz Bk = 
 1
0
resolva a equação AX =
k
1
k
0

k 2
3 1 
 ∈ M4 (R).
1 2k 
k 0
(a) Determine os valores de k para os quais Det(Bk ) = −4.
−1
.
(b) Faça k = −1. Determine o elemento c23 da matriz B−1
2


0 1 2
10. Considere a matriz B =  1 0 a 
b −3 8
(a) Utilizando a teoria dos determinantes determine a e b de modo que B
seja invertı́vel. Justifique.
(ab 6= 14)
(b) Faça a = 3 e b = 4. Determine a 2a coluna da matriz B −1 sem calcular
as outras colunas.
(7, 4, −2)


3 1−y 0 1
 1
1
1 0 
.
11. Considere a matriz A = 
 y
2
y 1 
0
1
2 0
(a) Utilizando a teoria dos determinantes, justifique que a matriz A é invertı́vel.
(b) Faça y = 0 e determine o elemento c23 da matriz inversa de A.
12. Considere a matriz
( 25 )


λ −7 −2
1 
A =  −λ 5
6 −4 0
(a) A partir do valor do determinante da matriz A, determine o valor de λ
para o qual a matriz é singular.
(b) Faça λ = 3. Determine a 2a coluna de A−1 .
13. Prove que se A é uma matriz ortogonal, isto é, uma matriz quadrada tal que
AT A = AAT = I, então det(A) = +1 ou det(A) = −1




a b c
a
b
c
14. Sabendo que det  2 1 0  = 1, calcule det  2a + 2 2b + 1 2c .
1 2 1
a+1 b+2 c+1
15. Decomponha o seguinte determinante num produto de factores lineares (aplicar
apenas as propriedades dos determinantes):


a + 1 −2a 3a2
det  b + 1 −2b 3b2  .
c + 1 −2c 3c2
3
16. A partir do determinante dado e sem o calcular, escreva um determinante de
4a ordem com valor simétrico do dado e apenas com elementos positivos:


2 3 1
det  1 2 4  .
4 1 2
17. Relacione os determinantes das matrizes A e B, indicando as propriedades
dos determinantes que lhe permitiram estabelecer a relação por si apresentada. (Não calcule os determinantes!)




2 3 1
1 2 1
(a) A =  0 0 0 , B =  1 3 1 .
4 5 7
1 4 1


2 3 7
(b) A =  4 9 8 , B = −3A.
1 6 5




a2 b 2 c 2
a1 a2 a3
(c) A =  b1 b2 b3 , B =  a1 b1 c1 .
a3 b 3 c 3
c1 c2 c3


1 0 0 ··· 0
 1 2 0 ··· 0 




(d) A =  1 2 3 · · · 0 , B = diag(1, 2, 3, . . . , n, n + 1).
 .. .. .. . . .. 
 . . .
. . 
1 2 3 ··· n




1 2 3
ax bx cx
(e) A =  a b c , B =  1 2 3 .
5 7 9
5 7 9
2 a
2 a + 2k
(f) A =
,B =
.
3 b
3 b + 3k




1 2 a
a+3 a+3 a+3
1
2 .
(g) A =  a 1 2 , A =  a
2 a 1
2
a
1
4