Problemas CL Turbulenta

Mecânica dos Fluidos II
Camada limite turbulenta
Prof. António Sarmento
Tel. 21 8417405
Email: [email protected]
Problema FF 8.12
O perfil de velocidades numa camada limite turbulenta sobre uma placa plana sujeita a um
escoamento estacionário de velocidade uniforme U paralela à placa numa região nãoperturbada, pode ser aproximado pela lei de perfil 1/7,
1/ 7
u  y
 
U  

 u u
a) Calcule o valor do parâmetro do perfil de velocidades a   1   dy
U U
0
(R: a=7/72)
b) Admitindo que a tensão de corte na parede é dada pela lei empírica
  

 U 
14
 0  0,0227 U 2 
determine a evolução da espessura da camada limite  com a distância x ao bordo de
ataque da placa. Admita que a camada limite passa a turbulenta na secção x=x0 e que a
espessura da camada limite nessa secção é 0. A resposta vem em função de x0, 0,  e
U.
14 45
 54
  
(R:    0  0,292x  x0   
 U  

NOTAS
 Não pode usar o perfil de velocidades 1/7 no cálculo da tensão de corte na parede,
pois dá infinito. Tal significa que na região da sub-camada laminar o perfil de
velocidades não é bem aproximado por aquela expressão.
 O parâmetro a relaciona a espessura de quantidade de movimento com a da camada
limite: m = a.
METODOLOGIA

Para resolver a alínea b) utilize a equação de von Kármán


d
dU
U 2 m  U d
dx
dx
notando que neste escoamento a pressão exterior é constante (pelo que U também o
é) e que m = a.
0 
Fluid Flow 8.13
Utilizando o perfil de velocidades 1/7, calcule a espessura da camada limite no fim da placa e
a força de resistência que actua num dos lados de numa placa de 6 m de comprimento e 3 m
de largura imersa num escoamento de água (=1000 kg/m3, =1,1310-3 Pa.s) com uma
velocidade de 6 m/s. Admita que a camada limite é turbulenta desde o início da placa. Parecelhe razoável essa hipótese? Qual seria a resistência se a camada limite se mantivesse laminar
em toda a placa? Qual seria a rugosidade máxima na extremidade da placa para que esta
pudesse ser considerada hidraulicamente lisa?
(R: DT=737 N, =0,0692 m; DL=71,7 N; =31 m)
NOTAS
 A camada limite começa por ser laminar devido à grande intensidade das forças
viscosas junto ao bordo de ataque. À medida que nos afastamos do bordo de ataque
as tensões viscosas vão diminuindo e, se a placa for suficientemente longa, dá-se a
transição para turbulento. Essa transição, que ocorre na secção crítica (x=xc),
verifica-se para números de Reynolds baseados na distância ao bordo de ataque
(Rex=Ux/) na casa dos 5105 no caso de placas lisas.
 O crescimento da camada limite turbulenta é mais rápido que a da camada limite
laminar devido à maior capacidade de mistura das primeiras por acção dos vórtices
turbulentos. No entanto, se a secção que nos interessa estiver muito afastada da
secção onde se verifica a transição (x>>xc) é razoável admitir que a camada limite é
turbulenta desde o bordo de ataque da placa. Da mesma forma, se a placa for muito
mais comprida que o comprimento onde ocorre camada limite laminar, é razoável
admitir que a camada limite se comporta como turbulenta desde o bordo de ataque
(L>>xc).
 Tal como nos tubos, a camada limite turbulenta sobre uma placa plana é
hidraulicamente lisa se as irregularidades da parede não ultrapassarem a sub-camada
laminar, isto é se u   5 .
METODOLOGIA





Utilize a equação obtida no problema anterior para calcular a espessura da camada
limite.
Note que a resistência resulta da acção integrada da tensão de corte sobre a placa.
Utilize a equação de von Kármán e o resultado m = a (ver metodologia do
problema anterior) para relacionar a força de resistência com a espessura da camada
limite calculada atrás.
Compare o comprimento da placa com a distância da secção crítica ao bordo de
ataque e conclua sobre a razoabilidade da aproximação sugerida (ver nota acima).
Utilize o resultado da solução de Blasius relativo ao CD para calcular a resistência se
a camada limite fosse laminar.
Use a informação apresentada na última nota deste problema para responder à última
questão colocada.
Fluid Flow 8.16
Considere uma camada limite turbulenta sobre uma placa plana resultante de um escoamento
estacionário, uniforme e paralelo à placa na região não perturbada (velocidade e pressão
uniformes e constantes na região exterior à camada limite). A placa é muito rugosa, sendo a
dimensão característica da rugosidade, e, muito superior à espessura da sub-camada laminar
que existiria se a placa fosse lisa.
Admita que o perfil de velocidades dentro da camada limite turbulenta segue uma lei 1/7
baseada na rugosidade característica e, tal que,
17
u
 y
 K  ,
u
e
em que K é uma constante, y a distância à parede, u a velocidade média temporal em cada
ponto e u a velocidade de atrito u   0  , em que 0 é a tensão de corte na parede e  a
massa volúmica do fluido.


Utilizando uma teoria aproximada para a camada limite estime a espessura da camada limite,
, em função de x, a distância ao bordo de ataque da placa. Admita que =0 em x=0. O
resultado é expresso em termos de e, de K e do parâmetro do perfil a (igual a 0,0972).

7
 13,2 x  9
(R:
 2  )
e  K e
METODOLOGIA
 A teoria aproximada a que o enunciado se refere é a equação de von Kármán que
deve simplificar para as condições indicadas (U constante).
 Utilize a lei de velocidades indicada para exprimir a velocidade de atrito u, e
portanto 0, com a velocidade exterior e a espessura da camada limite.
 Substitua a expressão encontrada para 0 na equação simplificada de von Kárman e
integre em .