resolução da prova de matemática do vestibular 2014

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014-2
INSPER.
ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA
POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Utilize as informações a seguir para as questões 1 e 2.
Uma estação de trens é constituída por dois galpões cujas fachadas têm a forma de dois
semicírculos que se tangenciam, conforme a figura a seguir.
Os raios dos semicírculos das fachadas dos terminais 1 e 2 medem, respectivamente, 30m e
20m. Uma empresa está fazendo um estudo para instalar um sistema de ar condicionado nos
galpões.
1.
Para dimensionar o sistema de renovação do ar, uma das informações necessárias é o volume
total dos galpões, que têm a forma de semicilindros. Se a distancia entre as fachadas e os
fundos é 100 metros, esse volume é aproximadamente igual a
3
3
3
(a) 50.000m
(c) 150.000m
(e) 250.000m
3
3
(b) 100.000m
(d) 200.000m
RESOLUÇÃO:
O volume dos dois galpões é igual à semissoma dos volumes dos dois cilindros:
1
900 100  400 100  1  1300 100  1 1300  314  204.100  200.000 .
2
2
2
RESPOSTA: Alternativa d.
2.
Para diminuir o impacto da insolação, pretende-se instalar um telhado tangenciando os dois
terminais conforme indicado pela linha tracejada na figura. A medida do telhado,
correspondente ao comprimento dessa linha tracejada, é igual a
(a) 60 3 m
(b) 60 2 m
(c) 30 2 m
(d) 20 3 m
(e) 20 6 m
RESOLUÇÃO:
O segmento AB, tangente aos círculos é
perpendicular aos raios AE e BD.
Pelo ponto D traça-se uma paralela ao segmento
AB. O triângulo CDE é retângulo e seus lados
medem d, 10 e 50 centímetros.
Então, d 2  2500  100  d  2400  d  20 6 .
RESPOSTA: Alternativa e.
1
Utilize as informações a seguir para as questões 3 e 4.
Os analistas responsáveis pelas estratégias comerciais de uma grande rede de lojas
propuseram a seguinte regra para conceder descontos aos clientes:
0,90v, se v  100

p(v)  0,80v, se 100  v  200 ,
0,70v, se v  200

em que v é a soma dos valores marcados nos produtos que o cliente comprar e p(v) é o
pagamento que o cliente deverá fazer no caixa, com desconto sobre essa soma.
3.
Dois clientes passaram pelo caixa e pagaram R$90,00, mas os valores totais das compras
deles antes de ser aplicado o desconto eram diferentes. A diferença entre esses valores totais
é de
(a) R$12,50.
(b) R$15,00.
(c) R$17,50.
(d) R$20,00.
(e) R$22,50.
RESOLUÇÃO:
Considerando que
0,70v = 90  v  128,57  v < 200; (não satisfaz)
0,80v = 90  v = 112,50 ( o valor de v está contido no intervalo: ]100, 200] )
0,90v = 90  v = 100 ( o valor de v está contido no intervalo: ]0, 100] ).
Logo um cliente comprou R$ 112, 50 e o outro comprou R$ 100,00.
A diferença entre esses valores totais é de R$12,50.
RESPOSTA: Alternativa a.
4.
O departamento de marketing precisa criar uma tabela para comunicar as condições dos
descontos para os clientes. Das opções abaixo, aquela que explica corretamente a regra
proposta pelos analistas é
(a)
Se o valor da sua compra é...
menor do que R$100,00
menor do que R$200,00 e maior ou igual a R$100,00
maior ou igual a R$200,00
...seu desconto é de...
90%
80%
70%
(b)
Se o valor da sua compra é...
menor ou igual a R$100,00
menor ou igual a R$200,00 e maior do que R$100,00
maior do que R$200,00
...seu desconto é de...
90%
80%
70%
(c)
Se o valor da sua compra é...
menor do que R$100,00
menor do que R$200,00 e maior ou igual a R$100,00
maior ou igual a R$200,00
...seu desconto é de...
10%
20%
30%
(d)
Se o valor da sua compra é...
menor ou igual R$100,00
menor ou igual a R$200,00 e maior do que R$100,00
maior do que R$200,00
...seu desconto é de...
10%
20%
30%
(e)
Se o valor da sua compra é...
menor ou igual R$100,00
menor ou igual a R$200,00 e maior do que R$100,00
maior do que R$200,00
...seu desconto é de...
30%
20%
10%
2
RESOLUÇÃO:
0,90v, se v  100  DESCONTO : 0,10v

p(v)  0,80v, se 100  v  200  DESCONTO : 0,20v
0,70v, se v  200  DESCONTO : 0,30v

RESPOSTA: Alternativa d.
5.
O grêmio de uma faculdade convidou os alunos do primeiro semestre para uma atividade de
integração.
Eles contaram os calouros presentes e tentaram agrupá-los de forma que todos os grupos
tivessem a mesma quantidade de pessoas, mas não havia maneira de fazê-lo, pois não
queriam apenas uma pessoa por grupo e nem um único grande grupo. Pode-se concluir que a
quantidade de calouros era necessariamente um número
(a) par.
(c) primo.
(e) maior do que 50.
(b) quadrado perfeito.
(d) menor do que 300.
RESOLUÇÃO:
Conhecendo o número n de calouros, ao se tentar agrupá-los de maneira que os grupos
formados tivessem a mesma quantidade de pessoas, verificou-se ser impossível fazê-lo. Como
existe a informação de que a quantidade de pessoas tinha que ser diferente de 1 e de n, isso
implica que os únicos divisores de n são ele próprio e 1, logo, n é um número primo.
Alternativa c.
6.
O gráfico a seguir mostra os resultados de uma pesquisa sobre o governo brasileiro.
(Fonte: http://g1.globo.com/politica/noticia/2013/08/avaliacao-de-dilma-sobe-de-31-para-38-diz-ibope.html)
A maior variação positiva, em pontos percentuais, entre dois meses consecutivos ocorreu
(a) na opção “regular” entre os meses de março e junho.
(b) na opção “ruim/péssimo” entre os meses de junho e julho.
(c) na opção “´ótimo/bom” entre os meses de junho e julho.
(d) na opção “regular” entre os meses de julho e agosto.
(e) na opção “ruim/péssimo” entre os meses de julho e agosto.
3
RESOLUÇÃO:
a. Na opção “regular” entre os meses de março e junho, a variação foi de
(13 – 7)% = 6%.
b. Na opção “ruim/péssimo” entre os meses de junho e julho, a variação foi de
(31 – 13)% = 18%.
c. Na opção “´ótimo/bom” entre os meses de junho e julho, a variação foi negativa de (31
– 55)% = –24%.
d. Na opção “regular” entre os meses de julho e agosto, a variação foi de
(37 – 37)% = 0%.
e. Na opção “ruim/péssimo” entre os meses de julho e agosto, a variação foi negativa de
(24 – 31)% = –7%.
RESPOSTA: Alternativa b.
Utilize as informações a seguir para as questões 7 e 8.
O gráfico a seguir representa a quantidade diária de pessoas (q) atendidas em um hospital
público com os sintomas de um novo tipo de gripe, a gripe X, em função do tempo (t), em
meses, desde que se iniciou um programa de vacinação para este tipo de gripe na cidade do
hospital.
7.
A prefeitura da cidade fará uma campanha publicitária com frases que pretendem ressaltar os
aspectos positivos da vacinação. Das opções abaixo, aquela que informa corretamente o que o
gráfico mostra é
(a) “Em um ano de vacinação, a quantidade diária de atendimentos a pessoas com a gripe X
caiu de 1.000 para 10!”
(b) “A cada três meses, a quantidade de pessoas que chega todos os dias ao hospital com a
gripe X cai pela metade!”
(c) “O número de atendimentos diários no hospital a pessoas com a gripe X diminui em 400 a
cada 4 meses!”
(d) “A cada mês, chegam ao hospital 100 pessoas a menos por dia, em relação ao mês
anterior, com os sintomas da gripe X.”
o
o
(e) “Entre o 3 e o 6 mês do programa de vacinação, 250 pessoas foram vacinadas contra a
gripe X diariamente no hospital.”
4
RESOLUÇÃO:
Analisando o gráfico, conclui-se que “A cada três meses, a quantidade de pessoas que chega
todos os dias ao hospital com a gripe X cai pela metade!”
RESPOSTA: Alternativa b.
8.
Das funções a seguir, aquela que melhor representa a relação proposta no gráfico é
(a) q(t) = 1000.2
1
 t
3 .
(d) q(t) = 500. log2 (3t ) .
1 
(e) q(t) = 1000. log2  t  .
3 
(b) q(t) = 500.23t .
1
t
(c) q(t) = 1000.2 3 .
RESOLUÇÃO:
Vimos pela questão anterior que a opção representada pelo gráfico é:
“A cada três meses, a quantidade de pessoas que chega todos os dias ao hospital com a gripe
X cai pela metade!”
Então, q(t) = 1000.2
gráfico.
1
 t
3
é a função exponencial que melhor representa a relação proposta no
RESPOSTA: Alternativa a.
5
9.
Para ilustrar a afirmação “Se beber, não dirija.” um designer criou a seguinte imagem:
Interprete as imagens a seguir, construídas a partir do mesmo raciocínio utilizado pelo
designer :
As afirmações que melhor representam essas imagens são, respectivamente,
(a) “Se dirigir, beba.” e “Se não dirigir, durma.”
(b) “Se não dirigir, beba.” e “Se dirigir, não durma.”
(c) “Se não dirigir, beba.” e “Se não dirigir, durma.”
(d) “Se dirigir, beba.” e “Se dirigir, não durma.”
(e) “Se não dirigir, beba.” e “Se dirigir, durma.”
RESOLUÇÃO:
Estudando a imagem criada pelo designer, chega-se aos significados:
“Se beber”
“Não dirija.”
Logo os significados das imagens abaixo:
“Se não beber”
“Dirija.”
CONCLUSÃO:
O significado das imagens a seguir, construídas a partir do mesmo raciocínio utilizado pelo
designer :
é: “Se não dirigir, beba.” e “Se dirigir, não durma.”
RESPOSTA: Alternativa b.
6
10.
4
2
As quantidades de raízes reais dos polinômios p(x) = x + 10, q(x) = 10x + 1 e
r(x) = p(x) − q(x) são, respectivamente,
(a) 0, 0 e 4.
(b) 4, 0 e 4.
(c) 0, 2 e 2.
(d) 4, 2 e 2.
(e) 4, 2 e 4.
RESOLUÇÃO:
O polinômio p(x) = x + 10 tem como raízes x  4  10  R .
4
2
O polinômio q(x) = 10x + 1 tem como raízes x   
1
 R.
10
O polinômio r(x) = x 4  10  (10 x 2  1)  x 4  10 x 2  9 tem como raízes:
 3
10  100  36
10  64
10  8
x
x
x 
2
2
2
 1
r(x) tem 4 raízes reais.
x
RESPOSTA: Alternativa a.
11.
Uma pizzaria vende pizzas circulares com 32cm de diâmetro, divididas em 8 pedaços iguais. O
dono do estabelecimento pensou em criar uma pizza de tamanho maior, a ser dividida em 12
pedaços iguais, de modo que a área de cada um deles seja igual à área de um pedaço da
pizza menor. Para isso, o diâmetro da pizza de 12 pedaços deve ser aproximadamente igual a
(a) 36cm.
(b) 40cm.
(c) 44cm.
(d) 48cm.
(e) 52cm.
RESOLUÇÃO:
Como a área de cada 1/12 da pizza maior de raio R deve ter a mesma área de 1/8 da pizza
menor de raio 16cm:
  R2
  162
  R2
 32  R 2  384  R  8 6 
12
8
12
R  8  2,45  R  19,6  2 R  39,2


RESPOSTA: Alternativa b.
12.
2
2
2
O número de soluções reais da equação [log2 (x + 1)] – 34log2(x + 1) + 64 = 0
é
(a) 1.
(b) 2.
(c) 3.
(d) 4.
(e) 5.
RESOLUÇÃO:
2
Na equação [log2 (x + 1)]
2
log2(x + 1) = a, tem-se:
a
2
2
– 34a + 64 = 0  a = a 
– 34log2(x + 1) + 64 = 0 com x + 1> 0 para  x  R, fazendo
2
2
34  1156  256
34  30
a 
 a  32 ou a  2
2
2
Para a  32  log 2 (x 2  1)  32  x2  1  232  x   232  1  R
Para a  2  log 2 (x 2  1)  2  x2  1  2 2  x   3  R
RESPOSTA: Alternativa d.
7
13.
As vendas de ingressos para um grande evento esportivo ocorreram durante dois meses. O
gráfico a seguir representa as vendas diárias, em milhares de unidades, durante este período.
Das opções a seguir, aquela que melhor representa o total (acumulado) de ingressos vendidos
até cada dia do período de vendas é
(Obs.: os gráficos das alternativas estão em uma escala diferente do gráfico acima.)
a)
(b)
(c)
(d)
(e)
8
RESOLUÇÃO:
Analisando o gráfico acima percebe-se que até o trigésimo dia a venda diária de ingressos foi
crescente. Daí em diante a venda diária dos ingressos continuou a acontecer, porém de forma
decrescente.
O gráfico que melhor representa esta situação é
RESPOSTA: Alternativa c.
14.
O esquema a seguir representa a hierarquia dos executivos de uma grande empresa. As
ligações de uma pessoa com outra(s) abaixo dela representam relações de subordinação. Por
exemplo, o presidente da empresa, no topo do esquema, tem 4 pessoas subordinadas
diretamente a ele. Dessas 4 pessoas, uma não tem subordinados (à esquerda), e as outras
têm, respectivamente (da esquerda
para a direita), quatro, um e três subordinados.
9
Os valores indicados nos retângulos abaixo de cada pessoa são os salários mensais dessas
pessoas. A política de salários da empresa estabelece que:
• uma pessoa não pode ganhar mais do que a metade da soma dos salários de seus
subordinados, se tiver dois subordinados ou mais;
• uma pessoa que só tem um subordinado não pode ganhar mais do que o dobro desse
subordinado.
De acordo com essas regras, o salário máximo que o presidente pode ter é
(a) R$25.250,00.
(c) R$27.750,00.
(e) R$30.250,00.
(b) R$26.500,00.
(d) R$29.000,00.
RESOLUÇÃO:
OBSERVANDO-SE AS REGRAS:
Os valores indicados nos retângulos abaixo de cada pessoa são os salários mensais dessas
pessoas. A política de salários da empresa estabelece que:
• uma pessoa não pode ganhar mais do que a metade da soma dos salários de seus
subordinados, se tiver dois subordinados ou mais;
• uma pessoa que só tem um subordinado não pode ganhar mais do que o dobro desse
subordinado.
E em seguida colocando nos retângulos vazios, em vermelho, os salários que faltam:
Conclusão: O salário máximo do presidente é R$27.750,00.
RESPOSTA: Alternativa c.
10
15.
Observe o mosaico a seguir.
As peças que foram usadas para construí-los são idênticas e têm a forma a seguir.
A relação entre as medidas a, b e c é
(a) a = 2b e b = c 2 .
(b) a = b 3 e b = c 2 .
(c) a = 3b e b = c.
(d) a = 2b e b = c.
(e) a = b 3 e b = 2c.
RESOLUÇÃO:
Cada “flor” da figura abaixo é formada por seis figuras iguais à figura
ao lado. O círculo inscrito em cada “flor” está dividido em seis arcos
congruentes, e que portanto medem 60°.
A figura acima é formada pelo encaixe das diversas “flores” e nos mostra que b=c=d. (I)
11
O triângulo AED da figura 1, é equilátero por ser isósceles com um ângulo de 60°, então todos
os seus lados têm medida a.
180
 60 .
Na figura 2 tem-se que AB = BC = CD, logo os ângulos AÔB = BÔC = CÔD =
3
Os triângulos AOB, BOC e COD são equiláteros e AD = a = 2b.(II)
De (I) e (II) vem b = c e a = 2b.
RESPOSTA Alternativa d.
Utilize as informações a seguir para as questões 16 e 17.
A tabela a seguir apresenta a distribuição das notas dos alunos de uma disciplina da faculdade
de Administração nas duas provas realizadas por eles.
Nota
4
5
6
7
8
9
Prova 1 (quantidade de alunos)
10
10
25
10
10
10
Prova 2 (quantidade de alunos)
5
5
20
20
20
5
16.
A nota final de cada aluno deve ser calculada considerando peso de 25% para a prova 1 e de
75% para a prova 2. A média das notas finais de todos os alunos é igual a
(a) 6,4.
(b) 6,5.
(c) 6,6.
(d) 6,7.
(e) 6,8.
RESOLUÇÃO:
Média das notas dos alunos na prova 1:
4  10  5  10  6  25  7  10  8  10  9  10 40  50  150  70  80  90 480


 6,4
10  10  25  10  10  10
75
75
Média das notas dos alunos na prova 2:
4  5  5  5  6  20  7  20  8  20  9  5 20  25  120  140  160  45 510


 6,8
5  5  20  20  20  5
75
75
A média das notas finais de todos os alunos é igual a:
0,25  6,4  0,75  6,8  1,6  5,1  6,7 .
RESPOSTA: Alternativa d.
12
17.
O percentil da nota de um aluno em uma prova é a porcentagem de pessoas que obtiveram,
naquela prova, uma nota igual ou inferior à nota desse aluno. Se a nota de um aluno na prova
2 foi 7, então o percentil dessa nota é, aproximadamente,
(a) 51%.
(b) 55%.
(c) 59%.
(d) 63%.
(e) 67%.
RESOLUÇÃO:
Na prova 2, 30 alunos tiveram nota inferior à nota 7 e 20, nota igual a 7. Como o total de alunos
30  20
 0,66666...  0,67 .
é 75, o percentil da nota 7 é, aproximadamente:
75
RESPOSTA: Alternativa e.
18.
Um analista de recursos humanos desenvolveu o seguinte modelo matemático para relacionar
os anos de formação (t) com a remuneração mensal (R) de uma pessoa ao ingressar no
t
mercado de trabalho: R = k(1, 1) , em que k é um fator de carreira, determinado de acordo com
a área que a pessoa estudou. A tabela a seguir apresenta os anos de formação e os
correspondentes fatores de carreira de três pessoas (A, B e C).
Pessoa
Anos de Formação (t)
Fator de Carreira (k)
A
B
C
18
16
19
500
600
500
Se as remunerações mensais das pessoas A, B e C são, respectivamente, RA, RB e RC,
então, de acordo com esse modelo,
(a) RB < RA < RC.
(c) RA = RB < RC.
(e) RB < RC = RA.
(b) RA < RB < RC.
(d) RC < RB < RA.
RESOLUÇÃO:
Levando em consideração que 1,118 e 1,119 são múltiplos de 1,116 :
RA = 5001,118  5001,12  1,116  605  1,116.
RB = 6001,116
RC= 5001,119  5001,13  1,116  665,5  1,116.
Conclusão: RB < RA < RC.
RESPOSTA: Alternativa a.
Utilize as informações a seguir para as questões 19 e 20.
Sejam A e B matrizes com todos os elementos reais, sendo A quadrada de ordem 3 e B uma
matriz coluna com 3 linhas. Sabe-se que:
• A é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo de sua diagonal
principal são nulos;
• Todos os elementos que não estão abaixo da diagonal principal de A são iguais a 1;
• B = (bi), com bi = 4 − i, para todo i  {1, 2, 3}.
Considere, também, que I3 denota a matriz identidade de ordem 3.
13
19.
Sabendo que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal
principal, o traço da matriz (A + 3 · I3) é
(a) 3.
(b) 4.
(c) 6.
(d) 12.
(e) 16.
RESOLUÇÃO:
1 1 1
1 0 0
 4  1   3




A  0 1 1 ; I3  0 1 0 e B  4  2  2
0 0 1
0 0 1
 4  3 1
1 1 1 1 0 0 4 1 1
0 1 1  30 1 0  0 4 1  a  a  a  12
11
22
33

 
 

0 0 1 0 0 1 0 0 4
RESPOSTA: Alternativa d.
20.
Seja X uma matriz coluna de 3 linhas tal que AX = B. Então, a soma dos elementos de X é
igual a
(a) 2.
(b) 3.
(c) 4.
(d) 6.
(e) 10.
RESOLUÇÃO:
x 
Como X é uma matriz coluna de 3 linhas: X   y 
 z 
1 1 1  x  3 x  y  z  3 x  y  z  3 x  2  3 x  1



0 1 1  y  2  y  z  2
 y  1
 y  1
 y  1  x  y  z  3

     
z  1
z  1
z  1
0 0 1  z  1 
z  1



RESPOSTA: Alternativa b.
21.
Um economista analisou dados históricos sobre o valor das ações de uma empresa e, com o
intuito de prevê-lo ao longo do ano de 2014, elaborou o seguinte modelo:
  .t  
  .t  
V (t )  2.sen
   3.sen
 
 180 4 
 20 4 
Na função acima, V é o valor da ação e t é o tempo decorrido, em dias, a partir do início do ano
o
(ou seja, t = 1 denota o fim do dia 1 de janeiro de 2014). Para simplificar, suponha que todos
os meses tenham 30 dias. De acordo com esse modelo, a ação deve atingir seu preço máximo
ao término do dia
(a) 10 de janeiro.
(c) 15 de julho.
(e) 15 de maio.
(b) 30 de julho.
(d) 30 de março.
RESOLUÇÃO:
  .t  
A ação deve atingir o valor máximo quando o valor de sen
  for máximo, ou seja,
 180 4 
 .t  
  .t  
  1
   t  45  90  t  135 dias.
quando sen
180 4 2
 180 4 
Supondo que todos os meses tenham 30 dias, 135 dias correspondem a 4 meses e 15 dias.
o
Como t = 1 denota o fim do dia 1 de janeiro de 2014.
14
t = 30 denota o fim do dia 30 de janeiro, t = 60 denota o fim do dia 30 de fevereiro, t = 90
denota o fim do dia 30 de março, t = 120 denota o fim do dia 30 de abril e t= 135 = (120 + 15)
denota o fim do dia 15 de maio.
RESPOSTA: Alternativa e.
Utilize as informações a seguir para as questões 22 e 23.
Considere uma esfera de raio medindo R e um plano que a tangencia. Pode-se associar a ela
um outro sólido, obtido da seguinte maneira:
• constrói-se um cilindro equilátero de raio R com uma das bases contida no plano;
• retira-se desse cilindro dois cones circulares, sendo que a base de cada um deles coincide
com uma das bases do cilindro e os vértices coincidem em V , no centro desse cilindro.
O sólido que resta após a retirada dos cones é chamado de anticlepsidra e tem o mesmo
volume da esfera. Ambos os sólidos estão representados na figura abaixo.
22.
Apesar de terem o mesmo volume, a esfera e a anticlepsidra associada não têm a mesma área
superficial.
A razão entre a área da superfície esférica e a área da superfície da anticlepsidra é


(a) 2 2  1 .
(b) 2.
(d) 2  2 .
(c) 2 2
(e)
2 1.
RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo ABV: g = R 2  R 2  2R 2  R 2
2
Área da superfície esférica: SE = 4R
Área da superfície da anticlepsidra: SA = 2×SLateral do cone + SLateral do cilindro 
SA = 2  Rg   2R  2R   2R  R 2  4R 2  2R 2 2  4R 2  2R 2 2  2 .

SE
4R 2


S A 2R 2 2  2

2

 
2 2 2

  2  2 2  2 2  2 




 



2 2 2
 2 2 .
42
RESPOSTA: Alternativa d.
15
23.
Uma anticlepsidra tem volume igual a . O raio da esfera associada tem medida
3
(a)
12
.
4
3
(b)
6
.
2
(c)
3
4
3
(d)
3
2
(e)
3
4
RESOLUÇÃO:
Volume da anticlepsidra é igual ao volume da esfera a ela associada, então
3
4R 3
3
3 3 2 3 6
   4R3  3  R  3  R  3

3
4
2
4 3 2
RESPOSTA: Alternativa c.
24.
2
O gráfico da função f : R  R, dada por f(x) = x − 5|x| + 6, é melhor representado por
a)
c)
b)
d)
e)
RESOLUÇÃO:
 x 2  5 x  6, para x  0
f(x) = x − 5|x| + 6  f ( x)  
 x 2  5 x  6, para x  0
2
16
f ( x)  x 2  5x  6, para x  0
f ( x)  x 2  5x  6, para x  0
Como f : R  R , o gráfico de f(x) é a união dos dois gráficos acima.
RESPOSTA: Alternativa a.
25.
A função g, de domínio real, tem parte de seu gráfico mostrada na figura a seguir.
O gráfico da função f(x) = x · g(x) é melhor representado por
a)
c)
b)
d)
e)
17
RESOLUÇÃO:
x
Para x≤0, g(x) passa pelos pontos (0,0) e (3, 1)  g(x) = .
3
Para 0 < x ≤ 1, g(x) passa pelos pontos (0,0) e (1, 2)  g(x) = 2x.
Para x > 1, g(x) passa pelos pontos (1, 2) e (2, 0)  g(x) = 2x + 4.
 x2
x
 , para x  0
 3 , para x  0
3

 2
g ( x)  2 x, para 0  x  1
 f ( x)  x.g ( x)  2 x , para 0  x  1
 2 x  4, para x  1

2

 2 x  4 x, para x  1
GRÁFICO EM AZUL
GRÁFICO EM VERMELHO

RESPOSTA: Alternativa c.
26.
Seja z  C um complexo de módulo |z| e argumento ,   ], ]. Defina w  C da seguinte
forma: w = log3 |z| + i·
Se w = 2 + i·
10

2
(a) 9 .
10
, o valor de z
é:
10
10
(b) −9 .
(c) 9 ·i.
10
(d) −9 ·i.
(e) 1.
RESOLUÇÃO:
Se w = log3 |z| + i· e w = 2 + i·

2



 z  32
w  log3 z  i.
log3 z  i.  2  i. 2








w  2  i.
log z  2 e i.  i. 
 
3
2

2


2

Usando a forma trigonométrica,


10.
10. 


10
10
z  9 cos  i.sen   z10  910  cos
 i.sen
  z  9 cos 5  i.sen5  
2
2
2
2 


z10  910 cos   i.sen   z10  910  1  i.0  910 .
RESPOSTA: Alternativa b.
18
Utilize as informações a seguir para as questões 27 e 28.
É fato conhecido por estudantes do ensino médio que uma circunferência de raio medindo R
tem comprimento igual a 2R. Porém, nem sempre a humanidade soube calcular tal
comprimento, e para isso lançou mão de aproximações. Um dos jeitos de se estimar o
comprimento da circunferência é inscrevendo-se nela um polígono regular; quanto mais lados
tiver o polígono, melhor a aproximação.
A figura a seguir ilustra uma circunferência de raio medindo R e o octógono regular de lado
medindo d nela inscrito.
Dessa forma, o comprimento da circunferência pode ser aproximado por 8d.
Outra possibilidade é circunscrever um polígono regular, em vez de inscrever, como mostra a
figura a seguir.
Nesse caso, o comprimento é aproximado por 8D.
27.
A razão entre o comprimento exato de uma circunferência e o comprimento aproximado, obtido
com o perímetro do octógono circunscrito, é
  


 
 
(a)
.
(b) .tg  
(c)
.
(d)  .tg   . (e)  .tg   .
8 8
8
 
 

4
8.tg  
tg  
8
8
RESOLUÇÃO:
A circunferência tem raio R, logo seu comprimento é C = 2R.
Determinando no triângulo ABO a tangente de

:
8
D
2  tg   D  tg     D  2 R  tg    
R
8
2R
8
8
C
2R
C




8D
8D

 
  
8tg  
8 2 R  tg   
8
8
 

RESPOSTA: Alternativa a.
19
28.
O método descrito no texto também permite obter uma aproximação para a área do círculo.
Utilizando-se o octógono inscrito, a razão entre a área exata e a área aproximada do círculo é
(a)
2.
(b) 2 2 .
2
.
4
(c)
(d) 2 2 .
(e)
 2
.
4
RESOLUÇÃO:
A área exata do círculo é S = R 2 .
A área aproximada do círculo é
1 

2
 2R 2 2 .
Soctógono = 8    R  R  sen   4 R 2 
2 
4
2
S
Soctógono

R 2
2R
2
2


2 2

 2
2 2 2

 2
4
RESPOSTA: Alternativa e.
29.
Carlos deseja sacar num caixa eletrônico uma quantia entre R$ 51,00 e R$ 99,00. O caixa
dispõe de notas de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, e sempre fornece o menor número de
cédulas que compõe o valor solicitado. Dentre os valores que Carlos está disposto a sacar,
apenas alguns que serão feitos com exatamente 5 cédulas. A soma desses valores é
(a) R$ 75,00.
(b) R$ 160,00.
(c) R$ 250,00.
(d) R$ 300,00.
(e) R$ 350,00.
RESOLUÇÃO:
O número de cédulas deve ser o menor possível:
 O valor de R$ 55,00, pode ser sacado 2 notas de R$20,00, mais 1 nota de R$ 10,00 e
mais 1 de R$5,00. (4 cédulas).
 O valor de R$ 60,00, com 3 notas de R$20,00. (3cédulas).
 O valor de R$ 65,00, com 3 notas de R$20,00, mais 1 de R$5,00. (4 cédulas).
 O valor de R$ 75,00, com 3 notas de R$20,00 ou 1 nota de R$10,00 mais 1 de R$5,00.
(5 cédulas).
 O valor de R$ 80,00, com 4 notas de R$20,00. (4 cédulas).
 O valor de R$ 85,00, com 4 notas de R$20,00 mais 1 de R$5,00. (5 cédulas).
 O valor de R$ 90,00, com 4 notas de R$20,00 ou 1 nota de R$10,00. (5 cédulas).
 O valor de R$ 95,00, com 4 notas de R$20,00 ou 1 nota de R$10,00 mais 1 de R$5,00.
(6 cédulas).
R$ 75,00 + R$ 85,00 + R$ 90,00 = R$ 250,00
RESPOSTA: Alternativa c.
Utilize as informações a seguir para as questões 30 e 31.
Em um jogo de azar, são sorteados 5 números, sem reposição, dentre os algarismos de 1 a 9.
Esses 5 números são, então, escondidos, de modo que os participantes não os vejam. Cada
participante escolhe de um a cinco números distintos dentre os algarismos de 1 a 9 e os anota
em um papel, anotando também o valor que deseja apostar. Os números sorteados são
revelados e, então, vencem as apostas apenas os jogadores que acertarem todos os números
anotados. Se mais de um jogador vencer e esses vencedores tiverem apostado a mesma
quantia, o prêmio é dividido de maneira inversamente proporcional à probabilidade de
que cada aposta fosse vencedora.
20
30.
Numa determinada rodada, 2 jogadores que apostaram a mesma quantia venceram, sendo que
um deles escolheu 2 algarismos e, o outro, 3. Se o prêmio a ser dividido for de
R$ 1.100,00, o jogador que escolheu 2 algarismos receberá
(a) R$ 330,00.
(b) R$ 440,00.
(c) R$ 660,00.
(d) R$ 880,00.
(e) R$ 990,00.
RESOLUÇÃO:
O número de modos diferentes de serem sorteados 5 números, sem reposição, dentre os
98 7  6
 126.
algarismos de 1 a 9 é C9,5  C9,4 
4  3  2 1
Como o primeiro escolheu 2 algarismos, o número de modos destes aparecerem entre os
35 : 7
5
765
 .
sorteados é C7,3 
 35  uma probabilidade de
126 : 7 18
3  2 1
Como o segundo escolheu 3 algarismos, o número de modos destes aparecerem entre os
65
15 : 3
5
 15  uma probabilidade de
sorteados é C6,2 
.

2 1
126 : 3 42
Considerando como x o valor recebido por quem escolheu 2 algarismos e por y quem escolheu
3 algarismos, e, que o prêmio é dividido de maneira inversamente proporcional à
probabilidade de que cada aposta fosse vencedora.
 x  y  1.100
 x  y  1.100
 x  y  1.100  x  y  1.100
 x
y
 x  y  1.100







 x y


5
5


 5x 5 y
1
1
x  y


 5 
7 x  3 y
  5 



42  18 42
 
 18
3 7
.
  18 
 42 
3x  3 y  3.300 3x  7 x  3.300

.

7 x  3 y
 x  330
RESPOSTA: Alternativa a
31.
Numa determinada rodada, todos os jogadores apostaram em apenas 2 números, todos eles
venceram, e nenhum deles escolheu o mesmo par de números que outro jogador. A
quantidade máxima possível de vencedores nessa rodada foi de
(a) 5.
(b) 8.
(c) 10.
(d) 16.
(e) 28.
RESOLUÇÃO:
5 4
 10 modos diferentes de entre os 5 números
2 1
sorteados se escolher 2 números, portanto 10 pares diferentes. Logo o número de vencedores
é 10.
São 5 os números sorteados. Existem C5, 2 
RESPOSTA: Alternativa c.
21
32.
Em um sistema ortogonal de 3 coordenadas, a superfície lateral de um sólido é descrita pela
união das seguintes regiões:
2
2
• x + y = 4, com 0 ≤ z ≤ 3
2
2
• x + y ≤ 4, com z = 0 ou z = 3
A área lateral e o volume desse sólido são, respectivamente,
(a) 6 e 12.
(b) 12 e 48.
(c) 6 e 48.
(d) 12 e 48.
e) 12 e 12.
RESOLUÇÃO:
2
2
2
2
• x + y = 4, com 0 ≤ z ≤ 3 é a equação da circunferência de centro (0, 0) e raio 2.
• x + y ≤ 4, com z = 0 ou z = 3 é a equação da região circular interna à circunferência acima.
A área lateral é 2×2×3 = 12.
O volume é  ×4×3 = 12
RESPOSTA: Alternativa e.
33.
O valor exato da expressão
1
, com 5 casas decimais, é 2,41421. Considere os seguintes
2 1
métodos para se fazer essa conta sem o auxílio da calculadora:
• Método A: usa-se um valor aproximado para
2 e faz-se a divisão;
• Método B: racionaliza-se o denominador e usa-se um valor aproximado para 2 .
Ao se fazer uma aproximação, comete-se um erro, que é definido como a diferença, em
módulo, entre o valor aproximado e o valor exato.
Usando a melhor aproximação para 2 com uma única casa decimal, a razão entre os erros
(em relação ao valor exato) obtidos nos métodos A e B, respectivamente, é de cerca de
(a) 10.
(b) 8.
(c) 6.
(d) 4.
(e) 2.
RESOLUÇÃO:
• Método A:
• Método B:
1
2 1
1


1
1

 2,5  2,5  2,41421  0,08579
1,4  1 0,4
2 1
 1,4  1  2,4  2,41421  2,4  0,01421
1
2 1
0,08579
 6,03729....  6
0,01421
RESPOSTA: Alternativa c.
22
34.
Considere a seguinte sequência de figuras formadas a partir de pontos.
a
Para escrever a 30 figura dessa sequência, a quantidade de pontos adicionais que devem ser
a
utilizados em relação ao que é necessário para escrever a 29 figura é igual a
(a) 55.
(b) 56.
(c) 57.
(d) 58.
(e) 59.
RESOLUÇÃO:
Figura 11bola.
2
Figura 2 2 – 1 = 3 bolas.
2
Figura 3 3 – 1 = 8 bolas.
2
Figura 4 4 – 1 = 15 bolas.
2
Figura 5 5 – 1 = 24 bolas.
........................................................
2
Figura n (n – 1) bolas.
2
Logo a partir da segunda figura o número de elementos é n – 1, sendo n o número de ordem
da figura.
a
2
Para escrever a 29 figura, são necessários 29 – 1 = 841 – 1 = 840 pontos.
a
2
Para escrever a 30 figura, são necessários 30 – 1 = 900 – 1 = 899 pontos.
899 – 840 = 59.
RESPOSTA: Alternativa e.
35.
Sejam An e Bn, com n  N_, valores definidos por:
n–1
• An = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2
• Bn = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + (2n + 1)
O valor de A30 + B30 é igual a
29
29
30
(a) 2 + 261.
(b) 2 + 260.
(c) 2 − 960.
30
(d) 2
+ 960.
30
(e) 2
+ 959.
RESOLUÇÃO:
30 – 1
a30 = 2
= 2  A30 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2
29
29
29
A30 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 +. . .+ 2
29
(soma dos termos de uma P.G. onde a1 = 1, q = 2 e a30 = 2 ),
1(230  1)
 230  1 .
2 1
b30 = 2×30+1=61.
B30 = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + 61( soma dos termos de uma P.A. onde a1 = 3, r = 2 e b30 = 61),
3  61 30  960 .
então B30 =
2
30
30
O valor de A30 + B30 é igual a 2 – 1 + 960 = 2 + 959.
então, A30 =
RESPOSTA: Alternativa e.
23