matemática - Colégio Oficina

COLÉGIO OFICINA
1
TREINAMENTO DE QUESTÕES DISCURSIVAS
(MATEMÁTICA)
Prof. Tufic Nadder
No mês corrente, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. A empresa
estuda, agora, alternativas para voltar a ter lucro.
a) Primeiramente, assuma que a receita não variará nos próximos meses, e que as despesas serão reduzidas,
mensalmente, em exatos R$ 45 mil. Escreva a expressão do termo geral da progressão aritmética que fornece o
valor da despesa em função de n, o número de meses transcorridos, considerando como mês inicial o corrente.
Calcule em quantos meses a despesa será menor que a receita.
b) Suponha, agora, que a receita aumentará 10% a cada mês, ou seja, que a receita obedecerá a uma progressão
geométrica (PG) de razão 11/10. Nesse caso, escreva a expressão do termo geral dessa PG em função de n, o
número de meses transcorridos, considerando como mês inicial o corrente. Determine qual será a receita
acumulada em 10 meses. Se necessário, use 1,12 = 1,21; 1,13 ≈ 1,33 e 1,15 ≈ 1,61.
RESPOSTA:
a) O termo geral da PA que representa a despesa tem a forma an = 800000 – 45000(n – 1).A despesa será menor que a receita
quando an< 600000, ou seja, quando 845000 – 45000n < 600000. Essa desigualdade é equivalente a 45000n > 45000, que
implica em n > 49/9  5,44.
Resposta: A despesa será menor que a receita no sexto mês, ou seja, daqui a cinco meses.
b) O termo geral da PG que representa a receita é
dos
termos
10
escrever 1,1
da
PG,
que
 11 
a n  600000 
 10 
é
dada
. A receita acumulada em 10 meses é igual à soma
fórmula S10 
pela
 2  1,612  2,59 . Assim, temos S
 1,15
n 1
10

600000  1,59
= 9540000reais.
0,1
Resposta: A receita acumulada em 10 meses atingirá cerca de R$ 9 540 000.
QUESTÃO 02
Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um
riacho, como mostra a figura ao lado. O topógrafo determinou as distâncias
mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo.
a) Calcule a distância entre A e B.
Ângulo
b) Calcule a distância entre B e D.
A Ĉ B
2015Salvador/PV/QUI/20150528_Questões discursivas_Int_Mat.doc/mdb
Medida
π/6
B Ĉ D
π/3
A B̂ C
π/6


600000 1,110  1
.
1,1  1
Podemos
MATEMÁTICA
QUESTÃO 01
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2
RESPOSTA:
a) Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, o ângulo BÂC mede 180o  30o  300  120o .
Aplicando a lei dos senos no triângulo ABC, temos que
MATEMÁTICA
CB
AB
15
AB



sen(AB̂C) sen(AĈB)
3 2 12
Logo,
AB 
15 1 2 15

5 3m
3 2
3
Resposta: A distância entre A e B é
5 3 m.
b) Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo BCD, temos
BD 2  BC 2  CD 2  2  BC  CD  cos(BĈD)  15 2  10 2  2  15  10  1 2  175
Logo, BD =
175  5 7 m
Resposta: A distância entre B e D é 5 7 m
QUESTÃO 03
O dono de um sítio pretende colocar uma haste de
sustentação para melhor firmar dois postes de
comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a
situação real na qual os postes são descritos pelos
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo
segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é
indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e
BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
RESPOSTA:
Fazemos:
EF = x
AF = a
FB = b
x
a
Somando as equações (I) e (II):

Resposta: A haste EF mede 2,4 m
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
b
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QUESTÃO 04
a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à
velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro
(0 km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 104 km/h?
b) Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h, mas
indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de aferição do
velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a
velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h.
RESPOSTA:
a) Como o ângulo de giro do ponteiro é diretamente proporcional à velocidade, temos:
210 o
x
210 o  104
o

x 
 x = 91
240 104
240
o
Resposta: O ângulo mede 91 .
x  20  v  20
. Logo, temos o seguinte sistema:
 x  70  v  65
 20  20a  b ( I)

65  70a  b ( II)
b) Seja v(x) = ax + b. Temos que 
Fazendo (II) – (I), obtemos que 45 = 50a  a =
Substituindo a em (I), temos que 20 =
Resposta: A função é v(x) =
20 
9 10
9
 b  20 = 18 + b  b = 2
10
9
x  2 ou v(x) = 0,9x + 2
10
QUESTÃO 05
O triângulo ABC da figura é equilátero, sendo AM = MB = 5 cm e CD = 6 cm.
A
M
E
B
Com base na figura acima, calcule:
a) A medida do segmento AE .
b) A área do quadrilátero ECBM.
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C
D
MATEMÁTICA
O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura ao
lado mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o
ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade
aumenta.
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RESPOSTA:
a)
AE = x  EC = 10 – x
Tracemos o MN // AC MBN ABC  MBN é equilátero.
Logo MB = BN = MN = NC = 5
MATEMÁTICA
Como EC // MN ECD MND
Resposta: A medida do segmento
EC CD 10  x
6



 x = 80/11
MN ND
5
56
AE é 80/11cm
b)
SABC
 10 
 
2
2
3  SABC  25 3
80
100 3
AM  AE
3

 sen  11 
 SAME 
2
2
2
11
175 3
100 3
 SABC  SAME  25 3 
 SECBM 
11
11
5
SAME
SECBM
Resposta: A área do quadrilátero ECBM é
175 3
cm 2
11
QUESTÃO 06
Considere a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c cujo gráfico passa pelos pontos (1, 10), (2, 8) e (3, 12).
a) Encontre as constantes a, b e c .
b) Determine o domínio da função g(x) =
5
f (x)
RESPOSTA:
a)
(1,10)  f
(2,8)  f
(3,12)  f



(I) – (II)
(III) – (II)
18 = 3a + 3b 6 = a + b (IV)
20 = 5a + 5b 4 = a + b (V)
(IV) + (V)
a+b=4
a + b + c = 10

10 = 2b 

a+5=4
1 + 5 + c = 10
10 = a + b + c (I)
8 = 4a 2b + c (II)
12 = 9a + 3b + c (III)
b=5


a = 1
c=6
Resposta: a = 1, b = 5 e c = 6
b) f(x) = x2 + 5x + 6
raízes de f(x)f(x) = 0 x2 + 5x + 6 = 0  x =
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 5  25  24  x1  1

. Assim, o gráfico de f(x) fica
2
x 2  6
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5
O domínio da função g(x) será dado pela solução da inequação
6
x
5
 0  f(x) < 0.
f (x)
Pelo gráfico acima, pode-se observar que esta solução é x <1 ou x > 6
Resposta: O domínio de g(x) é D(g) = ] ; 1[  ]6 ; [ = IR  [1 ; 6]
QUESTÃO 07
Um grupo de profissionais da área da Saúde – médicos, enfermeiros, fisioterapeutas, nutricionistas, assistentes
sociais, fonoaudiólogos, dentistas, terapeutas ocupacionais, psicólogos, biomédicos, entre outros, todos atuantes
em projetos da rede Humaniza SUS, – decidem fazer uma ação solidária em uma cidade do interior da Bahia, na
qual o atendimento à população ainda é pouco eficiente. Para isso, fretam um ônibus com capacidade para
50 passageiros. A empresa de transporte cobra de cada passageiro R$ 60,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar vago.
Nessas condições, calcule:
1) o número de passageiros para que o valor recebido pela empresa seja máximo;
2) a receita máxima da empresa.
RESPOSTA:
a)
Considerando que o número de passageiros que irão viajar seja x, o número de lugares vagos será, por consequência,
50  x. Assim, temos que o valor a ser pago por cada passageiro será: 60+ 5.(50  x) = 310  5x.
Para obtermos a receita R(x) que a empresa de ônibus terá com a viagem, precisamos multiplicar o
valor pago por cada passageiro pelo número de passageiros:
R(x) = (310  5x).x R(x) = 5x2 + 310x
Observe que esta é uma função do 2o grau, cujo gráfico é uma parábola de concavidade para baixo, já
que possui o coeficiente a negativo (a = 5). Isto indica que o vértice da parábola será um ponto de
máximo. Logo, para obtermos o número de passageiros (x) que torna a receita da empresa máxima,
basta que calculemos o x do ponto máximo, isto é, o x do vértice.
Assim temos:xv =
b
 310
xv =
xv = 31
2a
2( 5)
Resposta: O número de passageiros que produz a receita máxima é 31.
b) A receita máxima será obtida pelo y do vértice.
Assim temos:
yv 

 (96100  0)
 yv 
 4805
4a
 20
Resposta: A receita máxima da empresa é R$ 4.805,00
Obs.: A receita máxima pode, também, ser obtida substituindo xv = 31 na função receita, isto é, na
função R(x) = 5x2 + 310x.
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MATEMÁTICA
1
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QUESTÃO 08
Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos processadores que apresentam
falhas após T anos de uso, é dado pela função P(T) = 100(1− 2−0,1T ).
MATEMÁTICA
a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de computadores terão apresentado falhas?
b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o modelo
mais recente, embora o percentual de processadores que apresentam falhas também seja dado por uma função
na forma Q(T) = 100(1− 2cT), o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de uso equivale a 1/4 do
valor observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função
P(T) acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessário, utilize log2(7)  2,81.
RESPOSTA:
a) Queremos determinar o instante T tal que P(T) = 75.
Nesse caso, temos: 75 = 100(1 2−0,1T)
0,75 = 1 2−0,1T
2−0,1T = 0,25
2−0,1T = 22
0,1T = 2  T = 20
Resposta: Em 20 anos, 75% dos processadores apresentarão falhas.
b) Para T = 10, temos: Q(10) = P(10)/4
1
Q(10) = 100(1  2 )  Q(10)  100 .
4
8
100
7
 210c   10c  log 2 (7 8)
8
8
Temos, então: 10c = log 2 7  log 2 8  10c = 2,81  3  c = 0,019
Assim, 100(1  2 10c ) 
Resposta: A constante c vale –0,019.
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